Matemáticas 2

Matemáticas 2 – Segundo Semestre

CAPÍTULO 1. FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA Y SU RELACIÓN CON LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS


En diversos campos de la actividad humana como el comercio, la industria, la investigación en ciencias naturales y sociales, la tecnología, etc, se presentan problemas tales como implementar los ingresos en un negocio, acertar en el blanco al lanzar proyectiles, calcular la distancia que recorre un cuerpo que se desplaza con movimiento uniformemente acelerado y concentrar la luz del sol para aprovechar su energía. Para resolver estos problemas, entre muchos otros, tenemos que analizar sus características en un lenguaje de nociones y ecuaciones matemáticas, es decir, construir el modelo matemático correspondiente para estudiarlos como problemas matemáticos.

Por ejemplo, en el gimnasio Zeus hay 150 socios que pagan una cuota mensual de 60 dólares (utilizaremos dólares para simplificar los cálculos). El dueño del gimnasio desea incrementar sus ingresos, por lo que ordena un estudio de mercadotecnia, en el cual recomienda reducir la cuota, ya que por cada dólar que ésta disminuya, se inscribirán cinco nuevos socios. ¿En cuántos dólares debe reducirse la tarifa para obtener la máxima ganancia mensual?.

La búsqueda de la solución de este problema lo iniciamos con una tabla donde se muestre la variación que sufre el ingreso al reducir la cuota. Según el estudio de mercadotecnia, en la medida en que se reduzca la cuota aumentará el número de socios; sin embargo, ¿reportará más ganancias el hecho de que se inscriban más socios pagando una cuota menor?.

En la tabla siguiente se presentan los ingresos correspondientes a varias reducciones en la cuota; en ella x representa el número de dólares que la cuota disminuye.

Número de dólares Número de Cuota (dólares) Ingreso (dólares)
que disminuye la socios
cuota (x)
0 1 15 20 30 40 150 155 225 250 300 350 60 59 45 40 30 20 9 000 9 145 10 125 10 000 9 000 7 000

Tabla 1

Observa la tabla 1 y contesta: ¿Siempre que se reduce la cuota, aumenta el ingreso?. ¿Para qué valor de la reducción es el ingreso máximo?.

Otra opción para solucionar este problema es elaborar un modelo algebraico que describa las relaciones entre las reducciones a la cuota y el ingreso, y después aplicarle los métodos propios de las Matemáticas.

Representaremos con x el número de dólares que disminuye la cuota y con y el ingreso. El número de socios cuando la cuota se reduce x dólares es 150 + 5x y la cuota, 60-x dólares. El ingreso se obtiene al multiplicar el número de socios por la cuota. Por lo tanto:

y = (150+5x) (60-x)

Simplificando, al efectuar el producto se obtiene:

2

y =−5x +150x +9000

La igualdad anterior es el modelo algebraico que representa de manera simbólica la relación entre todos los posibles descuentos a la cuota y al ingreso correspondiente. Se dice que este modelo es cuadrático porque el mayor exponente que tiene la variable independiente “x” es, operando con el modelo que se encuentra la solución al problema matemático para, finalmente se transfirieran los resultados a la “situación real”.

En el desarrollo de este capítulo se emplearán diferentes recursos para resolver problemas en los que, como en el anterior, intervienen modelos cuadráticos.

INTRODUCCION


El tema que se desarrolla en este fascículo, funciones polinomiales y su representación gráfica, tiene gran importancia en las Matemáticas. Estas funciones son modelos que describen las relaciones entre dos variables que intervienen en diferentes problemas y/o fenómenos, los cuales al ser humano le interesa comprender por diversas razones.

Recordarás que en el fascículo anterior revisaste los temas de: Relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado con dos incógnitas, la gráfica y los problemas que conducen a una función lineal. Estos conceptos previos te serán de gran ayuda para comprender y aplicar los diferentes métodos de solución para los problemas que conducen a una función polinomial. Por ejemplo, el ser humano en el intento por desentrañar los misterios del Universo; ¿Qué tiempo tarda en aparecer el fenómeno llamado eclipse?, los científicos emplean algunos conocimientos sobre las funciones cuadráticas y su representación gráfica. Otro ejemplo y aplicación es cuando se quiere calcular la distancia que recorre un proyectil, cuando es disparado por un submarino con dirección a un barco cuyo punto más cercano se encuentra a cierta distancia del punto de partida del proyectil. Para este fascículo estudiaremos los siguientes capítulos:

El primer capítulo te proporciona elementos para trabajar la solución de problemas que conducen a funciones polinomiales cuadráticas, además tendrás más posibilidades de comprender las relaciones funcionales entre dos o más variables que participan en diversos casos y/o situaciones que llevan a la solución de dichos problemas.

El segundo capítulo trabajarás la representación gráfica de funciones polinomiales, así como el análisis de funciones, concepto, clasificación y representación gráfica.

Como te habrás dado cuenta, el conocimiento de las funciones te permitirá obtener diferentes valores con que representamos la ocurrencia de un fenómeno, para distintos momentos, mientras que la solución de ecuaciones que has estudiado determinará el o los valores con que se presenten dichos fenómenos para un sólo momento. Esto y más nos revela la necesidad e importancia que tiene el estudio de las funciones.

 

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA


BARNETT, Raymond A. Álgebra y Trigonometría. 2a. de. México, McGraw-Hill. 1986.

BARNETT, Raymond A., Nolasco, Margarita. Álgebra Elemental. Estructura y Aplicaciones. 2a. de. México, McGraw-Hill. 1987.

BRITTON, Jack T., Bello, Ignacio Matemáticas Contemporáneas. 2a. de. México, Harla. 1982.

PHILLIP, Elizabeth P., Butts, Thomas, Shaughnessy, Michel. Álgebra con Aplicaciones. México, Harla. 1988.

REES, Paul K., Sparks, Fred W. , Sarks Rees, Charles. Álgebra. 10a. de. México, McGraw- Hill. 1991.

SOBEL, Max A., Lerner, Norber. Álgebra. 2a. de. México, Prentice- Hall Hispanoamericana. 1989.

ZILL, Dennis G., Dewar, Jaqueline M. Álgebra y Trigonometría. 2a. de. Colombia, McGraw-Hill. 1992.

 

 

ACTIVIDADES DE GENERALIZACION


1. En Biología hay una regla aproximada llamada bioclimática para las zonas templadas, la cual establece que en la primavera y al principio del verano, algunos fenómenos periódicos, tales como la florescencia de ciertas especies, la aparición de ciertos insectos y la maduración de los frutos, por lo general se retardan alrededor de 4 días por cada 500 pies de altura; la expresión es:

d= 4(h/ 500),

donde d es el cambio en días y h es el cambio de altitud en pies (ft). Construye la gráfica de la ecuación desde cero hasta 4 000 pies, variando la altitud cada 500 pies.

2. En electrónica, un circuito eléctrico simple tiene una resistencia de 30 ohmios, como la que tienen las linternas; la corriente del circuito I (amperios), y la fuerza electromotriz, E (voltios), están relacionados por la ecuación:

E= 30 I.

Construye la gráfica de esta ecuación desde cero hasta un amperio variando la corriente de 0.1 en 0.1.

3. En cálculos de interés simple la cantidad devengada, S (monto), en una función lineal del tiempo medido en años:

S= P + Prt.

t = tiempo donde :

r = tasa de interés p = capital

Calcula S transcurridos 15 años, si el capital, P, es igual a $100.00 y la tasa anual de interés, r, es igual a 4%. ¿En qué momento el monto es igual a $220.00?.

4. La depreciación directa o lineal supone que un artículo pierde todo su valor inicial de A dólares durante un periodo de n años. Si un artículo que cuesta 20 000 dólares cuando está nuevo, se deprecia linealmente por un periodo de 25 años, determina la función lineal dando su valor, V, en dólares, después de x años (desde cero hasta 25 años). ¿Cuál es el valor después de 10 años?.