1.2 FUNCIÓN INVERSA


Las funciones reales uno a uno se llaman biyectivas, cuya función inversa se obtiene invirtiendo el dominio por codominio; por ejemplo:

Sea la función Linealƒ:   con ƒ(x) = 2x

Calculamos imágenes

Diagrama de Venn   ƒƒ(x) = 2xƒ(-1) = 2(-1) = -2ƒ(0) = 2(0) = 0ƒ(1) = 2(1) = 2ƒ(2) = 2(2) = 4ƒ(3) = 2(3) = 6

Para obtener su inversa, invertimos el dominio por el condominio y vemos si la relación entre los elementos sigue siendo uno a uno. (El símbolo para representar la inversa de ƒ es ƒ-1.)

ƒ -1

La regla de correspondencia para las funciones inversas de las funciones algebraicas como la anterior, se obtiene de la siguiente forma:

Sea ƒ(x) = 2x (1)

o y = 2x (2) De la ecuación (2) se cambia la x por la y, obteniéndose: x = 2y (3) De la ecuación (3) se despeja y, obteniéndose:

xx

y = 2 o ƒ-1(x) = 2 (4)

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ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Resuelve lo siguiente:

De la función ƒ:   con ƒ(x) = x2, calcula las imagenes ƒ(-2), ƒ(-1), ƒ(0), ƒ(1), ƒ(2),ƒ(3) y represéntalas en un diagrama de Venn relacionando las parejas de los dos conjuntos mediante flechas; determina la regla de correspondencia de la función inversa y calcula las imágenes para los mismos valores anteriores, además de representar el dominio y codominio en un diagrama de Venn relacionando las parejas con flechas, y analizar la gráfica obtenida, señalando si es o no función. (De la gráfica resultante podras notar que la inversa de la función deja de ser función porque cada elemento del dominio tiene dos imágenes; por lo tanto, no se puede hablar de funcion inversa).

Para trazar una función y su inversa en el plano coordenado, calculamos algunas imágenes y en una tabla formamos las parejas ordenadas de la función; para la inversa invertimos los elementos de cada pareja. Veamos el siguiente ejemplo:

Sea ƒ:  →  con ƒ(x) = 3x -2.
Para la función inversa
y = 3x -2 (1)
Invertimos las variables y despejamos y:
x = 3y -2 (2)
∴ y = x +2 3 .
La función inversa es:
x +2

ƒ-1

:  →  con ƒ-1(x) =

.3

Calculamos las imágenes de ƒ(x) y en una tabla formamos las parejas ordenadas de la función mientras que para la inversa invertimos las parejas.

x ƒ(x) = 3x -2 [x, ƒ(x)] [x, ƒ-1(x)]
-1 ƒ(-1) = 3 (-1) -2 = 3-2 = -5 (-1, -5) (-5, -1)
0 ƒ(0) = 3(0) -2 = 0 = 2 = -2 (0, -2) (-2, 0)
1 ƒ(1) = 3(1) -2 = 3 -2 = 1 (1, 1) (1, 1)
2 ƒ(2) = 3(2) -2 = 6 -2 = 4 (2, 4) (4, 2)
3 ƒ(3) = 3(3) -2 =9 -2 = 7 (3, 7) (7, 3)

Observa que las parejas ordenadas de la función inversa se obtuvieron invirtiendo las parejas de la función; sin embargo también se pueden obtener mediante su regla de correspondencia.

x +2

ƒ-1 (x) = .

3

Para comprobar el valor de las parejas de la tabla 17 a través de la regla de correspondencia de la función inversa, se localizan los puntos de la tabla en el plano coordenado y los unimos, obteniendose la gráfica de L1, y su inversa L2.

Si en la misma gráfica trazamos la función ƒ: R →R con ƒ(x) = x, L pasa por el origen y tiene un ángulo de inclinación de 45° como se indica en la gráfica; L es eje de simetría de L1 y L2, es decir, si trazamos segmentos perpendiculares a L que unan L1 y L2, sus longitudes siempre serán iguales, por lo que se dice que L2 es simétrica a L1 con respecto a L, y también que L2 es el reflejo de L1 a través de L.

Gráfica 9.

La función exponencial como ya se estableció, corresponde a las funciones trascendentes; es continua, creciente o decreciente en tanto su dominio es uno a uno; por lo tanto, es función biyectiva y tiene inversa, la cual se obtiene al invertir el dominio por el codominio.

Para trazar su gráfica se calculan las parejas ordenadas de la exponencial y para su inversa se invierten las parejas.

Sea ƒ: R → R+ con ƒ(x)=2x, x∈R, traza su gráfica y la de su inversa. Primero se calculan las imágenes en una tabla.

42 Tabla 18.

Función exponencial Función inversa
x ƒ(x) = 2x [x, ƒ(x)] [ƒ(x), x]
-3 ƒ(-3) = 2-3 = 1 23 = 1 8 (-3, 1 8 ) ( 1 8 , -3)
-2 ƒ(-2) = 2-2 = 1 22 = 1 4 (-2, 1 4 ) ( 1 4 , -2)
-1 ƒ(-1) = 2-1 = 1 2 = 1 2 (-1, 1 2 ) ( 1 2 , -1)
0 ƒ(0) = 20 = 1 (0, 1) (1, 0)
1 ƒ(1) = 21 = 2 (1, 2) (2, 1)
2 ƒ(2) = 22 = 4 (2, 4) (4, 2)
3 ƒ(3) = 23 = 8 (3, 8) (8, 3)
C1 = ƒ(x) = 2x C2=ƒ-1(x)=log2x

C2 es la gráfica de la función inversa de la exponencial C1, que también son simétricas con respecto a la misma recta ƒ(x) = x.

Gráfica 10.

Analiza la gráfica de C2, establece sus propiedades y comenta tus conclusiones con tu profesor o asesor.

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ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

En la misma forma que la gráfica anterior, traza la gráfica correspondiente de cada función y su inversa.

  1. ƒ: →+ con ƒ(x) = 3x 4. ƒ: →+ con ƒ(x) = 8x
  2. ƒ: →+ con ƒ(x) = 4x 5. ƒ: →+ con ƒ(x) = 10x
  3. ƒ: →+ con ƒ(x) = 6x En el ejemplo de la amiba se estableció que la función que rige su reproducción es:

ƒ: A → B con ƒ(t) = N02t, donde: N0 = 10 000 000 por cm3 t = periodos de 20 min. Con esta función se puede ., tiempo necesario para que el número de amibas sea de 320 000 000. La solución de este problema fue posible porque el número de amibas se puede expresar como una potencia de 2, lo cual no siempre ocurrirá; por ejemplo, ¿en qué tiempo habrá 200’ de amibas?

Sustituimos en:

ƒ(t) = 200’ = 10’ 2t.

Despejamos 200′ 2t = = 20 millones

10′

∴ 2t = 20

Para determinar el valor de t se puede recurrir al método de ensayo y error, que consiste en dar valores y realizar 2t hasta obtener 20. Analicemos la siguiente tabla:

t 2t = 20
3 23 = 8
4 24 = 16
5 25 = 32

Tras analizar estos valores vemos que el valor de t se encuentra entre 4 y 5, por lo que se deben dar valores cercanos a 4 para ir aproximándonos.

Veamos para t = 4.2

42 21

5 5 221

24.2 = 2 10= 2 =

= 18.4

para t = 4.5

45 9

24.5 = 210= 2 2=

De estos resultados se concluye que se puede aproximar poco a poco; pero será muy difícil determinar el valor de y mediante este método. Para el cálculo de t el método recomendable es el uso de la función logarítmica, la cual es la inversa de la función exponencial, tema que a continuación estudiarás.

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EXPLICACIÓN INTEGRADORA

Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones como son las siguientes:

Recuerda que las funciones reales uno a uno se llaman biyectivas, cuya función inversa se obtiene invirtiendo el dominio por el codominio.

La función exponencial como ya se estableció, corresponde a las funciones trascendentes; es decir, a operaciones que tienen que elevar cierta cantidad a un número correspondiente (nx), esta será creciente o decreciente continua en tanto su dominio sea uno a uno.

 

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