Matemáticas 2

Matemáticas 2 – Segundo Semestre

2.1.5.1. Fórmula del término general de la sucesión Geométrica a partir de su fórmula recurrente.


La fórmula para el término general n-ésimo ƒ(n) como función de n de la sucesión geométrica está dada implícitamente en la fórmula recurrente.

(26) ƒ(n) = qƒ(n-1)ƒ(n) = a,

donde: ƒ(n) es el resultado de multiplicar (n-1) veces a la razón q por la condición inicialn-1 ƒ(1)

ƒ(1) = a, esto es: ƒ(n) = q

(27) ƒ(n) = qn-1 a Fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Demuestra la siguiente propiedad de las sucesiones geométricas: Cada término de una sucesión geométrica de números positivos, excepto para el primero, resulta ser la media geométrica de sus vecinos.

Recuerda que la media geométrica de dos números positivos a y b es, por definición, la

raíz cuadrada de su producto: ab y los vecinos de ƒ(k) son ƒ(k-1) y ƒ(k+1).

2.1.5 SUCESIÓN GEOMÉTRICA


2.1.5.1. Fórmula del término general de la sucesión Geométrica a partir de sufórmula recurrente.

La fórmula para el término general n-ésimo ƒ(n) como función de n de la sucesión geométrica está dada implícitamente en la fórmula recurrente.

(26) ƒ(n) = qƒ(n-1)ƒ(n) = a,

donde: ƒ(n) es el resultado de multiplicar (n-1) veces a la razón q por la condición inicialn-1 ƒ(1)

ƒ(1) = a, esto es: ƒ(n) = q

(27) ƒ(n) = qn-1 a Fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Demuestra la siguiente propiedad de las sucesiones geométricas: Cada término de una sucesión geométrica de números positivos, excepto para el primero, resulta ser la media geométrica de sus vecinos.

Recuerda que la media geométrica de dos números positivos a y b es, por definición, la

raíz cuadrada de su producto: ab y los vecinos de ƒ(k) son ƒ(k-1) y ƒ(k+1).

 

 

2.1.4 SUMA PARCIAL DE UNA SUCESIÓN ARITMÉTICA


Por suma parcial n-ésima de una sucesión aritmética se entiende la suma de los primeros n términos de la sucesión; por ejemplo, si un cuerpo en movimiento recorre en el primer segundo cuerpo en movimiento recorre en el primer segundo seis metros y por cada uno de los siguientes segundo cuatro metros adicionales a los del segundo anterior, ¿cuántos metros recorrió en ocho segundos?.

Primero se escribe la sucesión de metros recorridos en cada segundo:

En el primer segundo el cuerpo recorrió 6 (metros); en el segundo, 6 + 4 = 10, en el tercero recorrió 4 adicionales a los ya recorridos en el segundo anterior: 10 + 4 = 14; en el cuarto, 14 + 4 = 18, en el quinto, 18 + 4 = 22; en el sexto, 22 + 4 = 26; en el séptimo, 26 + 4 = 34, esto es, en cada segundo el objeto recorrió: generado por ƒ(n) = ƒ(1) + (n-1)4

ƒ(n) = ƒ(n-1)+4 fórmula de recurrencia

(21) 6,10,14,18,22,26,30,34

¿Por qué en este caso la sucesión formada es aritmética?. Porque cada término de la sucesión se define por el anterior agregándole una constante d = 4, a partir de un elemento inicial de la sucesión, que es ƒ(1) = 6. Por consiguiente, ¿crees obtener el mismo resultado con la fórmula del término n-ésimo (20)?. Sí. Basta con sustituir en (20) : ƒ(1) = 6 y d = 4, luego (8) = 6 + (8-1)4 = 34, que es realmente el mismo resultado.

¿De qué otra manera se pueden sumar los ocho primeros términos de la sucesión (21)?. Mediante el método del niño Gauss, es decir, al denotar por S(8) la suma de los primeros ocho términos de la sucesión (21) (suma parcial hasta n = 8), tendremos:

S(8) = 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34.

Pero también escribiéndolo al revés:

S(8) = 34 + 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6.

Y si sumamos término a término las dos igualdades tendremos: 2 S(8) =40 + 40 + 40+ 40+ 40 + 40 + 40 + 40, donde: 840

X

S (8) = = 160 ∴S(8)=160.

2

El cuerpo en movimiento ha recorrido 160 metros después de transferir ocho segundos.

Observa que el método del niño Gauss es igual de fácil que sumar parcialmente muchos sumandos y hasta en forma simbólica. ¿Este método puede usarse para sumar los primeros miembros de cualquier sucesión aritmética? Sí, porque si denotamos por S(n) a la suma parcial n-ésima, o sea

S(n) = ƒ(1) + ƒ(2) +….+ƒ(n)

+

S(n) = ƒ(n)+ ƒ(n-1) + ….+ ƒ(1)

2S(n) = [ƒ(1)+ ƒ(n)] + [ƒ(2)+ ƒ(n-1)]+…+[ ƒ (n)+ ƒ(1)],

Sn = a1 + a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d +a1 + 4d + . . . a1 + (n-1)d Sn = an + an – d + an – 2d + an – 3d + an – 4d + . . . an – (n-1)d

2Sn = a1 + an + a1 + an + a1 + an + a1 + an + a1 +. . .an + a1 + an

2 Sn = (a1 + a1 + a1 +. . .) + (an + an + . . .) 2 Sn = n (a1 ) + n an 2 Sn = n (a1 + an )

n

∴ Sn = (a1 + an) pero an = a1 + (n-1)d

2 n

Sn = [a1 + a1 + (n-1)d]

2

Luego entonces: n [f(1) + f(n)]

(22) S(n) = .

2 ¿Cuál es la fórmula de S(n) a través de ƒ(1)n y d? si se tiene la fórmula que expresa ƒ(n) a través de n dada por (20). Basta con sustituir (20) en (22), o sea: nf1 + f( ) + ( − 1d

[() 1 n)] (23) S(n) =

2 nf + f( ) + ( −1d

[() 1n

21 )]

S(n) = Fórmula para obtener la suma parcial del n-ésimo término

2 de una sucesión aritmética.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Realiza lo siguiente:

  1. Encuentra la suma de los primeros 200 números impares positivo.
  2. Demuestra la siguiente propiedad de las sucesiones aritméticas: Todo término de la sucesión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de sus vecinos. Recuerda que por media aritmética de los números a y b se entiende su

+

promedio aritmético, es decir, aby que ƒ(k) tiene por vecinos a ƒ(k-1) y ƒ(k+1).

2

2.1.3 SUCESIÓN ARITMÉTICA


Ésta es una de las más simples, pues cada término de la sucesión se obtiene sumándole al anterior una misma constante, luego entonces: La sucesión aritmética se define por la fórmula de recurrencia:

ƒ(n) = f(n-1) +d (16) ƒ(1) = b

Donde la constante d es una número fijo llamado la diferencia común puesto que de la misma fórmula de recurrencia (d=ƒ(n)-ƒ(n-1) y a ƒ(1)= b se le llama la condición inicial conocida; Ejemplo:

2,4,6,8, …, n=2,3 …

¿Es una sucesión aritmética?. ¿Porque?. Porque basta tener ƒ(1) = 2 (condición inicial) y permanentemente sumarle la constante d=2. Así obtenemos:

Sucesión Aritmética

a, a+d, a+2d, a+3d+…, +a+kd… a+nd… por ejemplo sí a=1 d=2

al substituir dentro de las sucesión

1, 1+2=3 1+4=5 1+6=7 . . . Número impares

si a=2 d=2

2, 2+2=4, 2+4=6, 2+6=8 . . . Números pares

Aquí se puede obtener la fórmula de recursión para las serie aritmética, especificando los valores para a y pares d y el rango para el índice “K” (K=O,N).

Entonces para encontrar el termino tk

Si to = a t1=a+d t2=a+2d t3=a+3d tk =a+kd (k=0,1,2…)

Ahora si nosotros queremos generar tk en términos de tk-1 usando la fórmula de recursión.

to = a t1 = a+d=to+d t2 = (a+d)+d=t1+d t3 = (a+2d)+d=t2+d

. . .

tk = (a+[k-1]d+d)= tk-1+d . . .

tn = (a+[n-1]d+d)= tn-1+d

Las fórmulas descritas se pueden agrupar en una sola fórmula de recursión.

tk = tk-1 +d (k=1,2,3)

donde se usa como condición inicial

to = a Ejemplo:

Generar los primeros 100 términos de las serie aritmética de enteros impares positivos con: a=1 d=2 n=99 k>1

t1=a=1 condición k=2,3,4…

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tk =tk-1 +d fórmula de recursión

Si k=2 t2 = t2-1+2 = t1+2 = 1+2=3

Si k=3 t3 = t3-1+2 = t2+2 = 3+2=5 . 1, 3, 5 … . .

Para

n = 1; ƒ(1) = 2 n = 2; ƒ(2) = ƒ(1)+2=2+2= (1+1)2=2⋅2=4 n = 3; ƒ(3) = ƒ(2)+2=4+2= (2+1)2=2⋅3=6 n = 4; ƒ(4) = ƒ(3)+2=6+2= (3+1)2=2⋅4=8

Gráfica 12

(n-1) f(n-1)=2⋅(n-1) Hipótesis de inducción.

Entonces cuando llega a n ƒ(n)= ƒ(n-1)+2=2(n-1)+2=2n . Es la fórmula del término general para los números pares ƒ(n)=2n.

Una sucesión aritmética es la de distancias recorridas por un móvil cada segundo, bajo un movimiento uniformemente acelerado (es decir, bajo un movimiento que en cada segundo aumenta su aceleración).

Si la aceleración del móvil es a (en metros/segundos2). Si en el 1er. segundo el móvil recorre la distancia b (en metros). En el 2o. segundo el móvil recorrerá la distancia b + a. En el 3er. segundo el móvil recorrerá la distancia b +2a, etc. En el n-ésimo segundo el movil recorrerá la distancia b+2a, etc. En el n-ésimo segundo el movil recorrerá la distancia b+(n-1)a, etc.

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Lo anterior significa que un móvil con un movimiento uniformemente acelerado formará

la siguiente sucesión de distancias recorridas: b= – – – (condición inicial) a= – – – diferencia constante

(18) b, b+a, b+2a,…, b+(n-1)a, …,

cuya diferencia es la aceleración a, siendo su condición inicial el recorrido inicial del móvil (Gráfica 26).

Gráfica 13

Dado que la definición la sucesión aritmética se define como:

(19)

ƒ(n) = ƒ(n-1) + d ƒ(1) = b,

no es difícil deducir la fórmula para el n-ésimo término general, ƒ(n) de la sucesión aritmética, a través de la variable n. En efecto, ƒ(n) es el resultado de sumar (n-1) veces d al termino inicial ƒ(n), es decir, ƒ(n), es decir, ƒ(n) = ƒ(1) + (n-1)d, o bien:

(20) ƒ(n) = b + (n-1)d Fórmula para el n-ésimo término de una sucesión aritmética.

Observa que en esta fórmula aparecen cuatro magnitudes: el valor del término general n-ésimo de la sucesión aritmética f(n); la condición inicial b ó f(1) (primer término de la sucesión, la diferencia de la sucesión) d, ( diferencia entre un término y el que antecede), y el valor del lugar que ocupa el término en la sucesión (n). Por lo tanto, cualquier problema en que sean conocidas tres de tales magnitudes podrá conocerse la cuarta.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elaborar lo siguiente:

  1. Halla los primeros ocho término de la sucesión aritmética, si ƒ(1)= -3yd = 4
  2. Encuentra la diferencia d de la sucesión aritmética, si ƒ(1) = 2y ƒ(8) = 23
  3. Halla el número n de la sucesión aritmética si ƒ(1) = 10 ƒ(n) = O y d = -2