Matemáticas 2

Matemáticas 2 – Segundo Semestre

PROPÓSITO


A través del concepto de sucesión y sus fórmula te introducirás al mundo de las iteraciones parte sustancial de la llamada Teoría del Caos, base de una nueva forma dever las ciencias. Ésta, de manera general, retoma los conocimientos que sobre funciones has estudiado hasta el momento.

Para este Capítulo:

¿ Qué aprenderás ?

Que las sucesiones son un caso particular de las funciones discretas. Conocerás el tipo de proceso de las iteraciones y cuál es su utilidad de las funciones recursivas simples como modelos de procesos dinámicos.

¿ Cómo lo aprenderás

Para llegar al estudio de estos conocimientos sobre Recurrencia y Sucesiones, te recomendamos que revises los conceptos y funciones del capítulo anterior. Además contarás con el apoyo de ejemplos y ejercicios, donde sólo se manejarán números naturales para contrastar las funciones continuas y discretas, incluyendo casos de iteraciones tanto en las gráficas numéricas y algebraicas.

¿ Para qué lo aprenderás ?

Con el logro de estos conocimientos estarás en condiciones de ampliar y consolidar tu aprendizaje con respecto al conocimiento de los procesos dinámicos (iteraciones, recursión) y a las ideas básicas de la teoría del caos, incluyendo el lenguaje básico de funciones recursivas, útiles en la investigación matemática y aplicable en la ayuda de problemas y fenómenos reales, tanto en la vida diaria como en las diversas disciplinas.

CAPÍTULO 2. SUCESIONES, RECURRENCIA E ITERACIÓN


La llamada Teoría del caos constituye una creación sorpresiva, inesperada, espectacular y marginal de la ciencia actual. Se desarrolla fuera y lejos de las corrientes principales de la ciencia oficial, aunque con gran rapidez se asimila y se convierte en ciencia “seria y oficial” reconocida ya como parte de la “modalidad oficial”.

Técnicamente, esta teoría nace cuando se observa que aun ante pequeñas perturbaciones los sistemas sencillos tienen comportamientos completamente inesperados como el “efecto mariposa” que, metafóricamente, expresa que “un ligero aleteo de una mariposa en el Amazonas desencadena un fuerte huracán en Texas”. También se le relaciona con un nuevo instrumento tecnológico: la computadora.

Hay infinidad de problemas que, aunque cotidianos, no se analizaban detalladamente; por ejemplo: el movimiento de la parte superior de la flama de una veladora, el movimiento del humo que se desprende de un cigarrillo, el movimiento en el goteo de una llave; la predictibilidad del clima y del sistema social en una sociedad moderna, el congestionamiento de tránsito en el periférico, el movimiento de una avión en pleno vuelo, las transiciones de un estado de la materia a otro (los gel), la turbulencia, el comportamiento de la bolsa de valores, la gran mancha roja de Júpiter, las variaciones del precio liberado de un producto, la reproducción de la forma de las nubes, la medición de la línea costera de la República mexicana, la autosemejanza de la coliflor, la descripción de la superficie de la Tierra, los temblores, los huracanes, la red de venas de un organismo, la estructura de los pulmones y del sistema de recolección urinario, el sistema de conductos biliares, las estructuras de las fibras cardiacas, la estructura de las plantas y de los árboles, la estructura de las plumas de un guajolote, etcétera.

Muchos, si no es que todos los fenómenos, son intrínsecamente impredecibles dentro de las concepciones de predictibilidad clásica, pero con cierta leyes desde el punto de vista de la Teoría de caos. En otras palabras, hasta la caótico tiene sus reglas, sus leyes, su estructura, posee regularidades y eso es lo que estudia, entre otras cosas, esta teoría.

Impacto importante en la ciencia del siglo XX ha tenido la Teoría de la relatividad, que pretende a nivel macro destruir el dogma de la Física tradicional de Newton, donde el tiempo y el espacio con absolutos. Por otro lado, a nivel micro la Teoría cuántica abatió el dogma de que todo puede ser medido. Pero estas teorías tratan problemas fuera de la “media” humana, a diferencia de la Teoría del Caos, que se enfoca a la resolución de problemas cotidianos propios del hombre. pretende destruir el dogma Laplaciano de que todo es predecible intenta hacer una ciencia de lo cotidiano, de lo particular y, en cierta forma, sin la pretensión de Platón de universalidad total del conocimiento científico. Ambiciona, matematizando de una manera distinta , que los científicos de las ciencias naturales regresan a la intuición y a las experiencias cotidianas, de las cuales quedaban cada vez más lejos por su pretensión de matematizar sus ciencias a la fuerza, imponiéndoles la matemática tradicional esquematizada a los fenómenos naturales.

La Teoría del Caos persigue que, en particular los físicos y en general los científicos naturales, regresan a este mundo con más intuición, experimentación y matematización pero de un estilo distinto.

La característica fundamental de la Matemática es abstraerse e idealizar situaciones reales y estudiar en forma pura sus formas, relaciones, cuantificaciones, cualidades, etc., con el objeto de que, sin ningún problema, pueda posteriormente regresarse, parcial o totalmente, a la realidad a través del uso e interpretación de los resultados matemáticos obtenidos. Ejemplo de lo anterior se tiene en los procesos donde se requiere de una infinidad de pasos, es decir, los procesos infinitos.

Analiza el siguiente problema: Se tiene un cuadrado de lado, cuyos puntos medios de sus lados se unen para formar otro cuadrado; lo mismo se hace con los puntos medios del último cuadrado obtenido y así sucesivamente hasta el infinito. Encuentra la la suma de las áreas de todos los cuadrados construidos.

Figura 1.

¿Es difícil encontrar el resultado?, ¿conoces algún procedimiento que te ayude en esta tarea? Esta situación es un ejemplo de los procesos infinitos que estudiarás en este capítulo.

AUTOEVALUACIÓN


Compara las respuestas que obtuviste a las Actividades de Consolidación. Si tienes alguna duda acude a tu asesor:

⎛5 ⎞

1).-Datos P(x, y) ⇒P  ,32⎟

⎝2  Función y = f(x) = ax 32 = a5/2 (4)5/2 = a5/2 ∴base de la función

a =4 2).-a)

x f(x) = 4-x y
– 1 y = 4-(- 1) 4
– 1/20 y = 4-(- 1/2) y = 4-(0) 2 1
1/2 y = 4-(1/2) 1/2
1 y = 4- 1 1/4

Pares ordenados {(-1,4); (-1/2,2); (0,1); (1/2, 1/2); (1,1/4) } b) Imagen {1/4, 1/2, 1, 2, 4 }

x1 ⇒9-1/2

3).-a) log9 = = x

2 1

1

x =

= x ∴

1

3

2

9  1  1

b) log2 ⎜⎟ = x ⇒2x =

⎝32⎠32 1

2x =

25 2x = 2-5 ∴ x =−5

62

2

logx

() 2

c) x = x⇒ log

x

4).-

x

-2

-1 0 1 2 3

x = 2

y = 10x 1 / 100 1 / 10 1 10 100 1000

x y = logx
1 / 100 1 / 10 1 10 100 1000 – 2 – 1 0 1 2 3

ACTIVIDADES INTEGRALES


Realizar los siguientes ejercicios: Para reafirmar los coceptos aprendidos, te recomendamos que resuelvas éstos ejercicios de manera personal.

Te recordaremos que trates de resolverlos sólo y consideres que pueden ser semejantes a los del examén. Posteriormente que los hayas resuelto, verifica tus resultados; en la pag. (62), donde podrás revisar los errores y fallas que tuviste, si tienes alguna duda acude a tu asesor de Matemáticas para que puede ayudarte y/u orientarte sobre dichas dificultades.

 5 ⎞

1).- La gráfica de cierta función exponencial contiene el punto P , 32  . Por lo tanto, la

2 base de la función es:

2).- Una función f cuyo dominio es el conjunto {-1, -1/2, 0, 1/2, 1} está definida por f(x) = 4-x

a) Escribir f como un conjunto de pares ordenados.

b) Escribir los elementos que pertenecen a la imagen de la función.

60

3).-Determina el valor de “x” en las siguientes expresiones. 1

a) log9 x= − 2

 1 ⎞

b) log2 = x

32

2

log x

c) x = x

4).-Construye las gráficas de las funciones y = 10x; y = logx sobre el mismo sistema cordenado.