Matemáticas 2

Matemáticas 2 – Segundo Semestre

1.1.2.1 Método por Tabulación


Por medio de una tabla investiguemos cómo las variaciones de la base afectan al área del triángulo. Para elaborar la tabla daremos diferentes valores que podría tomar (x la base).

  1. ¿Puede ser x=0 metros?. ¿Cuál sería el área del terreno para x=0 m.
  2. ¿Puede ser x=28 metros, si la base fuera de 28m. ¿Cuál sería el área?.
  3. ¿Pueden ser x=6.8 metros? x=18.99 m. Y x=21.765 m. Justifica tu respuesta.

Por último si x=6.8m. x=18.99 m . Y x= 21.765 m. ¿Cuál sería el área del rectángulo?. Justifica tu respuesta.

Habrás llegado a la conclusión de que el conjunto de todos los posibles valores para x está formado por todos los números reales mayores o iguales que cero y menores o iguales que 28. El conjunto anterior se denota de la siguiente manera:

{xIR /0 ≤ x 28 }

∈≤

x es un número real tal que x es mayor o igual a cero pero x es menor o igual a 28 También puede usarse la notación de intervalos:

[0,28] , la cual representa al conjunto de los números 0, 28 y todos los números reales que hay entre cero y 28. Su representación gráfica es la siguiente:

intervalo [0,28] ,

0 28

Gráfica 1

Realiza el siguiente ejercicio:

Haz una lista de más de 28 números reales entre cero y 28.

Una vez que se ha determinado el conjunto de valores admisibles para la variable independiente, se procederá a elaborar la tabla asignando a x algunos de los valores permitidos. Los correspondientes valores de y se obtienen sustituyendo los de x en la igualdad y x228x .

=-+

x y
(base en f(x)=-x2+28x (área en m2)
metros)
0 f(0)=-(0)2+28(0)=-0+0= 0
1 f(1)=-(1)2+28(1)=-1+28= 27
3 f(3)=-(3)2+28(3)=-9+84= 75
5
7
9
11 f(11)=-(11)2+28(11)=-121+308= 187
13 f(13)=-(13)2+28(13)=-169+ = 195
15 f(15)=-(15)2+28(15)=-225+ = 195
17 f(17)=-(17)2+28(17)=-289+ = 187
19 f(19)=-(19)2+28(19)=-361+ =
21 f(21)=-(21)2+28(21)=-441+ = 147
23 f(23)=-(23)2+28(23)=
28 f(28)=-(28)2+28(28)=

Tabla 2

Observa la tabla 2 y anota los números que faltan. ¿Cómo varía el área del rectángulo al variar la base?.

− En la tabla se aprecia que desde x=0 metros hasta x= 13 metros el área aumenta, y para x > 15 el área disminuye.

− ¿Cuál es el mayor valor para el área que se encuentra en la tabla?. ¿Es el mayor valor posible?. ¿Crees que para valores de x comprendidos entre 13 y 15, esto es, para toda x, tal que 13 < x < 15, el área se mantenga igual a 195,

− De la tabla 2 se deduce que la medida x de la base para lo cual se obtiene el valor máximo del área se encuentra entre 13 y 15 metros, es decir, 13< x < 15.

− Construyendo una gráfica podrán apreciarse con más claridad las relaciones entre la base y el área del rectángulo. Para elaborar la gráfica localizamos en el plano cartesiano los puntos correspondientes a los pares de números que se encuentran en la tabla 2. Sobre el eje horizontal se ubican los valores de la variable independiente, x (base), y sobre el eje vertical los de la variable dependiente, y (área).

Podemos obtener más puntos al considerar otros valores de x entre 0 y 28, más aún, el conjunto de los números reales mayores que 0 y menores que 28 es infinito, así que en realidad la gráfica consta de un número infinito de puntos; si todos se dibujaran se obtendría una línea sin interrupciones. Por eso, una vez ubicados los puntos, los unimos por medio de una línea continua (gráfica 2).

La gráfica que hemos obtenido es una curva llamada parábola y el punto más alto de esta parábola se denomina vértice; la ecuación de la parábola es: y =−x2 +28x

x y
2 52
5 115
8 160
19 171
20 160

Tabla 3

Nota: Observa la gráfica 2 y recuerda que el concepto de función nos indica que a cada valor de “x” le corresponde uno de “y” (por ordenada). − ¿Para qué valores de x el área del rectángulo va aumentando?. − ¿En qué intervalo de valores de x el área va disminuyendo?. − ¿Qué relación hay entre el vértice de la parábola y el valor máximo del área?.

De la gráfica 2 concluimos que: El área crece para valores de x desde 0 hasta un número entre 13 y 15, a partir del cual disminuye.

El área decrece para valores de un número entre 13 y 15 hasta 28. La ordenada (y) del vértice es el valor máximo del área y su abscisa (x) es la longitud de la base que hace máxima el área del rectángulo. Por lo tanto, encontrando las coordenadas del vértice tendremos la solución a nuestro problema. ¿Cómo pueden determinarse las coordenadas del vértice?. Por la gráfica sabemos que la abscisa x, del vértice está entre 13 y 15, y que su ordenada, y, es un poco mayor que 195. La gráfica nos proporciona únicamente una solución aproximada. Ensayemos otro método.

1.1.2 Método de Solución


A continuación en este apartado estudiaremos los Métodos de Solución para Problemas que conducen a Funciones Polinomiales Cuadráticas tal como: Método por Tabulación,Método de Aproximaciones Sucesivas y Método de Álgebra y Geometría

 

CAPÍTULO 1. FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA Y SU RELACIÓN CON LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS


1.1 PROBLEMAS QUE CONDUCEN A FUNCIONES POLINOMIALESCUADRÁTICAS

1.1.1 MODELO POLINOMIAL CUADRÁTICO
1.1.1.1 Construcción del Modelo Algebraico

¿Recuerdas cómo se obtiene el área de un rectángulo?. El área de un rectángulo cualquiera se obtiene multiplicando su base por la altura correspondiente.

Representaremos con “y” el área y con “x” la base del rectángulo. Si el perímetro del rectángulo es igual a 56 metros, ¿cuánto suman la base y la altura?. La suma de la base y la altura del rectángulo es igual a 28 metros (la mitad del perímetro). De este modo una expresión para la altura es:

P = 2x+2y

y

56 = 2(x+y) x y= 28-x

∴ y = 28-x

Así tenemos que el área del rectángulo es: Base por la altura

A = x(28-x) y = x(28-x),

o bien,

desarrollando el producto obtenemos el modelo algebraico y = -x2 + 28x.

a) Modelo algebraico f(x) = -x2 + 28x

Esta igualdad es un modelo algebraico para el área del rectángulo que estamosconsiderando. Representa, en el lenguaje del Álgebra, la relación entre todas las medidas de la base y el área correspondiente.

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b) Modelo polinomial

Un polinomio en x es de la forma ao xn + a1 xn-1 + a2xn-1 + ….+an-1 x +an . El modelo que

se obtiene es un modelo polinomial porque el segundo miembro de la igualdad,

y =-x2 +28x es un polinomio en x.

c) Modelo cuadrático

El modelo y =-x2 +28x es un modelo polinomial cuadrático o de segundo grado

porque el grado del polinomio -+x2 28x es 2, esto es el maximo exponente con el que aparece la variable x es 2, en el término x2 . La función cuadrática puede ser completa f(x) = ax2+bx+c ó incompleta cuendo le falta algun termino menos el cuadrático.

En este modelo intervienen dos variables: x, y. El valor de y depende del valor de x; por tal razón decimos que y es la variable dependiente, x la variable independiente, de acuerdo con la definición de función.

Lo anterior significa que el área del terreno de nuestro problema depende de la longitud de su base.

Por ejemplo, si la base del terreno fuera de 10m, el área sería:

y=-(102)+2810 ( )

y=-100+ 280

y=180 m 2

Calcula el valor del área para una base de 12 m.

Una vez establecido el modelo algebraico emplearemos diversos métodos para buscar la solución del problema ó sea encontrar el área maxima.

PROPOSITO


El ser humano siempre ha buscado la manera de explicarse ciertas características y/o comportamientos que representan algunos fenómenos sociales o naturales más aún si se encuentran relacionadas con las Matemáticas.

Dada la importancia que representa esta cuestión. El presente fascículo busca que al concluir su estudio:

¿Qué aprenderás?

A conocer y a desarrollar el concepto de ecuación cuadrática, identificando sus elementos y dominando los procedimientos de solución algebraica y gráfica de este tipo de ecuaciones tales como: ensayo y error, factorización, completando cuadrados y la fórmula general usando la gráfica de la función para localizar sus raíces asociadas.

¿Cómo lo aprenderás?

Considerando la experiencia previa sobre el estudio de la función lineal, cuadrática, la tabulación y su representación gráfica.

¿Para qué te va a servir?

Para que analices soluciones de problemas que conducen al planteamiento de modelos algebraicos y la representación gráfica de funciones polinomiales cuadráticas.