Al analizar la gráfica de la función (2) vemos que hay puntos a la misma altura, es decir, alineados horizontalmente, que tienen la misma ordenada. Para estos puntos desglosamos una función que se presenta en la forma:
T(t) =100
Esto significa que el valor de la temperatura es siempre el mismo para cualquier tiempo mayor o igual a 24 minutos.
Por esta razón, cualquier función de modelo como la anterior se denomina función constante.
Y el Diagrama Venn para la relación de los datos de ésta función es:
FUNCION LINEAL
En cambio, los valores de 0 ≤≤22 corresponden a los puntos alineados
toblicuamente a los ejes, es decir, sobre una línea oblicua, que son de la función T (t) = 30+30(t).
A cualquier función que presente esta propiedad se le conoce como función lineal.
Veamos ahora si a partir de este ejemplo puedes construir otra función e identificar sus elementos, los cuales como sabemos, son:
Todas las cosas que ocurren en la Naturaleza y en la sociedad sufren alteraciones en el transcurso del tiempo, por lo que a su vez unos fenómenos varían con respecto de otros, aunque algunos valores calculados o medidos no cambian en ciertos periodos. Ejemplo de ello son: el movimiento de los planetas, el volumen de la materia cuando se calienta y la reproducción de microorganismos infecciosos.
Desde siempre el hombre ha tratado de comprender y representar dichos cambios tanto mental como matemáticamente. Las expresiones desarrolladas para este efecto son lo que conoces como funciones.
Los investigadores y científicos necesitan representar en forma algebraica los fenómeno que desean estudiar para descubrir sus propiedades y encontrarles aplicaciones.
Para comprender lo que es una función partiremos de un problema práctico.
Ejemplo 1
Un estudiante en el laboratorio de su escuela, que se encuentra cerca de la playa, desea comprender qué ocurre con el agua al calentarla. Para ello enciende el mechero Bunsen, comienza a calentar el agua y mide su temperatura cada dos minutos. Para no olvidar los valores registra en una tabla el tiempo y la temperatura. Puedes hacer tus propias mediciones en la clase de Física.
t (min)
T °C
0
30
2
36
4
42
6
48
8
54
10
60
12
66
14
72
16
78
18
84
20
90
22
96
24
100
26
100
28
100
Si escribes cada valor de la temperatura utilizando la temperatura inicial de 30°C y los tiempos que van transcurriendo se obtendrá lo siguiente: T= 30 =30+0=30+3(0) T=36=30+6=30+3(2) T=42=30+12=30+3(4) T=48=30+18=30+3(6) Ahora tú desglosa el siguiente valor. T=54= __________________________ Generalizando estas expresiones se obtiene: T=30+3(t) (1)
Tabla 18
Como puedes observar en el tiempo t=0 se realiza la primera medida de temperatura de 30°C llamada temperatura inicial.
Elabora los ejercicios considerando lo que ya estudiaste.
A) Responde ahora las siguientes preguntas o completa las frases según se requiera.
Elige dos temperaturas consecutivas entre 0° y 22° y anota en cuánto difieren: ________ °C.
¿Cuánto varía la temperatura de una medición a otra? ____________ °C.
Si continuas tomando mediciones después de los 28 minutos, ¿qué valores esperas
que marque el termómetro?. _____________________________________________ ____________________________________________________________________.
Como la temperatura no cambia en dichas mediciones, resulta ser una cantidad llamada _____.
Para continuar traza los puntos de la tabla en el plano cartesiano.
Gráfica 24
Observa que la temperatura aumenta al transcurrir el tiempo y que esto ocurre hasta el minuto 24, a partir del cual la temperatura se conserva en el valor de 100°C por más que avance el tiempo.
Por lo anterior vemos que hasta el minuto 24 los valores de la temperatura dependen del tiempo en que se midan, por lo que se dice que T es función del tiempo y, y entonces la expresión (1) se debe escribir de la siguiente forma:
T(t) = 30+3t (2)
Esta expresión corresponde a un modelo más general, como el siguiente:
f(x) =30+3x,
el cual representa otros fenómenos con características similares. Consulta otros ejemplos en las referencias o bibliografía.
B) Representa ahora los valores del tiempo t mediante el conjunto D y los de la temperatura T, con R mediante un diagrama de Venn y señala en el mismo la relación entre dichos valores.
Como te habrás dado cuenta, los elementos de R se pueden calcular a partir de los correspondientes de D usando la expresión (2).
De esta manera, esta relación de correspondencia entre los conjuntos D y R representa la función T(t) = 30+3t.
D
R
0
30
2
36
4
42
6
48
8
54
10
60
12
66
14
72
16
78
18
84
20
90
22
96
•
•
•
•
•
•
t
30 + 3 (t)
Diagrama de Venn Tabla 19
C) De acuerdo con el diagrama, completa los siguientes enunciados.
• Solamente un valor R se obtiene con cada __________ de D en el intervalo ( 0, 22 ).
A las relaciones entre los elementos de dos conjuntos que siguen una regla o comportamiento se les ha dado el nombre de funciones.
A un valor del Dominio (D), le corresponde uno y solo un valor del Rango (R).
Escribe los valores que se le pueden asignar al tiempo t en el conjunto D= {}para la función (2). A partir de este conjunto, ¿cuáles son los valores que se obtienen para la temperatura T?. R= {}. ¿Conoces el nombre que se le da a los conjuntos D y R?. Respuesta: D se llama domino de la función y R se llama rango de la función. Con esta respuesta puedes comprender por qué se asignó las letras D y R a los conjuntos anteriores. El nombre que recibe cada conjunto R es ___________________________. Como podrás observar, cada valor de la temperatura depende del valor del tiempo transcurrido. Por tal motivo:
A la temperatura T se le llama variable dependiente y al tiempo t se le llama variable independiente, es decir, los valores de la función los determina o “domina” el tiempo t.
Las gráficas de funciones, que hasta hoy eres capaz de trazar, son las del tipo lineal y cuadrático, pero éstas no son suficientes para describir los distintos fenómenos naturales, económicos y sociales que se presentan en el desarrollo de un país, como, por ejemplo, la necesidad de reducir al máximo el material con que se fabrican cajas para envasar productos comerciales, o la de construir puentes para comunicar dos ciudades.
Por esta razón representaremos algunas otras funciones y sus gráficas, a fin de que puedas describir la mayoría de dichos fenómenos mediante modelos algebraicos que representen, a su vez, los respectivos procesos de cambio; así mismo, vamos a perfeccionar el método de tabulación que hemos empleado hasta ahora para graficar funciones, ahora de tipo polinomial.
Un modelo de función que surge a menudo durante la solución de algunos problemas de economía es:
3
b
V(b) =− +27b (1)
4 Este tipo de modelo es común, ya que toda empresa busca siempre emplear el mínimo de material en sus procesos para obtener la máxima utilidad. El siguiente ejemplo proporciona un modelo como el anterior.
Ejemplo 1
Una empacadora necesita reducir lo más posible el costo de las cajas de base cuadrada y sin tapa que emplea con el fin de utilizar menos cajas y, desde luego, reducir su costo. Para ello es necesario encontrar las dimensiones que proporcionen mayor volumen con 108 cm2 de material destinado a cada caja.
Para elaborar el modelo matemático que represente la solución al problema, puedes partir de las dimensiones representadas en la siguiente figura (2).
hh hh
108 cm2
b
hh
b
b
b
b hh
h hh
b= lado de la base cuadarada h = altura de la caja
Figura 3
Nota: Observa las siguientes figuras de izquierda a derecha y recuerda que a la “caja” se le va a quitar una mínima parte en cada extremo de la superficie, para que de esta forma pueda tomar una caja sin tapa que tenga un volumen máximo.
¿Sabes cómo se calcula el volumen de este cuerpo?. Se hace mediante esta fórmula:
81
V= Área de la base por altura como el largo es igual al ancho por ser cuadrada la base V = b2h entonces A = b2 = Área de la base donde: A lateral = bh como son 4 tenemos que:
La superficie total del material es:
Sb= 2+4bh =108 ¿Por qué?
Como queremos usar una cantidad fija de material en la elaboración de cada caja, y obtener el volumen máximo, se necesita encontrar una relación entre la superficie y el volumen de la caja.
Para lograr lo anterior despejemos h de la expresión que dimos para S. Por lo tanto,
108-b2
h=
4b
En este último cociente, como puedes ver, no será posible que b tenga el valor de cero. ¿Por qué?. Si sustituimos el valor de h en la expresión del volumen, dicho volumen quedará en términos de b:
2 108 −b2 b3
Vb( )=27b
=− ,
4b 4
o sea:
3
b
V(b) =− +27 b ,
4
que es la misma función que la expresión (1).
Esta función nos permite buscar la medida de b que hace máximo el volumen de la caja.
Como puedes observar, el binomio representa una función de tercer grado, lo cual nos indica que la función del volumen de la caja es cúbica.
A) Ahora completa la siguiente tabla calculando los valores numéricos que faltan. En este caso puedes usar calculadora.
b
V(b)
1 3
971 108
1
2
2
52
92
6
108
8
10
20
3
b
Vb +27b
() =− 4
13 1
() ()
1 1 1971
3 27
V( ) =− +27() =− +9 =− +9 =≈899 .
3 4 3 4 108108
1
V( )=
2
3
()2
V( ) =− + () =52 2 272
4
V ( )
V ( 6 )
V ( 8 )
3
()
10
V(10) =− +27 10 =20
()
4
Tabla 16
83
Observa que sólo hemos dado valores positivos a b. Explica por qué. Asigna otros valores a b y calcula los de V. A continuación anota el Dominio (D) de la función:
D = { , } Comprueba ahora que el conjunto de valores que se puede calcular para V, a partir del conjunto anterior, es:
R ={y ∈IR / 0 ≤ y ≤ 108}
B ) Gráfica los valores de la tabla (1) en el plano cartesiano y une los puntos mediante una línea curva para que aprecies la forma aproximada de la gráfica de la función V(b).
Gráfica 21
Si analizas la gráfica y la tabla anterior, puedes realizar las siguientes actividades:
La gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo ( 0, ).
Escribe el valor aproximado de b al que corresponde el volumen máximo. Respuesta: b = 6 Evalúa la función en dicho punto para que encuentres las coordenadas del punto más
alto de la gráfica, al cual se le llama máximo. V ( 6 ) = _______________________ Coordenadas: ( , ).
84
¿Te has dado cuenta de que la recta cruza a los ejes en algunos puntos?. A estos se les llama intercepciones con los ejes.
Si la gráfica intercepta con el eje “b”, esto quiere decir que en ese momento el valor de “V” es igual a cero.
De acuerdo con lo anterior, calculemos los valores de “b” cuando V=0 por medio de la
-b3
ecuación +27b=0
4
2
⎛−b
Factorización: b ⎜+27⎟0 ⎝⎠
() 4 ⎟=
Resolviendo la ecuación de 2do. grado que está dentro del paréntesis, se tiene que
b1 =0
b2 = 108 = .
10 392
b3 =− 108 =−10 392
.
Una vez obtenidos los valores de “b”, nos damos cuenta que la gráfica intercepta al eje “b” en tres puntos distintos; de los cuales únicamente nos interesan dos; el cero y Y el tercer valor lo descartamos, ya que la caja no puede tener dimensiones negativas.
Las coordenadas de los puntos de intersepción, son ( 0, 0 ) y ( 108, 0 ).
Traza una recta vertical por el punto máximo y comprueba que tal recta es eje de simetría de la curva. Una función cúbica puede representar otro tipo de problema como el que se muestra a
continuación: Ejemplo 2 Calcula la rapidez con que crece o decrece la población de venados en una sierra.
La función en este caso es Rt -t3 42 , y como el estudio de la población debe
()=4+t
proyectarse conforme al futuro y a periodos anteriores, hay que asignar valores tanto positivos como negativos al tiempo t.
Resuelve los siguientes ejercicios:
Completa la siguiente tabla de valores y traza formalmente los puntos cartesianos para que compruebes que la gráfica tiene la forma bosquejada tal como en la figura que sigue:
t
R ( t )
-4
88
-3.5
24.5
-2
-0.5
-20.5
0
1
2
52
3.5
-24.5
4
x
Tabla 17
Gráfica 22
Contesta las siguientes preguntas o completa los enunciados. ¿En cuál intervalo la curva es cóncava hacia arriba y en cuál lo es hacia abajo?. Hacia arriba ( , ] Hacia abajo [ , ) Anota un intervalo aproximado para la abscisa de los puntos máximo y mínimo. Encuentra una recta respecto de la cual la curva es simétrica. Escribe los valores de t para los puntos de intersección con los ejes. (Para encontrar
estos valores deberás factorizar la función y posteriormente resolver la ecuación cuadrática).
86
Ejemplo 3
Se ha encontrado por vía experimental que al sostener una viga de acero por sus extremos hay cuatro puntos en los que, al aplicarles una fuerza, la viga no se dobla (momento de flexión igual a cero). Este fenómeno está determinado por la función:
01 18 104 − .x
fx() = .x − .x + . x 192
donde x es la distancia en metros del punto de aplicación de la fuerza a un extremo de la viga. Ahora, hay que obtener los valores de x para los cuales el momento de flexión es cero.
Para ello aplica el procedimiento de tabulación y podrás encontrar algunas de las características de la función, tales como: concavidad, intersección con los ejes, puntos máximos, mínimos y simetría.
Considera lo anterior para poder resolver los siguientes ejercicios:
Calcula el valor máximo de f(0), f(0,5), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6), f(7) y f(8) para elaborar la tabla de valores.
43 2
La gráfica de () 01 04 x− 1. x corresponde a la figura
fx= . x− 18 . x+1. 92
siguiente:
Gráfica 23
A partir de la tabla que acabas de hacer, localiza los puntos en el plano cartesiano y prueba que efectivamente pertenecen a la curva bosquejada.
Encuentra los intervalos de x donde la curva es cóncava. Calcula los valores aproximados para los valores de x de los puntos máximos, mínimos y de intersección con los ejes.
Evalúa la función en estos valores para que encuentres las coordenadas de dichos puntos.
Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones como las siguientes:
− Recuerda que en el fascículo anterior conociste la elaboración de gráficas de tipo lineal y cuadrático, no obstante; que ambas no son suficientes para describir los distintos fenómenos naturales, económicos y sociales que se presentan en el desarrollo de un país y de la vida misma. Es por esto que en este tema se conoció la elaboración de gráficas junto con su tabulación correspondiente y su procedimiento algebraico para conocer la intersección con los ejes, ahora de tipo polinomial cúbica y de cuarto grado.
− Se tiene que tomar en cuenta que la construcción del Modelo Algebraico, estará sujeto a las características y/o contexto del problema, por ello se recomienda leer tantas veces sea necesario para establecer las variables e incógnitas del problema.
− Recuerda que en una función cúbica puede tener valores tanto positivos como negativos asignados al tiempo, temperatura, velocidad, etc., esto dependerá de las características que presente el problema.
En el fascículo y capítulo anterior estudiaste algunas funciones polinomiales, como las lineales y las cuadráticas, ambas te permitirán describir y analizar diversas situaciones que constantemente se presentan en nuestra vida diaria.
Para este capítulo:
¿Qué aprenderás?
A conocer y a desarrollar los modelos de funciones polinomiales en la representación gráfica, además identificar sus elementos y características de cada una de ellas.
¿Cómo lo lograrás?
Considerando el estudio previo que debes tener sobre la función lineal y cuadrática, la tabulación y su representación gráfica, así como la solución de ecuaciones que además se revisaron en capítulos anteriores, te serán de gran ayuda para poder graficar y clasificar las funciones polinomiales
Con el logro de estos conocimientos lograrás identificar las características de los modelos algebraicos, conocer el concepto general de función y la clasificación de funciones, para que puedas resolver diferentes fenómenos naturales, económicos y sociales.
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