Matemáticas 2

Matemáticas 2 – Segundo Semestre

2.1.2. MANERAS DE GENERAR UNA SUCESIÓN


Las formas más usuales para definir una sucesión son las siguientes:

  • Obtener el enésimo término o término general
  • Forma recurrente de definir una sucesión.

1. Mediante una fórmula que exprese el término general n-ésimo ƒ(n) a través de su variable n; por ejemplo, si ƒ(n)=n3, entonces automáticamente podrás escribir el valor de la sucesión para n= 1,2,3,4,5 en la tabla.

n ƒ(n)=n3 ƒ(n)
1 2 3 4 5 ƒ(n)=13 ƒ(n)=23 ƒ(n)=33 ƒ(n)=43 ƒ(n)=53 1 8 27 64 125

Dada la fórmula del término general ƒ(n)=n3, de inmediato se puede escribir cualquier valor de la sucesión; por ejemplo, los requeridos en las preguntas anteriores son el segundo término de la sucesión dada por: ƒ(2)=23 = 8, obtenido de sustituir n= 2 en ƒ(n)=n3 y en el quinto término la sucesión dada por f(n)=53=125 obtenido de sustituir n=5 en ƒ(n)=n3 El conocer varios términos de una sucesión no determina en forma única el n-ésino término; por ejemplo, para 1,4,9,16,…un posible término n-ésimo sería ƒ(n) = n2, cuyo quinto término sería 52 = 25: pero también podría ser ƒ(n) = n2 +(n+1) (n-2) (n-3) (n-4),

cuyos primeros cuatro términos son iguales, más el quinto sería ƒ(5)=52+(5-1)(5-2)(5-3) (5-4)=25+4⋅3⋅2⋅1 = 49. Esto demuestra que en las llamadas pruebas de inteligencia las preguntas en donde se dan los primeros términos de una sucesión y luego se pregunta cuáles son los dos siguientes números, no tienen respuesta única.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Desarrolla lo siguiente:

a) Reproduce los 10 primeros términos de la sucesión definida por ƒ(n)=n3 .¿Cómo se ve las gráfica de los términos de esta sucesión?

()n

b) Calcula los primeros seis términos de la sucesión dada por ƒ(n)= −1

3

n +4

Dibuja tu gráfica y señala a que se acercan los valores de la sucesión si “n” se hace más “grande”.

Debe tenerse cuidado al deducir el término general, porque muchas veces se piensa haber inducido concretamente este término general pero resulta equivocada por haber examinado pocos ejemplos, uno de éstos es al comparar las series:

Comparar

ƒ(n)=2n g(n)=2n+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)5

Se cumple en los primeros pasos hasta n=4

n ƒ(n) = 2n ƒn ƒ(n)=2n+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) ƒ(n) 1 ƒ(1) = 21 2(n)1 ƒ(1)=21+( 0 )( )( )( ) ƒ(2) 2 ƒ(2) = 22 4 2 ƒ(2)=22+(2-1)( 0 )( )( ) ƒ(4) 3 ƒ(3) = 23 8 3 ƒ(3)=23+(3-1)(3-2)( 0 )( ) ƒ(8) 4 ƒ(4) = 24 16 4 ƒ(4)=24+(4-1)(4-2)(4-3)( 0 ) ƒ(16) 5 ƒ(5) = 25 32 5 ƒ(5)=25+(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) ƒ(32)

(4) (3) (2) (1)=32+24=56 para n=5 no dan el mismo resultado 25=32 con base a lo anterior compara las series:

an=2n (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

bn=2n

24 ¿Hasta qué términos, las dos series son iguales? c) Si ƒ(n) = n2-1, encuentra: a) ƒ(999)

b) [ƒ(n)]3 c) Teniendo en cuenta ƒ(n+1) dada la ƒ(n)=n2-1 significa que tienes que evaluar ƒ(u), con u=n+1, es decir, ƒ(u)=u2-1, luego: ƒ(n+1)=(n+1)2-1, calcula: ƒ(2n-1).

d) Determina al menos una fórmula para el término general n-ésimo de la siguiente secesión:

11 1

,…

12⋅ 2334

2. Forma recurrente de definir una sucesión.

Otra forma de generar una sucesión consiste en establecer la regla mediante la cual se puede calcular el n-ésimo término de la sucesión, si conocemos él o los términos anteriores de la misma. Para ello, al calcular los términos de una sucesión mediante estas reglas se vuelve a regresar para verificar cuáles son los valores de los anteriores términos. A esta manera de generar una sucesión se llama recurrente, del latín recurrere que significa regresarse. Esto es se identifica el primero o los primeros términos; 2o mediante una fórmula se establece la relación del término general en base a los anteriores.

Generalmente para las sucesiones dadas en forma recurrente se plantea una fórmula que permite expresar el término general n-ésimo de la sucesión, a través de los anteriores términos de la misma. A estas fórmula se les llama relaciones de recurrencia.

Una fórmula de recurrencia relaciona términos sucesivos de una secuencia particular de números como funciones, polinominales; etc; y proporciona un significado de calculo sucesivo en cantidades en términos de las cantidades previamente calculadas.

Si tenemos la sucesión. a1, a2, a3, …. an-1,, an, Para las fórmulas de recurrencia se da el valor de a en la serie aritmética an= a1,+(n-1)d donde d es la razón o diferencia entre el término mayor y el que le antecede. d = ƒ(n) -ƒ(n-1). A continuación se dan ejemplos de fórmulas de recurrencia.

I. ƒ(n)= ƒ(n-1)+d (Genera la sucesión aritmética)

Problemas relacionados con sucesiones aritméticas y geométricas se pueden encontrar en papiros de la antigua Grecia y en textos cuneiformes de Babilonia, de hace 4000 años, como la suma de cuadrados de los primeros n naturales.

II. ƒ(n)= qf(n-1) (genera la sucesión geométrica)

III. ƒ(n)= nƒ(n-1) (genera la sucesión factorial)

IV. ƒ(n)= ƒ(n-1)+ ƒ(n-2) (genera la sucesión de Fibonacci)

De hecho, si se sustituyen directamente los valores n=1 y n=2 en la fórmula recurrente IV, ƒ(n)= ƒ(n-1)+ ƒ(n-2), obtenemos ƒ(1)= ƒ(0)+ ƒ(-1) y ƒ(2)= ƒ(1)+ ƒ(0), pero f(0) y ƒ(-1) no forman parte de la sucesión, puesto que la función ƒ en n = 0 yn=-1 no está definida; luego entonces los valores de ƒ(1) y ƒ(2) hay que darlos como conocidos, en forma independiente como los valores iniciales de la fórmula de recurrencia IV; por consiguiente, la fórmula recurrente con las condiciones iniciales define en forma única la sucesión en cuestión:

IV.

ƒ(n) = ƒ(n-1)+ ƒ(n-2)

ƒ(1) = a, ƒ(2)=b n>2

Con a y b constantes conocidas.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elabora lo siguiente:

1. En forma análoga respecto de las fórmulas de recurrencia I,II, III, ¿Cuántas condiciones iniciales hay que darle a estas fórmulas para que realmente nos generen unívocamente las sucesiones correspondientes?

Otros aspectos que surgen en relación con la fórmula recurrente es si, ¿siempre resultará adecuado definir una sucesión a través una fórmula recurrente con su correspondiente condición inicial? No. Es decir, no siempre es lo más conveniente. Por ejemplo, si necesitamos determinar sólo el término ƒ(10 000) y no los anteriores, es poco práctico calcular todos los términos anteriores para llegar a éste, pues no siempre la fórmula recurrente es lo mejor.

Aunque si se tiene podemos intentar deducir de ella la fórmula del término general n-ésimo como funcionan de n. Esto se hará para el caso de las sucesiones aritméticas y geométrica más adelante.

2. Halla los ocho primeros términos de la sucesión de Fibonacci dada por la fórmula recurrente.

ƒ(n) = ƒ(n-1)+ ƒ(n-2),

ƒ(1) = 1, ƒ(2)=1 donde n>2

85

3. A partir de la fórmula de recurrencia de la sucesión de Fibonacci:

ƒ(n) = ƒ(n-1)+ ƒ(n-2), ƒ(1) = 1, ƒ(2)=1 n>2

determina la fórmula del término general n-ésimo ƒ(n) como función de n (considérala como una sucesión geométrica).

4. De acuerdo con la sucesión de Fibonacci, justifica por qué las siguientes figuras con los mismos componentes I, II, III, IV tienen áreas distintas.

AREA = (8) (8) = 64

8

I II
III IV

8

3 5

5 5

I
IV
III
II

5 8

área = (13) (5) = 65 ¿64 = 65? 35

Gráfica 23 Gráfica 24.

Una sucesión numérica puede generarse no sólo conociendo el término general n-ésimo

o una formula recurrente con su condición inicial, sino también mediante una descripción verbal de la sucesión; por ejemplo, la sucesión formada por todos los números primos (aquellos que sólo son divisibles por uno y por sí mismos):

(14) 2,3,5,7,11,13,17,19,23, …

En principio podríamos hallar cualquier término de dicha sucesión; sin embargo, no se puede conjeturar que siempre se obtendrá un número primo.

Intentos para encontrarla ha habido muchos como el de fórmulas que generarán siempre números primos aunque no a todos; por ejemplo:

()

De la fórmula de Fermat: F(n) = 2 2n , + 1 para n=1,2,3 y 4 se aseguraba que generaba siempre números primos y en efecto.

Para: F(1) = 2(2)(1) + 1 = 5; F(2) = 2()2 2 + 1 = 17

F(3) = 223+ 1 = 257

F(4) = 224 =216 + 1 = 65537 Son números primos los que se generan; pero el

autor Euler (1707-1783) dia. F(5) = 225 +1 = 4294967297 no es primo, ya que la

cantidad es divisible por 641.

Otra fórmula: ƒ(n)=n2+n+41, da primos para n desde 1 hasta, más para n=41:ƒ(41)=1681 que es divisible por 41. Otra más: g(n)=n2 -79n + 1601 da primos hasta n=79, pero para n=80, ƒ(80) ya no es primo. Menos exitosas resultaron las búsquedas de fórmulas que generan a todos los primos. De la misma manera, tampoco existe una fórmula de recurrencia que exprese el n-ésimo número primo a través de los anteriores. Otro ejemplo de descripción literal de una sucesión es el dado por las aproximaciones decimales por defecto del número irracional 2 , calculadas con el procedimiento para extraer raíz cuadrada. (15) 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, 14142135,…

5. Encuentra los primeros ocho términos de la sucesión de aproximaciones decimales por exceso del número irracional 3 (se puede utilizar cualquier método, incluso la calculadora). Observa que 2 es una aproximación por exceso de 3 , ya que 22 =4>3.

2.1.1 SUCESIONES NUMÉRICAS


Un experimento que probablemente realizaste en cursos anteriores de Matemáticas consiste en registrar la temperatura diaria a una misma hora (digamos a las 12 horas) durante algún lapso. Usualmente los datos resultantes se utilizan para analizarse estadísticamente, mas a nosotros sólo nos interesa la generación de la lista de datos dispuestos en un cierto orden.

La primera temperatura corresponderá al primer día de lectura, la segunda al segundo día y así sucesivamente, que en un sistema de coordenadas cartesianas se interpretaría como los puntos de las parejas ordenadas (gráfica 12),

x

(1,26) (2,29) (3,27) (4,23)

o bien, como la correspondencia establecida entre los números naturales n y las temperaturas T (figura 13).

D1 2 3 4 5 6 7 8 9….

T26 29 27 23 21

y (T) temperatura

30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 (n) numeros de días

Gráfica 13.

o simplemente la lista ordenada de temperaturas:

26,29,27,23,21,19,23,18,20, ….

Esto es:

Estos datos, además de la interpretación gráfica de la gráfica 13, podrían tener una

explicación geométrica directa en la recta (gráfica 14). T(1) = 26 T(5) = 21 T(2) = 29 T(6) = 19

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

T(3) = 27 T(7) = 23 T(4) = 23 T(8) = 180

T(8) T(9) T(4) T(3)

T(9) = 20

T(7) T(6) T(5) T(1) T(2)

Gráfica 14

Para reafirmar la generación de datos ordenados, veamos el ejemplo donde se expresa la función experimental:

• Si tenemos un pedazo de sustancia radioactiva vida media cuyo peso disminuye a la mitad un día y lo registras diariamente sabiendo que el inicial es de 128 unidades peso (digamos mg), ¿cuál es la lista de números que obtendrías del proceso?

1

De acuerdo con la expresión ƒ(n) = 128 ( )n, se obtiene la siguiente gráfica.

2

n f (n)
o 128
1 64
2 32
3 16
4 8
5 4
6 2
7 1
8 1/2

f(n) (peso en mg)

128

64

32

8

4

n (tiempo en días)

Gráfica 15.

Dado que la cantidad de sustancia al inicio del experimento es de 128 mg, al día siguiente, por las

128 =64mg, y un día después la mitad de lo que quedaba en el anterior, es decir, 2

64 =32mg , etc., obtendrías la lista ordenada de números:

2

(4) 128,64,32,16,8,4,2,1,1/2,1/4, …,

cuya gráfica aparece en la figura 15. Observa que consideramos implícitamente que la materia es infinitamente divisible, aunque realmente ésta tiene estructura atómica y por ende cualquier pedazo de materia contiene una cantidad finita de átomos; por consiguiente, el proceso de división termina en un número finito de pasos, lo que despreciaremos, y consideraremos el proceso idealizado de decaimiento ilimitado de diversiones de la materia. Al arreglo ordenado de números dados por (4) se le llamará sucesión numérica.

Se pudo ordenar los datos en forma tabular, proporcionando la interpretación de la gráfica de la función como conjunto de parejas ordenadas (figura 15) y la sucesión como una función ƒque pone en correspondencia a cada número del conjunto de números naturales N con uno y sólo un número real del conjunto de números reales R mediante una regla de correspondencia dada, en este caso a través de la relación especial:

Enteros Positivos ó Naturales D = { 1,2,3….}

ƒ−

(n1)(5) ƒ(n) = 2

(1 1) ƒ(0) 128

ƒ(0) = 128 Si n = 1 ƒ(1)= ƒ

===64

2 22

donde ƒ(n) denota el peso de la sustancia radiactiva al tiempo n, aunque ésta no es la forma acostumbrada de dar una función: es decir: Una sucesión en un arreglo ordenado de elementos como a1, a2, a3, …. an,

Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y la imagen es el conjunto de los números reales, o la sucesión numérica es más función que asocia a un número natural un solo número real.

Definición. Si a cada número natural n le podemos asociar un único número real, que denotaremos por ƒ(n), entonces si dice que se llama progresión aritmética a una sucesión en las que cada término es la media aritmética del que le procede .

(6) ƒ(1), ƒ(2), ƒ(3),….. ƒ(n),….. forma una sucesión numérica.

En la sucesión (6) los puntos sucesivos entre ƒ(3) y ƒ(n) significa que se continúa después de ƒ(3) con los siguientes valores ƒ(4), ƒ(5), etc, hasta el término general de la sucesión denominada como n-ésimo término ƒ(n), después del cual aparecen nuevos puntos suspensivos que indican que se continúa con los valores ƒ(n+1),, ƒ(n+2), etc., rebasando cualquier valor de la variable escogido de antemano.

¿Qué concepto matemático se identifica en la asociación anterior? El concepto de función que asocia a cada número natural de N un único número real de R. Simbólicamente la sucesión (6) se representa de la siguiente forma.

Que se lee “La sucesión (6) es una función ƒ de N en IR , con reglas de correspondencia y=ƒ(n)”, es decir a cada n se le pone en correspondencia uno y solo un elemento del conjunto de las reales IR mediante la relación.

(6) ƒ: N → IR ; ƒ(n)=y

que se lee como “la sucesión ƒ(1); ƒ(2) es una función de ƒ de N en R; con regla de correspondencia y=ƒ(n)”, es decir, que a cada n se le pone en correspondencia uno y sólo un ƒ(n) ∈ R. En un esquema simbólico la sucesión (6) puede expresarse como:

IN IR

f

IR Regla de N correspondencia

y1

y2

y3

.

.

.

f(n) = y

y

f: IN → IR ; y = f(n)f(1) = y1. f(2) = y2 . . .

Gráfica 16.

Lo cual significa que la sucesión (6) está dada por la función ƒ que pone en correspondencia a cada elemento del conjunto de los números naturales N con uno y sólo un elemento del conjunto de los reales R mediante la regla N → IR ; y =ƒ(n)

Ejemplos de sucesiones numéricas.

a) Sucesión de números pares e impares:

(7)
ƒ(2,4,6,8,···2n)… (figura 17). ⎯⎯⎯ n ∈ {1,2,3,4,5…}
(8)
ƒ(1,3,5,7, ···2n-1)… (figura 18). ⎯⎯⎯ n ∈ {1,2,3,4,5…}

78

f(n) f(n)
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 1
0 1 2 3 4 5 ……………n 0 1 2 3 4 5 ……………n
Gráficas 17 Gráfica 18

Observa que cada valor estas sucesiones es mayor que el valor que le precede (sucesiones crecientes). Si n1< n2 =>ƒ(n1)< ƒ(n2)

b) -Sucesión de las potencias de números naturales de 2: por lo tanto las sucesiones son crecientes

(9)
2,4,8,16,…,2n,…(figura 19) c) -Sucesión de cuadrados de números naturales:
(10)
1,4,9,16,..,n2,….(figura 20).

Aquí también cada término de la sucesión es mayor que el anterior, luego es una sucesión creciente:

79

f(n) = 2n

f(n) = 2n

Gáfica 19 Gáfica 20

d) -Sucesión factorial n!=n(n-1)(n-2)… 1

(11) 1,2,6,24,120,…, n!,…(figura 21), donde: 1!=1, 2!=1·2, 3!=1·2·3, 4!= 1·2·3·4

n! = n(n-1) (n-2) ··1 ƒ(n)= ƒ(n-1)+ ƒ(n-2) Cada elemento después de los dos primeros es la suma de los dos que le

e) -Sucesión de Fibonacci. ƒ(1)= 1, + ƒ(2)=1

preceden

(12) 1,1,2,3,5,8,13,21,34, ··· (figura 22)

80

f(n) = n (n-1)! = n!

Gáfica 10 Gráfica 11

Si denotamos por ƒ(n) al término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci, entonces también cumple con que ƒ(n)> ƒ(n-1); por lo tanto, es una sucesión creciente.

La propiedad que caracteriza a todos los ejemplos anteriores se puede definir como:

Una sucesión ƒ(1), ƒ(2),…, ƒ(n),… es creciente si ƒ(n)> ƒ(n-1), para toda n natural >1. n1<n2 ⇒ƒ(n1)< ƒ(n2)

Observa que esta propiedad es global, es decir, se cumple no para un valor de la variable, sino para todos los valores. Las situación que origina estas sucesión es el “problema de los conejos”, que plantea un par de conejos da una vez por mes una cría de conejitos, un macho y una hembra a los dos meses de nacidos las nuevas parejas son capaces de procrear. ¿Cuántos conejos habrá a cabo de un año suponiendo que ninguno muera en ese lapso?.

81

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Realiza lo siguiente:

Las sucesiones descritas de (7) a (12) son susceptibles de otras representaciones gráficas. Haz una para cada caso. Es frecuente considerar sólo a los primeros n términos de una sucesión infinita.

Definición. Se llama sucesión numérica finita de longitud n a:

(13) ƒ(1), ƒ(2),… ƒ(n).

En el entendido de que ahora la función ƒ pone en correspondencia a cada uno de los primeros n números naturales con uno de los valores reales dados en (13).

 

2.1 SUCESIONES


Antes de iniciar con el tema de “Sucesiones Numéricas” te recomendamos que realices los siguientes ejercicios, ya que te servirán como recordatorio de algunos conocimientos ya antes vistos.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elabora lo siguiente:

1. Si del modelo que señala la vida media de un material que la velocidad de desintegración de la sustancia radioactiva radio (Ra) es proporcional a la cantidad que aún queda sin desintegrarse se obtiene la ley de desintegración del radio, que es la siguiente:

(A) R(t) = Ro e -0.00043t

donde:

R(t) = Cantidad de radio que queda al tiempo t Ro = Cantidad inicial de radio, es decir, R(o) e = 2.718… constante de la función de crecimiento (base del logaritmo natural)

a) Gráfica la Ley de desintegración (A) del radio si se considera que el dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales R, es decir, (A) es una función con dominio continuo en todo R.

b) Gráfica la Ley de desintegración (A) del redio si se considera que el dominio de la función exponencial es el conjunto de los números enteros positivos, o sea, (A) es una función con dominio discreto, pero infinito.

c) Gráfica la Ley de desintegración (A) del radio si se considera que el dominio de la función exponencial es el conjunto finito {0,1,2,…., 1600}* (en años), es decir, (A) es una función con dominio discreto, pero finito.

d) En las tres variantes anteriores determina el porcentaje de radio desintegrado en 100 años.

Nota: La solución de estos ejercicios y del resto de las actividades que aparecerán a lo largo del contenido, las encontrarás al final del capítulo como un apartado de anexo de resultados de dichas actividades.

* Se tomó 1600 porque es el tiempo de vida del radio, esto es, el lapso durante la cantidad de sustancia radioactiva se convierte en la mitad de la original.

 

SIMBOLOGÍA


SÍMBOLO
SIGNIFICADO
> Mayor que
< Menor que
t tiempo
ε pertenece
T temperatura
ºC grados centígrados
mg miligramos
infinito
Z+ Conjunto de los números enteros positivos
R+ Conjunto de los números reales positivos
A ¨B A corresponde B, A en B
n2 Número que indica la potencia a que se ha de elevar una cantidad