Matemáticas 2

Matemáticas 2 – Segundo Semestre

1.3.1 VÉRTICE DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA


En diversas situaciones, como en los problemas del Gimnasio Zeus y del terreno para el huerto, se necesita conocer el valor máximo o mínimo de una función cuadrática. Hemos observado que este valor es precisamente la ordenada, “y” del vértice de la parábola que constituye la gráfica de la función. Debido a lo anterior, es necesario encontrar procedimientos para obtener con exactitud las coordenadas del vértice de las parábolas con eje vertical.

 

 

 

Al realizar la siguiente actividad obtendremos interesantes resultados.

− Traza las gráficas de las funciones cuyas reglas de correspondencia se dan a continuación, considerando como su dominio de definición el conjunto  de los números reales.

2 2

a) yxf) =3

= yx

b) yx2+21

= 2

g) y= x

3

c) yx2−3

=

h) yx

=− 2

d) yx+3

=( )2 y) y x2+2

=−

e) y x(−2

=)2

2

j) yx( )+32

=+

Comparemos las gráficas de las funciones de los incisos b hasta j con la gráfica de

2

yx(inciso a).

=

x = 2 y
yx
-3 (-3)2 = 9
-2 (-2)2 = 4
-1 (-1)2 = 1
0 (0)2 = 0
1 (1)2 = 1
2 (2)2 = 4
3 (3)2 = 9

Tabla 9

35 La gráfica de y = x2 es una parábola con las siguientes características:

a) Cóncava hacia arriba. b) Eje de simetría: el eje Y. c) Vértice en el origen.

=2

Ahora observemos la gráfica del inciso b que es: Gráfica de yx+ 2.

Gráfica 9

Esta gráfica es igual a la de yx, pero traslada 2 unidades hacia arriba.

=2

a) Su eje de simetría coincide con el eje Y. b) Es cóncava hacia arriba. c) Su vértice es el punto V ( 0, 2 ).

 

 

Realiza los siguientes ejercicios: A) Traza la gráfica de yx2 -3, anota sus características y compáralas con

= la

de

yx.

=2

Generalización

=2de yx, pero una translación vertical c unidades hacia arriba, si c 0yc La gráfica de la función definida por yx+ c es una parábola igual a la gráfica

=2 >unidades hacia abajo, si c < 0.

− Aplicando los resultados del párrafo anterior determina la concavidad, la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de las parábolas determinadas por:

a ) yx= 2+ 6 =2

b) yx- 1/3 Intenta resolver este ejercicio sin dibujar las gráficas.

2

Gráfica de y x( 3)

=+

Gráfica 10

=2

Esta gráfica ha resultado igual a la de yx, pero trasladada 3 unidades a la

izquierda. − Es cóncava hacia arriba.

37

− Su eje de simetría es la recta paralela al eje “Y” tal que todos sus puntos tienen abscisa x=-3.

Ningún punto fuera de esa recta tiene abscisa igual a -3. Por lo anterior se dice que la ecuación del eje de simetría es x=-3.

− El vértice de la parábola esta en (-3, 0).

2

B) Traza la gráfica de y=( ). Compárala con la de =

x-2yx2y determina su concavidad, la ecuación de su eje de simetría y las coordenadas de su vértice.

Generalización

Del análisis de las dos últimas gráficas se concluye que la gráfica de la función definida por y=xk += 2

( )2 es igual a la de yx, pero trasladada k unidades a la izquierda, si k es positivo; y k unidades a la derecha, si k es negativo. Entonces la parábola tiene las siguientes características:

a) Es cóncava hacia arriba. b) Su eje de simetría tienen por ecuación x=-k. c) Su vértice es el punto V(-k,0).

Sin trazar las gráficas, determina la concavidad, la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de las parábolas siguientes: a) y = (x + 4)2 b) y = (x − 5)2 .

Compara las tablas 9 y 10. ¿Qué adviertes en relación con los valores de y?.

x y = 3×2 = y
-3 3 (-3)2 = 27
-2 3 (-2)2 =12
-1 3 (-1)2 =3
0 3 (-0)2 =0
1 3 (-1)2 =3
2 3 (-2)2 =12
3 3 (-3)2 =27

Tabla 10

y = 3x2

Cada valor de “y” en la tabla 9 está multiplicado por 3 en la tabla 10. Esto produce un alargamiento o expansión de la gráfica de y = x2 . La concavidad, el eje de simetría y el vértice no se alteran.

38

Gráfica 11

1 2

− Ahora traza la gráfica de y = x2 . Analízala y compárala con la de y = x.

3

Generalización

Del análisis de las dos últimas gráficas se desprende que la gráfica de yax2

=

es la de y = x2 expandida por el factor “a” si a<1 y contraída por el factor “a”, si 0<a<1.

La concavidad, el eje de simetría y las coordenadas del vértice no se alteran.

C) Determina la concavidad, la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de las gráficas.

2

a) y = 5x2 b) y = 2x

3

De las funciones yxy yx, nos damos cuenta que únicamente difieren en el

= 2=-2

signo; por lo cual su concavidad es distinta como se observa en la figura. 12 de las gráficas se concluye que el eje de simetría y el vértice no cambian de posición, pero la concavidad sí; ahora es hacia abajo.

39

Gráfica 12

D) Elabora la gráfica de y = -x2 + 2. Analiza sus propiedades, en especial la concavidad.

¿Qué relación encuentras entre el signo del coeficiente de x2y la concavidad de las

parábolas que se han trazado?.

Generalización

El signo del coeficiente de x2 en la función ya=x2bxc determina la

++

concavidad de su gráfica. Si a es positivo, la concavidad es hacia arriba, y si a es negativo, entonces la parábola es cóncava hacia abajo.

Durante el desarrollo de esta sección hemos estudiado varios casos particulares de gráficas de funciones cuadráticas y hemos llegado a formular generalizaciones que son meras conjeturas. La veracidad de estas generalizaciones se demostrará en cursos posteriores, ya que ahora no contamos con la herramienta matemática suficiente para hacerlo.

De acuerdo con los resultados que hemos obtenido es posible determinar ciertas características de las funciones cuadráticas a partir del análisis de su regla de correspondencia.

Ejemplo:

Obtener a) Las coordenadas del vértice. b) La ecuación del eje de simetría y determinar la concavidad de la parábola dada por:

y=(x−3)2−1

Solución

La gráfica de y=( )x-32-1 = 2 trasladada 3 unidades hacia la

es igual a la de yxderecha y una unidad hacia abajo. a) El vértice de la parábola cuya ecuación es yx2es el punto V (0, 0 ). Como a cada = uno de sus puntos, al vértice se le han aplicado los movimientos descritos, de manera que el vértice de la parábola representada por y=( )-32-1 x es V (3,-1). b) Todos los puntos del eje de la parábola tienen su abscisa igual a la del vértice, entonces la ecuación del eje de simetría es x=3. 2 c) La concavidad de la parábola depende del signo del coeficiente de x. Dado que en este caso es positivo, la concavidad es hacia arriba.       Realiza los siguientes ejercicios, considerando la información anterior. Ejemplo 1 − Determina las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y la concavidad de la gráfica de las funciones dadas por: 42 2 1) fx= x− ) +5 2) ()=−2(x+5 ()( fx) −3 1 2 Comprueba tus respuestas trazando las gráficas de estas funciones. De los incisos anteriores se concluye que: La gráfica de la función fx=a(+ )2+k en donde a, h y k son números reales () xh cualesquiera, a=/0 es una parábola con eje de simetría paralelo al eje Y, con vértice en el punto V= (-h, k ) y cuyo eje de simetría tiene la ecuación x=-h. El problema que ahora se nos presenta es ¿cómo obtener las coordenadas del vértice de la gráfica de una función cuadrática definida por una ecuación de la forma 2 = ++ yax bxc ?. Ejemplo 2 Determinar las coordenadas del vértice de la parábola cuya ecuación es: y= 2x+ x+ 24 3 24 3, pero que tenga la forma ya(xh + entonces el vértice será el punto V(-h,k). Si encontramos una ecuación equivalente a y= 2x+ x+ = )2+ k Tratemos de darle a y= 2x+ x+ la forma indicada. Separemos del segundo 24 24 3 miembro de la ecuación al binomio 2x+ x. Factorizando el binomio (caso del factor común) obtenemos: 22 2x + 4x = 2(x + 2x) Si agregamos al binomio que está dentro del paréntesis (x2+ 2x)el término adecuado, lo transformaremos en un trinomio cuadrado perfecto. ¿Cuál es el término que tenemos necesitamos agregar?. El término 12, esto es, el coeficiente de x dividido entre 2 y elevado al cuadrado, completa el trinomio cuadrado perfecto. Entonces: x2+ 2 1 x+= (x+ 1)2 así que x+ 2x x = (+ 11 − ) y regresando a la expresión original 2(x+ 2x) ( x+ 11 = 2[ )−] 2(x2+ 2x) ( x+ 12 = 2)− 2 Entonces 2x+ 4 2 x − 2x= () + 1 2 2 Sustituyendo el resultado anterior en la ecuación de la parábola: y= 2x+ x+ 24 3 obtenemos y= 2(x+ 1−+ )2 23 y= 2(x+ )2+ 11 La ecuación anterior tiene la forma deseada y, por lo tanto, las coordenadas del vértice son: x=-1; y=1. − Traza la gráfica de la función y= 2x+ x+ 24 3para comprobar que las coordenadas del vértice son: x=-1, y=1. 2 Apliquemos el proceso anterior a la ecuación yax +bx +c = donde a, b, y c son números reales cualesquiera, a=/0. Factorizando el binomio ax2+bx obtenemos: 2 2b ax +bx=a(x + x) a b Agregamos al binomio x2+x la mitad de b que es b y se leva al cuadrado. a a2a 2b b2 x+ x+ () a 2a Factorizando el trinomio cuadrado perfecto: bb b 2 22 x+ x+ () ( = x+ ) a 2a 2a Entonces: b bb2 x2+ xx + )2− = ( a 2a 4a2 43 2b Sustituyendo este resultado en ax(+x)obtenemos: a 2 b2 b =ax + )( − 2a 4a Entonces: 2 b2b2 ax +bx ( +− =ax ) 2a 4a Sustituyendo este resultado en ya=x2bxc obtenemos: ++ b b2 ya=(x+ )2-+c, 2a 4a 22 2 b -+b 4ac4ac-b Pero: -+= c =; 4a 4a4a b2 4ac-b2 Luego: Ya=(x+ )( + ) 2a 4a Por lo tanto Las coordenadas del vértice son: b 4ac −b2 x =− ;y = 2a 4a

1.3 GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS


Durante el estudio de los problemas planteados en este trabajo se elaboraron las gráficas de las funciones cuadráticas definidas por: a) y=-x2 +28x (figura 5) y b) y=375 x2 (figura 6). En ambos casos se obtuvieron parábolas con eje de simetría

.

vertical (paralelo al eje Y).

x y
10 180
20 160
28 0

Tabla 6

 

x y
6 135
12 540

 

 

 

Tabla 7

 

 

 

 

 

 

 

Esboza la gráfica de la función cuadrática definida por y =−5x +150x +9000 (problema del inicio del capítulo), completando previamente la siguiente tabla:

Gráfica 7 2

Los puntos del esbozo de la gráfica de la función definida por y =−5x +150x +9000 no se unen, ya que x toma únicamente valores enteros (no se admite que la cuota disminuya fracciones de dólar). La gráfica consta de un número finito de puntos, aunque no son todos los que se han dibujado.

Las funciones como ésta, cuya gráfica es un conjunto de puntos aislados , se les llama funciones discretas. De cualquier manera, los puntos de la gráfica de la función del problema del Gimnasio Zeus están dispuestos sobre una parábola con eje vertical y esto no es casual.

Las gráficas de todas las funciones cuadráticas son parábolas. El eje de simetría de las parábolas involucradas en las gráficas de las funciones cuadráticas es paralelo al eje Y.

Las propiedades de las parábolas se han aprovechado en múltiples aplicaciones. Seguramente conoces las antenas parabólicas para captar señales de televisión procedentes de satélites artificiales.

1.1.2.3 Método de Álgebra y Geometría


Los métodos que hasta ahora hemos usado nos han permitido hallar soluciones aproximadas para nuestro problema, pero si nos interesa encontrar la solución exactanecesitamos emplear otros recursos. La combinación de Álgebra y Geometría que se logra con la introducción del sistema de coordenadas cartesianas constituye una herramienta valiosa para la resolución de una gran cantidad de problemas.

A continuación se estudian de manera informal algunas propiedades de la parábola y su relación con los modelos polinomiales cuadráticos.

Algunas propiedades de la parábola

Con anterioridad se determinó que las coordenadas (x,y) del vértice de la parábola que se obtiene al graficar la relación y =−x2 +28x (gráfica 2) proporcionan el valor de x que hace máxima el área del rectángulo correspondiente al problema del huerto. Y el

valor máximo “y” de ésta, constituye para encontrar ciertas propiedades de esta curva.

A continuación se presentan una serie de ejercicios que tendrás que resolver de acuerdo a lo que ya estudiaste, si tienes dudas para su solución, acude con tu Asesor de Contenido.

A ) Resuelve lo siguiente:

  1. En papel cebolla copia la gráfica de y=-x2+28x (gráfica 2).
  2. Dóblala a lo largo tratando que coincidan las dos mitades de la parábola.
  3. Marca el doblez.
  4. Traza una recta sobre el doblez.

La recta que has trazado sobre el doblez divide la figura en dos partes en forma tal que una es la imagen de la otra, por lo que se dice que la parábola tiene simetría reflexiva o axial (con respecto de un eje). La recta que determina el doblez es el eje de simetría de la parábola.

En la parábola que nos ocupa el eje de simetría es vertical, esto es, paralelo al eje Y.

− ¿Qué puntos de la parábola coinciden al doblarla por su eje de simetría. En tu respuesta deberán estar, entre otros:

(5, 115) y (23, 115) (7, 147) y (21, 147) (9, 171) y (19, 171)

Se dice que éstos son puntos simétricos de la parábola.

Gráfica de la relación

− Traza en el plano cartesiano los puntos correspondientes a los datos de la tabla 5 (emplea una hoja de papel milimétrico para conseguir mayor aproximación).

− Compara las ordenadas de los pares de puntos simétricos de la parábola. ¿Cómo son éstas?.

Habrás advertido que dos puntos simétricos de una parábola con eje de simetría paralelo al eje Y tienen la misma ordenada.

Por otra parte, al examinar la copia de la gráfica en el papel cebolla y doblándola por el eje de simetría, se advierte que:

El eje de simetría pasa por el punto medio de cada uno de los segmentos que unen dos puntos simétricos.
El vértice de la parábola está sobre el eje de simetría, y dicho vértice se representa por el punto v(h, k), donde h es el valor de la abscisa y k es el valor de la ordenada.

De las aseveraciones 1 y 2, y del hecho de que el eje de simetría de la parábola que estamos estudiando es paralelo al eje Y deducimos que:

El valor de la abscisa del vértice de una parábola con eje de simetría vertical se puede determinar del punto medio del segmento que une a un par cualquiera de puntos simétricos.

¿Adviertes la importancia del último enunciado?

En él se encuentra la clave para obtener la base del rectángulo del área máxima, la cual es precisamente la solución del problema en estudio. Tomemos dos puntos simétricos de la parábola; por ejemplo:

A(5, 115) y A’ (23, 115)

El valor de la abscisa x, del punto medio del segmento AA´ es el promedio de las abscisas de sus extremos. Entonces:

523

x =+ =14

− ¿Qué relación tiene este resultado con el vértice de la parábola relativa al problema

que deseamos resolver? ¿Cuál es entonces la solución del problema? ¿Cuáles son

las coordenadas del vértice (h,k).

¡Eureka! La abscisa del vértice es x= 14, y 14 metros es exactamente la medida de la base que requiere el área máxima del rectángulo que constituye el terreno del huerto.

1. Calcula la altura del rectángulo con una base de 14m. ¿Qué clase de rectángulo es éste?.

2

El área máxima de l terreno se obtiene sustituyendo x por 14 en y=-x +28x

− Calcula el área máxima del terreno del huerto. ¿Qué relación hay entre el área máxima y las coordenadas del vértice?.

− ¿Deben unirse los dos puntos dibujados?. ¿Por qué?.

− ¿Qué tipo de figura se obtiene?.

Los modelos matemáticos nos permiten hacer predicciones, imitando los efectos de las variaciones de una cantidad sobre otras relacionadas con ella. En el ejemplo siguiente analizaremos las relaciones entre el tiempo y la distancia recorrida por un cuerpo con el fin de predecir su comportamiento en una situación determinada.

B ) Resuelve el siguiente problema

1. Un avión que parte del reposo avanza sobre la pista de despegue de un aeropuerto con una trayectoria rectilínea. Durante los primeros 12 segundos, a intervalos de dos segundos, se registra la distancia recorrida obteniéndose la siguiente tabla:

tiempo desplazamiento
(segundos) (metros)
0 0
2 15
4 60
6 135
8 240
10 375
12 540

Tabla 5

La pista es la que permite un recorrido máximo de 1 500 metros antes del despegue. ¿En qué tiempo llegará al avión al límite de la pista si continúa desplazándose con el mismo patrón con que siguió los primeros 12 segundos?.

A partir de los datos experimentales trataremos de encontrar un modelo que describa la relación entre el tiempo y el desplazamiento del avión (distancia medida en una dirección determinada). En este problema intervienen dos variables: el tiempo (t) y el desplazamiento (s).

De acuerdo con la definición de función.

¿Cuál de las variables consideras que es la independiente y cuál la dependiente?.

Ya que el desplazamiento de un cuerpo depende del tiempo que dure el movimiento, la variable dependiente es s y la independiente es t.

En la gráfica 4, correspondiente a la gráfica de la relación entre el tiempo recorrido el desplazamiento, los puntos se unen, ya que no se pasa con brusquedad de, por ejemplo, 2 a 4 segundos, sino que el tiempo va tomando los valores intermedios entre 2 y 4 segundos. La figura que se obtiene es la “mitad” de una parábola.

x y
6 135
12 540

Gráfica 4

Analicemos la tabla 5 tratando de descubrir un patrón para el comportamiento del desplazamiento al variar el tiempo.

− ¿Qué aprecias a primera vista en la tabla 5?. Se observa que al aumentar el tiempo aumenta la distancia que recorre el avión.

− En este caso, ¿el desplazamiento es directamente proporcional al tiempo?.

Dividiendo algunos valores del desplazamiento entre el tiempo correspondiente (distinto s

de cero) se encontrará la respuesta a la última pregunta. Si sabemos que v =

t v=velocidad, s=desplazamiento, t=tiempo

15m 60m 135 m 240m

v = 75v = 15 v = 225v = 30

1.2 3.4

2 seg 4seg 6 seg 8 seg

Las razones de los diferentes valores de desplazamiento en los tiempos correspondientes no son iguales, por cuanto que la distancia no es directamente proporcional al tiempo. Esto significa que el movimiento del avión no es uniforme, es decir, no viaja con una velocidad constante. Sin embargo, existe cierta regularidad en el comportamiento de las razones que se calcularon.

− Encuentras algún patrón que te permita determinar ¿cuál será el cociente del siguiente par de números de la tabla 4?

Observa que:

151 601 1351

=• (2)(7.5) =•(4)(7.5) =• (6)(7.5)

22 4262

Esto es, =(7.5)t

desplazamiento tiempo = 1 2 (t)(7.5),
o bien:
s 1

t2 Despejando de la igualdad anterior a “s” se obtiene:

s = 1 (7.5)t2

(1)

2

La igualdad (1) es un modelo que describe la relación entre la distancia y el tiempo en movimiento del avión del problema en estudio. Es un modelo de función polinomial cuadrática para este problema en particular, y se puede simplificar para obtener:

s =3.75t2 Si de esta última igualdad se despeja la constante 3.75 se obtiene:

s =3.75,

2

t

lo que significa que, en el caso de nuestro problema, el desplazamiento es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. La característica anterior es propia de una clase de movimiento: el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En este tipo de movimiento la velocidad no se mantiene constante, sino que aumenta de manera uniforme a medida que transcurre el tiempo.

Modelos “listos para usarse” o estandarizados.

Si en un libro de Física buscamos una fórmula que relacione el desplazamiento y el tiempo en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, encontraremos:

s =Vot +1 at2 (1)

donde: s = desplazamiento Vo = velocidad inicial a = aceleración t = tiempo

La fórmula anterior es un modelo “listo para usarse”, establecido para aplicarse a cualquier situación donde intervenga un movimiento del mismo tipo que el avión del problema.

En el caso que se analiza, la velocidad inicial (Vo) es igual a cero, por lo que la fórmula se reduce a: 1

s = at2

Si en esta fórmula sustituimos la variable “a” por 7.5 coincidirá con la fórmula que obtuvimos a partir del análisis de los datos experimentales. El valor que se atribuye a la 15 deplazamiento

variable “a” sale de la operación , dividiendo . Dato incorporado de la

2 tiempo tabla 5.

3) Comprueba que la fórmula es válida para todos los valores del tiempo anotados en la tabla 5. − Lee de nuevo el texto del problema que tratamos de resolver. ¿Cuál es el

cuestionamiento básico?. En el enunciado del problema se nos pide encontrar el tiempo en que el avión llegará al límite de la pista: 1 500 m.

− ¿Cómo emplearías la fórmula (1) para encontrar la solución del problema?. Para encontrar el tiempo que tomaría el avión en llegar al límite de la pista, en la igualdad (1) sustituimos la variable s por 1 500. Así,

1

1500 = 75.t2

2

o

1500 375 2

= .t

La igualdad anterior es una ecuación de segundo grado o cuadrática con una incógnita: Despejar t de esta ecuación es muy sencillo.

− Resolver la ecuación 1500 = .t

375 2

El proceso para resolver la ecuación anterior es el siguiente: 1500

t2

=

3.75 400 =t2,

27 . Recuerda que estamos despejando el exponente entonces t es un número

que elevado al cuadrado es igual a 400. − ¿Cuál es el número? Hay dos números que cumplen la condición dada: 20 y -20. Recuerda:

2

Si un número real t es tal que t=x (x real no negativo), entonces t es una raíz cuadrada de x. Si t es positivo o cero, entonces es la raíz cuadrada principal de x y se denota con t= x; si t es negativo, entonces es la raíz cuadrada negativa de x y se denota con

.

− ¿Es correcto escribir 4 =±2 ?. ¿Por qué?.

La ecuación s= 3.75 t2 tiene dos soluciones:

t1 = 20 y t2 = -20

Sin embargo, un tiempo igual a -20 no tiene sentido en el problema que estamos resolviendo, porque no hay tiempo negativo, por lo tanto, la solución del problema es: el tiempo que el avión tardaría en llegar al límite de la pista es igual a 20 segundos.

Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones:

− La Construcción del MODELO ALGEBRAICO, está sujeto a las características y/o contexto del problema, por ello se recomienda leer, tantas veces como sea necesario, para establecer las variables e incógnitas del problema.

− En los modelos algebraicos, polinomial y cuadrático, pueden intervenir dos o más variables: “x” y “y”. El valor de “y” depende del valor de x; por tal razón podemos decir que “y” es la variable dependiente y x la variable independiente.

− Para la solución de problemas que conducen a funciones polinomiales cuadráticas, se revisaron los siguientes métodos:

a) por tabulación b) de aproximación sucesiva. c) de álgebra y geometría.

En conjunto, los tres métodos recaen en el modelo gráfico.

− Recuerda que en una parábola:

La abscisa del vértice con respecto al eje de simetría vertical es igual a la abscisa del punto medio del segmento que une a un par cualquiera de puntos simétricos de la parábola.

 

1.1.2.2 Método de Aproximaciones Sucesivas


Calculando y para valores de x entre 13 y 15 podemos aproximarnos más a las coordenadas del vértice.

Ensayemos con algunos valores de x tales que 13 < x < 15. Por ejemplo: si x = 13.9,

y =−(13.9) −28(13.9) =195.99 . Para este valor de x el área es mayor que 195, el valor del área que aparece en la tabla 2; pero, ¿es el valor máximo de y?.

Prueba para x=14.1 y obtendrás que y =195.99; entonces debe ser 13.9 < x < 14.1.

Para x= 13.99 se obtiene y=195.9999. Para este valor de x el área es mayor aún, lo puedes observar en la figura 3.

Probemos para 13.99 < x < 14.1. Por ejemplo: si x=14.05, entonces y=195.9975. En este caso el área es menor; luego, 13.99 < x < 14.04. En la tabla siguiente se resumen los resultados:

x y
13.9 195.99
13.99 195.9999
14.05 195.9975
14.1 195.99

Tabla 4

Gráfica 3

La figura 3 muestra una ampliación de la zona de la gráfica y =-x2 +28x para 13 < x< 15.

Examinadas la tabla 4 y la gráfica 3 se concluye que el valor de x, para el cual es máxima el área (y), está entre 13.99 y 14.05.

Por tanto este método, mediante ensayo y errores, es posible acercarse a las coordenadas del vértice tanto como se desee.

– Ensaya con otros valores de x entre 13.99 y 14.05. Analizando las aproximaciones sucesivas que se han obtenido, ¿tienes alguna conjetura acerca de cuál es el valor de x que maximiza el área?.

El ser humano siempre ha buscado la manera de explicarse ciertas características y/o comportamientos que representan algunos fenómenos sociales o naturales más aún si se encuentran relacionadas con las Matemáticas.

Realiza lo siguiente:

Comprueba los resultados anteriores usando una calculadora. Si no coinciden con los anotados en el texto, revisa la secuencia de tus operaciones; es importante que aprendas a usar correctamente este instrumento y advertir que éste es un valioso auxiliar.