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Matemáticas 2 – Segundo Semestre

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA


A continuación encontrarás el listado de varios textos que puedes consultar.

ARYA C., Jagdish y Lardner W. Robin: Matemáticas aplicadas a la Administración y Economía. Prentice-Hall Hispanoamericana, 1991.

CAMPOS Ortiz: Funciones. Publicaciones Cultural, México, 1987.

DEVANEY, R. L.: Chaos, Fractals, and Dynamics. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1990.

DOLCIANI Berman Wooton, Álgebra Moderna, Trigonometría, Tomo II, Publicaciones Cultural.

GLEICK, J.: Chaos (Making a New Sience). Penguin Books, Nueva York, 1988.

MANDELBROT, B.: Los objetos fractales (Forma, azar y dimensión). Tusquets Editores (Serie Matemáticas 13), Barcelona, 1987.

MARKOSHEVICH, A. I.: Sucesiones recurrentes, Mir (Serie Lecc. Pop. De Mat), 1974.

NAFAILE R., Luz María: Funciones. CECSA, México, 1987.

REES K., Paul, Spark W. Fred y Rees S. Charles: Álgebra. McGraw-Hill, México, 1988.

RIVERA, F. A.: Sucesiones. Notas de la maestría en Mat. Educ. IPN, México.

RODRÍGUEZ R., Javier y Bracho L. Rafael: Funciones exponenciales y logarítmicas.

CECSA, México, 1987. VILENKIN N, Ya: Método de aproximaciones sucesivas, Mir (Serie Lecc. Pop, de Mat), 1978.

 

GLOSARIO


A continuación te presentamos la siguiente lista de palabras, las cuales se encuentran ordenadas alfabéticamente, en este glosario podrás consultar las palabras que no entiendas y así conocer su significado, de acuerdo a cada capítulo:

CAPÍTULO 1
Antilogaritmo: Número correspondiente a un logaritmo dado.
Dominio: Son los valores que se le asignan a la variable independiente ( x).
Exponencial: Que tiene un exponente: Función Exponencial.
Exponente: Número que indica la potencia a que se ha de elevar una cantidad.
Imagen de la función: Es el rango donde se involucran a los valores de la variable (Codominio de la función).
Logaritmo: Exponente al que hay que elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado: los logaritmos permiten simplificar el cálculo.
Múltiplo: Dícese del número que contiene a otro varias veces exactamente.
Regla de Correspondencia: También llamada regla para hallar imágenes, determina la imagen de cada elemento del dominio.
Transitividad: Dícese de lo que se transfiere de uno a otro.
CAPÍTULO 2
Abscisa: Una de las coordenadas que determinan la posición de un punto plano.
Conjunto: Se entiende una agrupación en un todo de objetos que tienen una propiedad en común que es precisamente la de pertenecer al mismo conjunto.
Dominio: Son los valores que se le asignan a la variable independiente (x).
Función: Cantidad cuyo valor depende de la otra variable.
Órbita: Se toma como la trayectoria de puntos que se encuentran en el

plano cartesiano. Recurrente: Del latín recurre que significa regresarse. Sucesión: Que sucede o sigue en forma conjunta ya sea en forma lineal,

circular y estos pueden ser números, puntos, variables, etc. Transformación: Que cambia o se modifica.

 

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN


A continuación te presentamos un problema “Real”, donde se aplica la utilidad de las funciones que acabas de estudiar en la cual podrás poner en práctica tus conocimientos adquiridos, además que te ayudarán a ejercitar un poco más tu aprendizaje en cuanto a su solución. Resuélvelos, y si se te presentara alguna dificultad acude con tu asesor de Matemáticas.

14 C .

Aplicación del carbono catorce () Este elemento es un isótopo radiactivo del

carbono doce (12 C), que se encuentra combinado con el bióxido de carbono (CO2 )

14 12

del aire, del cual investigadores han encontrado que la razón Ro del carbono Cal C en el aire ha permanecido casi constante a a través del tiempo. Se sabe que las plantas

14 C

y los seres vivos al respirar, lo inhalan en la misma proporción, por lo que el también existe en los seres vivos.

Cuando la planta o el ser vivo muere deja de respirar CO2 del aire; pero el que tiene

permanece constante en el mientras que el 14 C disminuye exponencialmente a través del tiempo t después del fallecimiento. Asimismo, estudios realizados sobre el

14 C

decrecimiento del en los seres muertos se encontró que la razón R ( t ) de los

14 12

carbonos Cal C , después de t años de muerto el ser, se obtiene mediante la ecuación.

Rt() = Roe −kt ,

donde:

12

Rt() = Es la razón del 14 Cal C en el fósil, después de t años de muerto.

12

Ro = Es la razón del 14 Cal C en aire. El número e = 2 718281.

. In2

k =

5730

t = Tiempo en años

Esta propiedad que tienen los carbonos se aprovecha para la solución de problemas como:

a) Determinar la edad de un fósil. b) Determinar la hora en que murió una persona.

151

Para reafirmar los conceptos anteriores resuelve los siguientes problemas:

1. Un arqueólogo encontró un fósil, y al realizar un análisis de la razón de los carbonos obtuvo que era igual a un treintadozavo de la reacción existente en el aire. Determina la edad del fósil si:

log2

Rt () = Roe−kt parak = .

5730

2. A las 05.00 horas del día 28 de agosto de 1992 se encontró en una habitación un cadáver en estado de descomposición. Se desea determinar el día en que falleció, toda vez que se sospecha que fue asesinado. El médico forense determinó en el laboratorio la relación.

14 C

12 = 0 99999 . .

C

  1. ¿Cuánto ganó en 10 años un licenciado, si su sueldo inicial fue de $60,000.00 y recibió aumentos anuales de $3,500.00?
  2. Un lado de un cuadrado mide 20 cm. Los puntos medios de sus lados se unen para formar un cuadrado inscrito y el proceso se continua como se muestra en la figura. Encontrar la suma de los perímetros de los 5 primeros cuadrados.
  3. Se tiene un triángulo equilátero, cuyos puntos medios de sus lados se unen para formar otro triángulo, lo mismo se hace con los puntos medios del último triángulo obtenido y así sucesivamente hasta el infinito. Determina la suma de las áreas de todos los triángulos construidos.

20

152

 

ANEXO DE RESULTADOS


Las soluciones que a continuación se presentan te servirán como punto de comparación para las que elaboraste en las actividades de cada tema de este fascículo, con lo cual conocerás el real nivel de tu aprendizaje. Por lo tanto, es indispensable que primero intentes encontrar la respuesta correcta antes de ver la propuesta que se da.

-0.00043t

. Ley de desintegración del radio: (A) R(t) = Ro e

a) Gráfica de la ley de desintegración (a) IR Números Reales tIR

R ( E ) = Cantidad de radio que quedo al tiempo t Ro = Cantidad inicial de radio e = 2.718 Constante

R (t)

Gráfica 1

b) Gráfica de ( A ) tNU{}0

∈ Gráfica de ( A ) exponencial

R

R (t)

 

 

b)

c)

. . .

. . .

0 1 2 3 4 NU{0} 0 1 2 3 1 600
Figura 47 Figura 48
130

d) Determia el porcentaje de radio desintegrado en 100 años, en las tres variantes el cálculo es concreto, porque consiste en evaluar la ley en t = 100 años, es decir, en los tres casos t = 100 está en el dominio de la función ( A ), y su valor será:

R(100) = Roe(-0.00043×100) = Roe -0.043 = Ro 0.958

La relación entre R(100) y Ro es: (.

R 100) Ro0 958

= .,= 0 958 Ro Ro

de ahí que la cantidad restante de Ra a los 100 años es el 95.8%, o contestando directamente a la pregunta formulada, la cantidad de Ra desintegrado después de 100 años es el 4.2% =100% – 95.8%.

2. Otras representaciones gráficas de los ejemplos de las sucesiones ( 7 ) a ( 12 ) son:

( 7 ) 2, 4, 6, 8, … 2n, … (gráfica 2).

Gráfica 2

( 8 ) 1, 3, 5, 7, … 2n – 1, … (Gráfica 3)

Gráfica 4

( 10 ) 1, 4, 9, 25, … n2 ,… (gráfica 5)

Gráfica 5

132

Gráfica 6

( 12 ) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (gráfica 7)

Gráfica 3

131

( 9 ) 2, 4, 8, 16, …, 2n , … (gráfica 4)

de la sucesión. Solución

ƒ(1) = 13 = 1 ƒ(6) = 63 = 216 ƒ(2) = 23 = 8 ƒ(7) = 73 = 343 ƒ(3) = 33 = 27 ƒ(8) = 83 = 512 ƒ(4) = 43 = 64 ƒ(9) = 93 = 729 ƒ(5) = 53 = 125 ƒ(10) = 103 = 1 000

Gráfica 8

()n

−1

4. Encontrar los primeros seis términos de la sucesión dada por fn= .

() 3

n+4

solución

−11 11

..

f()1 = =− =− 02 f()4 = ==0 015 13 +45 43 +4 68

11 −11

f()2 = ==0 083 f()5 = ==− 0 0078

.. 23 +4 12 53 +4 129

−1 −1 11

3. 3.

f()3 = ==−0 032 f()6 = ==0 0045 3 +431 6 +4 220

f(n)

0.2

135

n 246

-0.2

Gráfica 9

134

En la figura 56 se observa que se acerca al 0 “oscilando” entre valores negativos y positivos, cuando n se hace “grande”.

5. Con fn =n2−,hallar

() 1:

2

af)(999) =999 −1=998001 −1=998000

3 236 4 2

bfn )[()]=(n −1) =n −3n +3n −1)

22 2

cf)(n ) (2n ) −1n −4 11= n2 −1 =−1 =4n +− 4 −4n

6. Determina al menos una fórmula para el término general n-ésimo de la sucesión

111

, , …:

12• 23• 34

solución 1 11

=−

12. 12 1 11

=−

23. 23 1 11

=−

34. 34

1 1 1 Hipótesis

=−

(n −1)n n −1n

Para encontrar el numerador de cada fracción procederemos de la siguiente forma: B An + ( −1

1 A Bnn )

∴ =+=

(n −1) n +1n (n +1)( ) n

n

Con A y B como incógnitas a determinar: 1=An +Bn −1

() 1=An +Bn −B 1=(ABn −

+ )B

De aquí se deduce que: 1 = -B ∴ B = -1 A + B =O ∴A = 1 Sustituyendo los valores la A y B en la 1a. expresión, obtenemos: 1 1() 1 11

−1

=+∴s(n) = =− para todos las n ∈N

1)n n −1n nn − )n −1n

(n − (1

135

7. En las fórmulas de recurrencia: I, ƒ(n)=ƒ(n-1)+d; II, ƒ(n)=qƒ(n-1) y III,ƒ(n)=nƒ(n1).¿Cuántas condiciones iniciales hay que darle a cada una de estas fórmulas recurrentes para que realmente nos generen una sucesión única?

Solución

En forma análoga a como se hizo para que nos quedara unívocamente definida la sucesión de Fibonacci podemos verificar, por ejemplo en la fórmula T, qué ocurre con los valores de n : n = 1, n = 2, etcétera. Para n = 1:

f()1 = f() + d0

f()1 = qf() 0

1

f()= f( ) 0

En los tres casos, f ( 1 ) nos queda en términos de f ( 0 ) pero en n = 0, f ( 0 ) no es un término de la sucesión, puesto que la función f no está definida en n = 0; los restantes valores de la sucesión se definen a través de f ( 1 ) o de f y por ello bien definidos. En efecto, cuando n = 2:

f()2 = f() + d1

2 ()

f()= qf1

f()= 21 f() 2

Por consiguiente, basta considerar a f ( 1 ) = a como condición inicial para que, I, II y III nos generen, unívocamente, las sucesiones aritmética, geométrica y factorial, respectivamente.

8. Hallar los primeros ocho términos de la sucesión de Fibonacci a partir de la fórmula de recurrencia:

() fn− 2

 fn= fn( − 1)+ () 

, () = ,f()1 = 1f21

Solución

ƒ(1) = 1, ƒ(2) = 1 (condiciones iniciales), ƒ(3) = ƒ(2) + ƒ(1) = 1+1 = 2

ƒ(4) = ƒ(3) + ƒ(2) = 2 + 1 = 3, ƒ(5) = ƒ(4) + ƒ(3) = 3 + 2 = 5,

ƒ(6) = ƒ(5) + ƒ(4) = 5 + 3 = 8, ƒ(7) = ƒ(6) + ƒ(5) = 8 + 5 = 13,

ƒ(8) = ƒ(7) + ƒ(6) = 13 + 8 = 21, …

136

9. A partir de la fórmula de recurrencia de la sucesión de Fibonacci:

fn() =fn( −+ 1 (

 ) fn −2)

,( ) =,

f()1 =1 f 21

determina la fórmula del término general n-ésimo f ( n ) como función de n.

Solución:

Se recomienda considerarla como si fuera una sucesión geométrica, es decir, como si f ( n ) fuera de la forma:

fn =aqn−1

() ,

donde: a es la condición inicial ƒ( 1 ) = a y q la razón de la sucesión geométrica, y ambos parámetros deben determinarse.

Al sustituir la representación anterior de ƒ(n) y las correspondientes a ƒ(n – 1) y ƒ(n – 2), en la fórmula de recurrencia, obtenemos:

n−1n−2n−3

aq =aq +aq (Dado que suponemos que a ≠0 , podemos simplificar dividiendo entre a. Dividimos también entre

n−1n−2n−3

q =q +q

qn−3 ya que suponemos q ≠0).

n−1n−2

qq

=+1

n−3n−3

qq

−−− 2(

n1(n 3) n−−− n 3)

q =q +1

2

q q1

=+

2

qq =

−−10 1++ 14 1−+ 14

q = ,q =

12

22

1+51−5

q = ,q =

12

22

Ahora determinaremos los valores correspondientes de a1, y a2 ,cualesquiera que sean a1, y a2 , condiciones iniciales, si las sucesiones:

2n−1

() , , ,a q ,…, aq ,…

1aaq

111 21 11 2n−1

() aaq , ,aq 2,…

2 a q ,…,

2222 22

137

Suponemos que satisfacen la fórmula recurrente de Fibonacci:

1) fn

fn() =fn( −+ ( −2), entonces la “sucesión suma” que se obtiene sumando término a término las dos ecuaciones arriba mencionadas:

22 n1n−1

+

a +q ,aq +aq +aq ,+aq …,aq a q …,

1211221 1 11 22

también satisface la fórmula recurrente, puesto que al sumar los términos generales de 1 y 2.

(1)

n−1n−2n−3

⎪aq =aq11 +aq

11 11

+⎨

n−1n−2n−3

⎪aq =aq +aq

⎩2222 22 (2)

n−1n−1n−2n−2n−3n−3

f(n) nos da: fn aq +aq =aq +aq +aq +aq ,

11 22 (11 22 )(11 22 ) (3)

que es la nueva expresión de la fórmula fn=fn( −+ )( −2)

() 1 fn

Pero además la “sucesión suma” deberá satisfacer las condiciones iniciales: a 1a

=−

f() =a +a =1 12

1 1 2 lo que significa aq +aq =1

f() =aq +aq =12

11 22 1122 Sustituyendo a en la expresión f(2), obtenemos el valor de a1 . Así:

1+51−51+5 ⎛1−5 ⎛1−5

(− )+aq 2 2 =1⇒− a )+21 −⎜⎟a2⎜⎟=1

1 21 (12 a =⇒⎟2 +a

aq

 ⎜⎟

22 2  2 ⎠ 2 

1−5 ⎛

1−5

1−51+51+51−5

2

a2 =

⎜⇒−

−a2 ⎟=−1 a2(5)= ⇒a ⇒

⎜⎟2

25

 22  22 −5

Regresando a la expresión de a, se tiene:

1+ 5

1− 5 251

+− 5

a1 =

=− =+

a 1a ⇒a1 ⇒a =⇒

121 1

25

25 25

Reemplazamos a1, a2, q1 y q2 en (3):

n−1n−1

n−1n−11+5 ⎛1+5  1−5 ⎛1+5 ⎞

ƒ() =aq +aq ⇒ƒ() = ⎜⎟−

nn ⎜⎟

11 22

25  2  25  2 

138

1+ 51− 5

Finalmente, al introducir y dentro de los paréntesis se tiene:

22

nn

1 ⎛1+ 5 ⎞⎛1− 5 ⎞

ƒ()= ⎢ ⎟− ⎟⎥

n 5 ⎢ 2 ⎠ 2 ⎠

⎣

10. Demostremos la siguiente propiedad de los números de Fobonacci.

+

ƒ−ƒ+ −ƒ (n 1)( n 1) ()n = 1

, para toda nN.

[]2

Primero observamos que con los números consecutivos de Fobonacci 3, 5 y 8 se cumple la propiedad.

38 5 • − 2=2− 5

42=−1

Demostración de la propiedad: En el problema nueve se concluyó que la fórmula del término general n-ésimo ƒ( n ) como función de n es:

nn 11+ 51− 5

() − .

fn =aq 1 q ,con a = q1= ,q =

[ 2] 2

5, 22 Luego entonces podemos verificar directamente que:

n−1n−1n+1n+1 2nn

( +1 fn2 −− 2

fn −1)( fn ) −()= aq −q Q aq q −aq q

[] {[12 ]} {[12 ]} [12 ] 2n−1n−1n+1n+1 2nn

=aq1 −qq −q −a q1 −q

{[ 2 ][12 ]} [ 2]2 22n n−1n+1n−1n+12n 2n n2n

=aq −qq −qq +q −q −212 qq ) +

{11221 2 [1( q2 ]} 2

n−1n

=a 12 (12

{−qqq ( )[q +q1]+2qq )}

2

Pero

2 215  15  ++5 −+5 + 12⎛+ 2 ⎛− 2 125 125 210

q +q =⎜⎟+⎜⎟= + = ==3

12  ⎜⎟

 2 ⎠ 2  4 444

22

15

⎛+⎞⎛− ()

1 51 5 − 4

15 −

qq = ⎜= ===−112 ⎜⎟⎟

 ⎟⎜

 2 ⎠ 2  4 44 2  1 ⎞21

a = ⎟=  5  5

139

Luego:

21 n−1 n1n 1n

n

(1 1 [()] {()1 []2()1 } {()− +− 21 } {(−)}

fn −)( fn+− ) fn = −− 3 +− = 31 () = 51

5 55

=−1 n (que en efecto sólo puede ser + 1 o – 1 )

()

Finalmente, observa que lo mismo ocurre con cualquier figura que tenga por longitud a tres números consecutivos de Fobonacci; por ejemplo, con 5, 8 y 13, pero entonces la

2

paradoja se presenta como: “13 =169”.

11. Hallar las ocho primeras aproximaciones por exceso de

Solución

Con la calculadora se obtiene directamente: 3 ≈. Luego entonces, los

1732050808 .

primeros ocho términos de la sucesión de aproximaciones decimales por exceso serán: 2, 1.8, 1.74, 1.733, 1.7321, 1.73206, 1.732051, 1.7320509, 1.73205081, …

12. Encuentra los primeros ocho términos de la sucesión aritmética, si ƒ(1)=-3 y d = 4. Solución

f() 3f2 =f() d 34 ,() =f() d14 5f4 =f( ) +d =+=

1 =−,() 1 + =−+ = 13 f 2 +=+ = ,() 3 549, =+= ,( ) +=17 += 21 () = +=25

f()5 9 4 13 f6 =13 4 ,() f7 =174 yf 8 214 , esto es ,−315913172125 , , , , , , , ,…..

13. Halla la diferencia de la sucesión aritmética, sif() =2 f 8 =23 .

1 ,()

Solución

Usando directamente la fórmula (20) del término general ƒ(n) como función de n:

=+

(20) fn() b (n −1)d

Tendremos: () 81d

f()8 =f1 +( −)

23 27d

=+ 21=7d d =3

140

14. ¿Cuál es el número n de la sucesión aritmética que tiene como primer término a ƒ(1) = 10, como n-ésimo término a ƒ(n) = 0 y d = -2?

Solución

En ( 20 ), ƒ( n ) = ƒ( 1 ) +( n – 1 ) d, basta sustituir los datos, a saber:

010 (n1)( 2)

= +−− −10 =− + 2n2 −12

nn 6.

= ==

−2

15. ¿Cuál es la suma de los primeros 200 números impares positivos? En efecto, a pie: 1 2 3 4 . . . 200

1 3 5 7 . . . 399 = S(200)

+

399 397 395 393 . . . 1 = S(200)

400 400 400 400 . . . 400 = 2S(200)

200 veces

∴2S(200) =200 • 400 S(200) =40000 con la fo rmula (23):

[• +(200 −)]2002 1 12

S(200) ==100 2 +398 =100 • 400 =40000 .

2 []

16. Demuestra la siguiente propiedad de las sucesiones aritméticas: Todo término de la sucesión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de sus vecinos. Recuerda que por media aritmética de dos números a y b se entiende su promedio

ab

+

aritmético, es decir, .

2

141

De hecho, si la sucesión aritmética la denotáramos por

f( ), f() +df , () +2d,…, f() (k ), () +kdf 1

111 1 +− 1 df 1 ,() ++ (k 1)d,…, los ecinos del (k + 1 ) -ésimo término ƒ( 1 ) + kd son: ƒ(1) + (k-1) d y ƒ(1) +(k+1) d. Pero por definición:

() )d

fk =fk( −+ 1 fk( )fk +,

1 () d

+= de donde sin cambiar la primera igualdad y despejando de la segunda a ƒ(k), tendremos: fk =fk( −+ 1

⎧() )d

+

() =fk +− 1)

fk( d, que al sumarlas 2 fk fk 1) d fk 1 d, por lo que concluimos:

() ( ()

= −++ +− fk( −+1) fk

( +1)

fk= .

() 2

17. Cada término f ( k ) de una sucesión geométrica de términos positivos excepto para el primero, es igual a la media geométrica de sus vecinos: f (k-1) y f(k+1). Por media geométrica de dos números no negativos a y b (,ab≥0) se entiende su promedio

geométrico, es decir, ab ; pero por definición estos Términos de la sucesión geométrica cumplen con:

⎧fk() =fk( −1)q 

fk +) =fkq

(1 () esto es: ⎧fk() =fk( −1)q

fk( +1)

fk =

()

⎩q

Multiplicando estas igualdades, obtenemos: fk 1)

( +fkfk =f k ) −1 q.

()() ) q

2

fk =( −1fk +)

() fk )( 1 fk() = fk( −1)( f k +1)

142

18. Reflexionemos en torno a la figura en forma de escalera.

a) ¿Las áreas de cada uno de los escalones forman una sucesión geométrica? b) ¿Por qué? c)¿A qué es igual la suma de las áreas de los primeros escalones? d)¿Puedes decir a qué se “acerca” S(n) para n “muy grande”?

Soluciones

a) Sí.

1

b) Porque si tomamos como área inicial f (1) = 1 y como razón a q =, generaremos2

la sucesión geométrica:

1111 1

1, , , , ,…, ,…,

234 n

2222 2

que coincide con la sucesión de las áreas de los escalones:

c) 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 1 16, ,…
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 3 4 , ( ) …, ( ) …, Sn Sn n n =+ + + + + = + + + +  ⎨   −
Sn() 1 2 S n() =−1 n 1 2 Sn() = n − ⎝⎜ ⎠⎟1 1 2 1
2
Sn(). 1− ⎝ 1 2  ⎠⎟ 1=−  ⎝⎜ n1 2  ⎠ Sn n () =− ⎝⎜ ⎠ − 2 1 2 1

143

n−1

⎛1⎞

d) Como Sn =−⎜ , entonces si n es “muy grande” (verificando en la

() 2

⎝2⎠

n−1

⎛1⎞

calculadora) ⎜se hace muy próximo a cero, luego Sn≈2, es decir, cuando n es⎝2⎠

 ()

“muy grande” S (n ) se acerca a 2, que era lo que debíamos esperar, dado que 1 es el área del cuadrado que se transformó más el área original que también es 1. Simbólicamente podemos escribir:

111 1

1 ++++ +… (con infinitos sumandos) = 2.2 4816

Aunque sería un tanto paradójico que una suma infinita de sumandos resulte ser un valor finito determinado.

11 121 1331 14641

19. Encuentra la suma de la sucesión infinita: 1,,,, . 10 100 1000 10000

Solución

Conviene escribir el numerador y el denominador como potencia de 11 y 10

234

1111 11 11

respectivamente: 1,, ,,,…

234

1010 10 10

Primero hallaremos la suma de los primeros n términos S ( n ): (hasta el n-ésimo sumando)

11 121 1331 14641

Sn=+++ + …

() 1 ++

10 100 1000 10000

23 4

1111 11 11

=+++ + ++ …

1 10 100 1000 10000

n−1

234

1111 11 11 ⎛11⎞

=+1 +++ … ⎜

++ (hasta el n-ésimo sumando)

234

1010 10 10 ⎝10⎠

144

23 n−1

11 ⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞

⎪() =+1 + …

Sn  ⎟+ ⎟++ 

 10 ⎝10⎠⎝10⎠⎝10⎠

−

234 n

⎪11 11 ⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞

Sn = +  ⎟+ … ⎜⎟

() ⎟+⎟++

10 10 ⎝10⎠⎝10⎠⎝10⎠⎝10⎠

n

11 ⎛11⎞

Sn − Sn 1 ⎜

() () =−⎟

10 ⎝10⎠

n

 11⎤⎛11⎞

Sn()1− =− ⎟1

⎢⎥

⎣10 ⎦⎝10⎠

n

⎛11⎞

1− ⎟

⎝10⎠

Sn =

() 1

10

n

⎛11⎞

⎜⎟

1 ⎝10⎠Sn() =− +

11 10 10

n

⎛11⎞

Sn 1010⎜

() =−+ ⎟

⎝10⎠

⎛11⎞n

Cuando n se hace muy grande ⎜⎟, también es bastante grande (puedes⎝10⎠

comprobarlo con la calculadora), lo que se debe a que 11 es mayor que 1 y una

10magnitud mayor que 1 elevada a potencias “grandes” se hace “muy grande”. Luego entonces, el resultado de sumar la secesión originalmente propuesta nos lleva a que dicha suma es “muy grande” para cualquier número n suficientemente grande que se tome, ya que cuando algo “muy grande”, a su vez se multiplica por 10, se hace todavía “más grande”, pero al restarle 10 no le afecta, sigue siendo “muy grande”. Es decir, el resultado de

11 121 1331 14641

1 ++++ +… infinitamente grande.

10 100 1000 10000

20. ¿Recuerdas la situación planteada en el Inicio del capítulo? En ella te pedimos obtener la suma de las áreas de los cuadrados construidos como se muestra en la siguiente figura.

145

Respuesta al ejercicio que presenta el Inicio del capítulo.

Compara la respuesta que te presentamos con la solución que tu propones a dicha actividad.

A1 =a•a a2

=

a X1

(A1 = área del primer cuadrado)

a

a

2 22

 a⎞ a a

x =+ x =

22 2 a X2 22

aa aa

2

x =+ x =

44 22

2a2 a2

A = (A2 =área del segundo cuadrado)

x = 4 22

2

a

x =

2

Observa que en lugar de calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo formado, puedes dividir la nueva figura en triángulo, formando así ocho triángulos congruentes, que

2

forman el área anterior, o sea a, mientras que la nueva área que nos interesa sólo

2

contiene cuatro de dichos triángulos, es decir, la mitad del área anterior, esto es a a. 2

146

2

a ⎛aa⎛

⎞ a

x3 = A3 =⎜⎟⎜⎟;A3 = ( A=área del tercer cuadrado)

2 ⎝22 ⎠⎝⎠22 3 a2

aa a 2

x4 = 22 A = ;A = 3 1 a ( A4 =área del cuarto

44 A

2222 2 4 = 2 cuadrado).

22

Advierte que el exponente del denominador es una unidad menor que el índice del área.

2

a

Por hipótesis supondremos que A = .

n−1 n−2

2

En el siguiente paso intentaremos obtener una fórmula parecida, aunque debemos recordar que la construcción auxiliar de los triángulos para la nueva figura hace que el área sea la mitad del cuadrado anterior, esto es:

22

1a a

A =

n 1,

n−2n−

22 2

que en efecto es la misma que la hipótesis y reproduce para los n naturales las primeras áreas ya obtenidas.

Por el principio de inducción tenemos que si la fórmula es válida para n = 1, por hipótesis es cierto para n – 1, lo demuestra que también para n es valida. Por consiguiente, la fórmula de las áreas para cada paso es verdadera para todos los números naturales.

La suma de todas las áreas obtenidas mediante el procedimiento geométrico infinito de formar un nuevo cuadrado con base en los puntos medios del cuadrado anterior, A1 AA3…++A…, corresponde a la expresión:

+ ++2 n

222 2

aaa a

a2 ++++…+++ …, …,

23 n 1

222 2 2 111 1 ⎞

se escribe () + …

que al factorizar aaa2 ⎜1++ ++… +⎟ , de lo que

23 n−1

⎝222 2 ⎠

resulta:

111 1

1 ++ ++…++…

23 n 1

222 2

147

Para saber cómo se comporta esta suma infinita consideremos la sumas parciales que ya sabemos calcular, formamos una nueva sucesión con uno, dos, tres sumandos, etc., hasta la suma de n sumandos, que denotaremos por:

S1 =1

1

S21

=+

2 11

S 1

=+ +

32

22

11 1

Sn 1 ++ .

=+ + …

2 n−1

22 2

La sucesión de áreas forma una sucesión geométrica, ya que cada sumando se obtiene

1

al multiplicar el anterior por la razón . Recuerda que para calcular la suma basta

2 1

multiplicar Sn por la razón y luego restar las expresiones:

2

148

111 1

1

S =++ +++ …

n 23 n−1

222 2 1 1111 1

S =++ +++

n 2 3 4n

2 2222 2

1  111 1 ⎞⎛111 1 

… ++

Sn − Sn =⎜1++ +++ ⎟−⎜++ … ⎟

23 n−1 23n

2 ⎝22 2 2 ⎠⎝222 2 ⎠

 1 1

Sn ⎜1−⎟=−

1

n

⎝2⎠2 (Todos los términos se anulan excepto el 1o. del primer paréntesis y el último del segundo)

11−

n

2S =

n

1 2  1 

S =21−

n ⎜⎟

n

⎝2 ⎠

1

S =−

2

nn−1

2

Para obtener la suma que tiene infinitos sumandos debe tomarse la n mayor que cualquier número dado de antemano, lo cual implica que n debe ser “muy grande”, pero

1

para n muy grande es muy pequeña, entonces para n mayor grande Sn será muy

2n−1

cercano a dos.

Regresando entonces a la expresión original ( a ) tenemos que la suma infinita es de la forma:

(multiplicada por el límite de Sn cuando n es  111 1  muy grande).

a ⎜1+++++ +…⎟a

2 2 3n−12

⎝222 2 ⎠

22 1

=a 2(a

[] multiplicada por el límite de ⎜2 − , cuando n es muy grande).

n−

⎝21

=2a2.

149

El resultado puede parecer paradójico, pues se está sumando un número infinito de áreas a partir de un cuadrado original de lado a tan grande como se quiera, y el resultado final es que el área restante no es infinita sino finita, exactamente dos veces el área original. Fenómenos de este tipo considera el concepto de fractal, una de las partes de la Teoría del caos que estudiarás en posteriores fascículos.