Matemáticas 2

Matemáticas 2 – Segundo Semestre

1.2 FUNCIÓN INVERSA


Las funciones reales uno a uno se llaman biyectivas, cuya función inversa se obtiene invirtiendo el dominio por codominio; por ejemplo:

Sea la función Linealƒ:   con ƒ(x) = 2x

Calculamos imágenes

Diagrama de Venn   ƒƒ(x) = 2xƒ(-1) = 2(-1) = -2ƒ(0) = 2(0) = 0ƒ(1) = 2(1) = 2ƒ(2) = 2(2) = 4ƒ(3) = 2(3) = 6

Para obtener su inversa, invertimos el dominio por el condominio y vemos si la relación entre los elementos sigue siendo uno a uno. (El símbolo para representar la inversa de ƒ es ƒ-1.)

ƒ -1

La regla de correspondencia para las funciones inversas de las funciones algebraicas como la anterior, se obtiene de la siguiente forma:

Sea ƒ(x) = 2x (1)

o y = 2x (2) De la ecuación (2) se cambia la x por la y, obteniéndose: x = 2y (3) De la ecuación (3) se despeja y, obteniéndose:

xx

y = 2 o ƒ-1(x) = 2 (4)

40

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Resuelve lo siguiente:

De la función ƒ:   con ƒ(x) = x2, calcula las imagenes ƒ(-2), ƒ(-1), ƒ(0), ƒ(1), ƒ(2),ƒ(3) y represéntalas en un diagrama de Venn relacionando las parejas de los dos conjuntos mediante flechas; determina la regla de correspondencia de la función inversa y calcula las imágenes para los mismos valores anteriores, además de representar el dominio y codominio en un diagrama de Venn relacionando las parejas con flechas, y analizar la gráfica obtenida, señalando si es o no función. (De la gráfica resultante podras notar que la inversa de la función deja de ser función porque cada elemento del dominio tiene dos imágenes; por lo tanto, no se puede hablar de funcion inversa).

Para trazar una función y su inversa en el plano coordenado, calculamos algunas imágenes y en una tabla formamos las parejas ordenadas de la función; para la inversa invertimos los elementos de cada pareja. Veamos el siguiente ejemplo:

Sea ƒ:  →  con ƒ(x) = 3x -2.
Para la función inversa
y = 3x -2 (1)
Invertimos las variables y despejamos y:
x = 3y -2 (2)
∴ y = x +2 3 .
La función inversa es:
x +2

ƒ-1

:  →  con ƒ-1(x) =

.3

Calculamos las imágenes de ƒ(x) y en una tabla formamos las parejas ordenadas de la función mientras que para la inversa invertimos las parejas.

x ƒ(x) = 3x -2 [x, ƒ(x)] [x, ƒ-1(x)]
-1 ƒ(-1) = 3 (-1) -2 = 3-2 = -5 (-1, -5) (-5, -1)
0 ƒ(0) = 3(0) -2 = 0 = 2 = -2 (0, -2) (-2, 0)
1 ƒ(1) = 3(1) -2 = 3 -2 = 1 (1, 1) (1, 1)
2 ƒ(2) = 3(2) -2 = 6 -2 = 4 (2, 4) (4, 2)
3 ƒ(3) = 3(3) -2 =9 -2 = 7 (3, 7) (7, 3)

Observa que las parejas ordenadas de la función inversa se obtuvieron invirtiendo las parejas de la función; sin embargo también se pueden obtener mediante su regla de correspondencia.

x +2

ƒ-1 (x) = .

3

Para comprobar el valor de las parejas de la tabla 17 a través de la regla de correspondencia de la función inversa, se localizan los puntos de la tabla en el plano coordenado y los unimos, obteniendose la gráfica de L1, y su inversa L2.

Si en la misma gráfica trazamos la función ƒ: R →R con ƒ(x) = x, L pasa por el origen y tiene un ángulo de inclinación de 45° como se indica en la gráfica; L es eje de simetría de L1 y L2, es decir, si trazamos segmentos perpendiculares a L que unan L1 y L2, sus longitudes siempre serán iguales, por lo que se dice que L2 es simétrica a L1 con respecto a L, y también que L2 es el reflejo de L1 a través de L.

Gráfica 9.

La función exponencial como ya se estableció, corresponde a las funciones trascendentes; es continua, creciente o decreciente en tanto su dominio es uno a uno; por lo tanto, es función biyectiva y tiene inversa, la cual se obtiene al invertir el dominio por el codominio.

Para trazar su gráfica se calculan las parejas ordenadas de la exponencial y para su inversa se invierten las parejas.

Sea ƒ: R → R+ con ƒ(x)=2x, x∈R, traza su gráfica y la de su inversa. Primero se calculan las imágenes en una tabla.

42 Tabla 18.

Función exponencial Función inversa
x ƒ(x) = 2x [x, ƒ(x)] [ƒ(x), x]
-3 ƒ(-3) = 2-3 = 1 23 = 1 8 (-3, 1 8 ) ( 1 8 , -3)
-2 ƒ(-2) = 2-2 = 1 22 = 1 4 (-2, 1 4 ) ( 1 4 , -2)
-1 ƒ(-1) = 2-1 = 1 2 = 1 2 (-1, 1 2 ) ( 1 2 , -1)
0 ƒ(0) = 20 = 1 (0, 1) (1, 0)
1 ƒ(1) = 21 = 2 (1, 2) (2, 1)
2 ƒ(2) = 22 = 4 (2, 4) (4, 2)
3 ƒ(3) = 23 = 8 (3, 8) (8, 3)
C1 = ƒ(x) = 2x C2=ƒ-1(x)=log2x

C2 es la gráfica de la función inversa de la exponencial C1, que también son simétricas con respecto a la misma recta ƒ(x) = x.

Gráfica 10.

Analiza la gráfica de C2, establece sus propiedades y comenta tus conclusiones con tu profesor o asesor.

43

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

En la misma forma que la gráfica anterior, traza la gráfica correspondiente de cada función y su inversa.

  1. ƒ: →+ con ƒ(x) = 3x 4. ƒ: →+ con ƒ(x) = 8x
  2. ƒ: →+ con ƒ(x) = 4x 5. ƒ: →+ con ƒ(x) = 10x
  3. ƒ: →+ con ƒ(x) = 6x En el ejemplo de la amiba se estableció que la función que rige su reproducción es:

ƒ: A → B con ƒ(t) = N02t, donde: N0 = 10 000 000 por cm3 t = periodos de 20 min. Con esta función se puede ., tiempo necesario para que el número de amibas sea de 320 000 000. La solución de este problema fue posible porque el número de amibas se puede expresar como una potencia de 2, lo cual no siempre ocurrirá; por ejemplo, ¿en qué tiempo habrá 200’ de amibas?

Sustituimos en:

ƒ(t) = 200’ = 10’ 2t.

Despejamos 200′ 2t = = 20 millones

10′

∴ 2t = 20

Para determinar el valor de t se puede recurrir al método de ensayo y error, que consiste en dar valores y realizar 2t hasta obtener 20. Analicemos la siguiente tabla:

t 2t = 20
3 23 = 8
4 24 = 16
5 25 = 32

Tras analizar estos valores vemos que el valor de t se encuentra entre 4 y 5, por lo que se deben dar valores cercanos a 4 para ir aproximándonos.

Veamos para t = 4.2

42 21

5 5 221

24.2 = 2 10= 2 =

= 18.4

para t = 4.5

45 9

24.5 = 210= 2 2=

De estos resultados se concluye que se puede aproximar poco a poco; pero será muy difícil determinar el valor de y mediante este método. Para el cálculo de t el método recomendable es el uso de la función logarítmica, la cual es la inversa de la función exponencial, tema que a continuación estudiarás.

45

EXPLICACIÓN INTEGRADORA

Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones como son las siguientes:

Recuerda que las funciones reales uno a uno se llaman biyectivas, cuya función inversa se obtiene invirtiendo el dominio por el codominio.

La función exponencial como ya se estableció, corresponde a las funciones trascendentes; es decir, a operaciones que tienen que elevar cierta cantidad a un número correspondiente (nx), esta será creciente o decreciente continua en tanto su dominio sea uno a uno.

 

1.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL


En ocasiones nos enfrentamos a diversos problemas con el que se enuncia en el apartado anterior (depreciación), sobre los cuales nuestros conocimientos no siempre son suficientes, pero cuya solución se facilitaría con la aplicación de una función específica llamada exponencial, de la que en seguida se presentan diferentes ejemplos para su mero entendimiento.

Ejemplo 1. El crecimiento de un árbol

Al iniciar su educación primaria, el niño Iván Gerónimo sembró un árbol dentro de programa de reforestación que llevó a cabo la escuela en que estudiaba, el que cuidó con esmero durante los seis años de su permanencia en ella. Posteriormente, al finalizar sus estudios e ir a verlos exclamó ¡qué grande! Contó sus ramas y registró los datos como se muestra en la figura No. 1.

6o. año

5o. año

4o. año

3er. año

2o. año

1er. año

Figura 1.

Advirtió que el número de ramas había aumentado cada año y que las cantidades eran múltiplos de 2, por lo que ideó una representación equivalente en potencia de 2, como se indica en la tabla 1.

Tabla 1.

Núm. años 1 2 3 4

5

6 7 8 9 10

. . . . . . . . .n Número d e ramas

1 2 4 8

16

..

. . . . . . . .y

14

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elabora los siguientes ejercicios:

a) Cuenta el número de ramas para el 5o. y 6o. Año (figura 1) y regístralo en la tabla 1.

b) Si el crecimiento del árbol siguió la misma tendencia observada en la figura 1, entonces completa el número de ramas que faltan en la tabla 1. (En relación con el crecimiento del árbol se plantean diferentes interrogantes que puedes contestar con ayuda de la tabla 1 o bien, al establecer una expresión matemática, predecir los resultados de lo que posiblemente ocurrirá en años futuros.)

c) Si representamos el número de años de crecimiento del árbol con n, y el total de ramas que tiene en el enésimo año con y, entonces escribe en la última columna de la tabla la expresión matemática para calcular el número de ramas para cualquier año.

d) ¿Cuántas ramas tendrá el árbol al cumplir 20 años?

e) ¿Cuántos años deben transcurrir para que el árbol tenga 4 096 ramas?

Posteriormente, Iván Gerónimo tras estudiar la Secundaria y con nuevos conocimientos matemáticos, visitó el árbol que había sembrado en la escuela primaria donde estudió, contó el número de ramas y dedujo que éste creció durante dos años más desde la última vez que lo vio. Con estos datos generalizó el fenómeno del crecimiento de un árbol mediante la siguiente función:

Dominio de la función: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, }, es el número de años en que se registro el crecimiento.

Imagen de la función: I = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128}, es el número de ramas por año.

Regla de correspondencia: Y = f(n) = 2n-1 para n = 1, 2,…8, es la expresión.

matemática que define la función y a la vez predice ¿Cuántas ramas se tendrán al año “n”?.

La regla de correspondencia, también llamada regla para hallar imágenes, determina la imagen de cada elemento del dominio y con estos valores forma parejas ordenadas como se observa en la tabla 2.

15

Años ƒ(n)=2n-1 [n, ƒ(n)]
1 2 3 4 5 6 7 8 ƒ(1) = 21-1 ƒ(2) = 22-1 ƒ(3) = 23-1 ƒ(4) = 24-1 ƒ(5) = 25-1 ƒ(6) = 26-1 ƒ(7) = 27-1 ƒ(8) = 28-1 = 20 = 1 = 21 = 2 = 4 = 8 = 16 = 32 = 64 = 128 (1, 1) (2, 2) (3, 4) (4, 8) (5, 16) (6, 32) (7, 64) (8, 128)

Tras establecer la relación entre el número de años de crecimiento del árbol y las ramas que tiene en cada año se obtiene el siguiente conjunto de parejas ordenadas que representa la función del crecimiento.

ƒ = {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 8), (5, 16), (6, 32), (7, 64), (8, 128)}.

Como cada pareja ordenada representa un punto en el plano coordenado, al localizar dichas parejas se obtiene la siguiente representación gráfica de la función.

 

 

 

 

 

 

 

 

En ésta se ve que conforme los años aumentan, el número de ramas también lo hace, cada caso en que la función es creciente en todo su dominio. Asimismo, para representar todos los puntos es necesario cambiar la escala del eje vertical.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Resuelve los siguientes ejercicios: a) Analiza la gráfica y establece sus propiedades b) ¿Por qué el dominio es A = {1, 2, 3, …8}? c) ¿Por qué no hay puntos en la parte negativa del eje horizontal? d) ¿Por qué la gráfica de la función son puntos aislados?

Las funciones cuya gráfica en el plano coordenado son puntos aislados se llaman discretas, es decir, su valor es un número entero no habiendo continuidad en la gráfica.

La regla de correspondencia de la función anterior es: ƒ(n) = y = 2n-1 (1)

y si se le compara con la regla de correspondencia de la función

(2)

ƒ(n) = y = n2 se concluye que en la primera la variable independiente es el exponente de la base y en la segunda la variable independiente es la base, la cual forma la función cuadrática.

La primera es una función trascendente y la segunda, una función algebraica. De lo anterior se infiere:

Que en toda función exponencial, la variable independiente es el exponente de la base.

Ejemplo. 2 La representación de la amiba

Los estudios biológicos sobre un tipo de amiba nociva para la salud descubrieron en ésta las siguientes características: a) Su reproducción es por bipartición, es decir, una se divide en dos, cada una en otras

dos, etcétera. b) Se reproducen en periodo de 20 minutos.

17

c) Su tamaño es del orden de milimicras, por lo que el ojo, humano no la detecta.

d) Su concentración es de 10 millones por milímetro cúbico.

e) Para su reproducción requiere de un medio acuoso llamado caldo de cultivo.

El estudio de la reproducción de la amiba se hace a través de una muestra de un milímetro cúbico; sin embargo con sólo estudiar una es suficiente, ya que los resultados de una se extrapolan para los 10 millones. Analicemos la reproducción de la amiba en la tabla 3.

Periodo de 20 min. 0 1 2 3 4 5 6 7 8….t
Reproducción 1 2 4 8 16 32 . . . . . . . . . ?
Equivalencia 20 21 22 23 24 25 26 . . .

Tabla 3.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Realiza los siguientes ejercicios con base a los siguientes:

a) Completa la tabla anterior para tres horas y determina el número de amibas para cada periodo. Observarás que ésta es similar la tabla del ejemplo 1.

b) Si lo representa a los primeros 10 millones de amibas, y al total de éstas y t a un periodo de 20 minutos ¿cuál es la expresión exponencial que nos permitirá determinar el número de amibas en cualquier período t?

c) La expresión resultante en el inciso anterior es la regla de correspondencia de la función que define el problema; compárala con la correspondiente al ejemplo 1 y explica tus observaciones. (Para representar la gráfica de la función, primero se calculan algunas imágenes como se observa en la tabla 4, en que t son periodos de 20 minutos).

t ƒ(t) = 101 (2t) [t, ƒ(t)]
0 1 2 3 4 5 . . . t ƒ(0) = 10’ (20) = 10’ (1) = 10’ƒ(1) = 10’ (21) = 10’ (2) = 20’ƒ(2) = 10’ (22) = 10’ (4) = 40’ƒ(3) = 10’ (23) = 10’ (8) = 80’ƒ(4) = 10’ (24) = 10’ (16) = 160’ƒ(5) = 10’ (25) = 10’ (32) = 320’ . . . (0, 10) (1, 20) (2, 40) (3, 80) (4, 160) (5, 320) . . . [t, ƒ(t)]

Tabla 4. Nota: 10’ son 10 millones de amibas por mm3

18

Gráfica 2.

d) Determina el dominio y la imagen para t = 3 horas en periodos de 20 minutos. (La gráfica de la función nuevamente son puntos aislados, lo cual se debe a que t son periodos de 20 minutos; ¿entre punto y punto de la gráfica no hay reproducción? Si analizamos cómo se está realizando ésta, concluiremos que sí la hay, es decir, los periodos de 20 minutos pueden iniciar en cualquier momento y al finalizar obtendremos una reproducción promedio).

e) Determina el número de amibas reproducidas tras 50 minutos. Localiza el punto en la gráfica. (De acuerdo con el resultado que obtuviste al colocar el punto en la gráfica habrás comprobado que hay muchos puntos que no se han calculado presentes en la gráfica).

Ejemplo 3. La explosión demográfica

En la sierra norte de Puebla hay un pintoresco municipio cuya población ha aumentadoconstantemente por personas atraídas por sus bellos paisajes. Éste, en 1980, tenía 10 mil habitantes, y en el censo de 1981 registró un incremento del 10%, mismo caso que en 1982 y 1983. Con estos datos podemos determinar la función de crecimiento de la población, para la cual representaremos con Ho a 10 mil habitantes. Veamos la tabla 5, donde: i es la tasa de crecimiento anual, es decir, i = 10% = 0.1; y n el número de años.

Tabla 5.

Al final de Incremento de la población
1980 H = H0 = 10 000 = H0 (1+i)0
1981 H = Ho + Hoi = Ho (1+i) = Ho (1+i)1
1982 H = Ho (1+i) + Ho (1+i)i = Ho (1+i) (1+i) = -Ho (1+i)2
1983 H = Ho (1+i)2 + Ho (1+i)2i = Ho (1+i)2 (1+i) = -Ho (1+i)3
1984 H = Ho (1+i)3 + Ho (1+i)3i = Ho (1+i)3 (1+i) = -Ho (1+i)4
1985
1986
n

19

Observa que el factor entre paréntesis (1+i) es la base de la función exponencial y que su exponente crece en una unidad por cada año transcurrido; que la población al final de cada año sirve de base para calcular el siguiente año, para lo cual se multiplican por la tasa i para determinar el incremento, que se suma a la cantidad ya existente; para obtener la expresión final más compacta se efectúa una factorización; el primer paréntesis tiene exponente cero, el cual representa el año cero, año que se inicia el análisis. Recuerda que todo número elevado a un exponente cero, vale uno.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Realiza los siguientes problemas

a) ¿Cuántos habitantes habrá en el año 2000, suponiendo que la tasa de crecimiento es la misma y no hay defunciones? b) ¿En qué año habrá una población de 100 000 personas haciendo la misma suposición del inciso a?

Para hallar la representación gráfica en el plano coordenado, primero se calcula el número de habitantes por año, que representa la imagen de cada año, valores con los cuales formaremos las parejas ordenadas.

años ƒ(n) = Ho(1+i)n [n, ƒ(n)]
1980 ƒ(0) = 10 000 (1.1)0 = 10 000 (0, 10 000)
1981 ƒ(1) = 10 000 (1.1)1 = 11 000 (1, 11 000)
1982 ƒ(2) = 10 000 (1.1)2 = 12 100 (2, 12 100)
1983 ƒ(3) = 10 000 (1.1)3 = 13 310 (3, 13 310)
1984 ƒ(4) = 10 000 (1.1)4 = 14 641 (4, 14 641)
1985
1986
n ƒ(n) = Ho (1+i)n [n, ƒ(n)]

Tabla 6.

c) Completa la tabla para los años que faltan. (Para obtener la gráfica en el plano

coordenado se deben localizar los puntos de cada pareja ordenada). d) ¿Podríamos unir los puntos? ¿Por qué? e) ¿Tendrá sentido la parte negativa de n?

De la gráfica se deduce que el dominio es: Z+U{0}.

El condominio de Z+ (conjunto de enteros positivos). La regla de correspondencia:

ƒ(n) = Ho (1+i)n.

Y la función más general: ƒ: Z+U{0} →Z,+ con ƒ(n) = Ho (1+i)n.

 

 

 

 

 

 

 

Gráfica 3.

La función es discreta porque su gráfica en el plano coordenado son puntos aislados, toda vez que cada punto representa un número de personas y no podemos hablar de fracciones de persona. Por lo tanto, en la vecindad de cada punto existe el vacío.

Es creciente en todo su dominio, porque al comparar la regla de correspondencia con los problemas anteriores, vemos que hay diferencia; sin embargo:

Es una función exponencial porque la variable independiente n es el exponente de la base (1+i).

Ejemplo 4. La difusión de la información

El cofre de Perote, volcán por muchos años inactivo, en los últimos días ha visto cierta actividad, por lo que científicos de la UNAM realizaron estudios para determinarla, descubriendo que a las 10:00 horas del 15 de junio de 1992 haría erupción y que la dirección de la lava era hacia la ciudad de Teziutlán, cuya población es de 90 000 familias. Los estudios concluyeron que en la madrugada del día 16 urgía evacuar la ciudad porque la descarga de lava amenazaba con cubrirla. Por lo anterior, la autoridad municipal recibió la orden de evacuar a las 6:50 horas y, gracias a que tenía conocimientos matemáticos, realizó cálculos como se observa en la tabla 7.

Periodos de 15 min. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
Familias avisadas 1 3 9 27 81 243 729
Equivalencia 30 31 32 33 34 35 36 37

Tabla 7.

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ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Resuelve lo siguiente

a) Completa la tabla.

b) Establece la expresión para n periodos.

c) Si la difusión informativa inició a las 7:00 horas, ¿en qué período todas las familias habían sido avisadas?

d) ¿Qué tiempo tenían las últimas familias para evacuar?(Para representar la gráfica en el plano coordenado se calcula la imagen de cada elemento del dominio y se forman las parejas, que son los puntos de la gráfica).

n ƒ (n) = 3n [n, ƒ(n) ]
0 ƒ (0) = 30 = 1 (0, 1)
1 ƒ (1) = 31 = 3 (1, 3)
2 ƒ (2) = 32 = 9 (2, 9)
3 ƒ (3) = 33 = 27 (3, 27)
4 ƒ (4) = 34 = 81 (4, 81)
5 ƒ (5) = 35 = 243 (5, 243)
6 ƒ (6) = 36 = 729 (6, 729)
7 ƒ (7) = 37 = 2 187 (7, 2 187)
8 ƒ (8) = 38
9 ƒ (9) = 39
10 ƒ (10) = 310
n ƒ (n) = 3n [n, ƒ(n) ]

Tabla 8.

La generalización de la función es:

ƒ: A → B con ƒ(n) = 3n

creciente en todo su dominio. Es una función discreta porque su representación gráfica son puntos aislados en el plano coordenado.

e) Determina el dominio. f) Determina el codominio. g) La regla de correspondencia. h) Establece la función como conjunto de parejas ordenadas.

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Gráfica 4.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Para reafirmar lo aprendido, en los siguientes problemas define la función general que los rige, determina en cada uno el dominio, codominio, regla de correspondencia y traza su gráfica, la que debes analizar y determinar sus características:

  1. La función de crecimiento de un árbol que produce cada año tres ramas de cada una.
  2. La función de crecimiento de la población de una ciudad de 50 000 habitantes con una tasa de crecimiento i = 15%.
  3. La difusión de la información en una ciudad de 100 000 habitantes si cada persona le avisa a cuatro personas.
  4. La función que define el número de descendientes en cualquier generación toda vez que debido al control natal cada familia sólo tuvo dos hijos. En caso detener alguna duda, consulta con tu asesor.

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Ejemplo 5. Vida media del material radiactivo

Al analizar la vida media de un material radiactivo (tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de dicho material), se determinó que éste cada año disminuía a la mitad. Establece la vida media del radioisótopo. Para ello, primero se analizará lo que sucede con un kilogramo de material tomado para el tiempo t, periodos de 20 años. Veamos la tabla 9.

Al final de 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ..t
cada 20
años
Kg de material 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64
Equivalencia 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6

Tabla 9.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elabora lo siguiente:

a) Completa las columnas que faltan en la tabla. b) Determina la regla de correspondencia para t periodos. c) Establece la función general de la vida del radioisótopo.

Analiza el comportamiento de la tabla (10) y establece el dominio si definimos la función de la vida media de un radioisótopo por:

24

ƒ(t) = ()t

1

2

Periodos de 20 11 t [t, ƒ (t)]
años ƒ(t) = (2)t = 2t
0 ƒ(0) = 1 (0, 1)
1 ƒ(1) = 1 2 1 1 2,  ⎝  ⎠
2 ƒ(2) = 1 4 2 1 4,  ⎝  ⎠
3 ƒ(3) = 1 8 3 1 8,  ⎝  ⎠
4 ƒ(4) = 1 16 4 1 16,  ⎝  ⎠
5 ƒ(5) = 1 32 5 1 32,  ⎝  ⎠
6 ƒ(6) = 1 64 6 1 64,  ⎝  ⎠
7
8
9
t ƒ(t) = ( 1 2)t [tf t ],( )

Tabla 10.

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Gráfica 5.

d) Calcula las parejas que faltan. e) ¿Por qué la función es discreta? f) ¿Qué comportamiento tiene la función: creciente o decreciente? ¿por qué?

Si en lugar de tomar periodos de 20 años, tomamos un tiempo continuo, es decir t∈R, entonces la gráfica de ƒ(t) es una línea continua, como se muestra en la gráfica 6.

Gráfica 6.

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Con esta gráfica podemos calcular, aproximadamente, el material radiactivo que se tiene y el que se ha desintegrado.

Veamos otro ejemplo: ¿Qué cantidad de radioisótopo habrá después de 50 años?

Solución

Trazamos una línea perpendicular en el año 50 hasta tocar la gráfica; en este punto se traza una línea horizontal hasta tocar el eje vertical, siendo este punto del eje material que no se ha desintegrado. Para determinar éste, restamos del total la cantidad sin desintegrar .

Las gráficas ahorran tiempo en el cálculo, mas tienen el inconveniente de que el valor que se determina es aproximado, como en nuestro ejemplo donde es de aproximadamente 179 gr, resultado diferente si lo hacemos mediante cálculos.

5

Para 50 años t = de periodo, y sustituyendo en la regla de correspondencia

2obtenemos:

5  5⎞ 1 21 1

w = ƒ  = = =≅ 0.177kg ∴w≅177gr.

2 2 532

2

El resultado indica que al finalizar los primeros 50 años de vida media del material en estudio, se han desintegrado 823 gramos.

g) ¿Qué interpretación se puede dar a la parte de la gráfica que se localiza en el lado

negativo de t? h) ¿Cuántos años deben transcurrir para que nos queden 7.0gr. de sustancia

radiactiva?

Esta gráfica respecto de los ejemplos anteriores es decreciente, por lo que se concluye de los problemas analizados que la función exponencial puede ser creciente o decreciente.

Ejemplo 6. Monto del interés compuesto

Cierto día, la señora Alejandra decidió realizar una gran fiesta a su hija cuando cumpliera 15 años, para lo cual depositó en un banco $ 5 000 pesos, a una tasa de interés compuesto del 12% anual. Determina la función del monto (s) a t años con la siguiente simbología:

C0 = Capital inicial de $ 5 000

27

i = Tasa de interés anual = 12% = 0.12 t = Tiempo en años S = Monto al final del tiempo de inversión

Analicemos los datos en la siguiente tabla.

Al final Incremento de capital al inicio de cada año Monto final
del año del año
0 S = C0 = 5 000 = C0 (1+i)0 S = 5000
1 S = Co + iC0 = C0 (1+i)1 S = 5’ (1.12)1
2 S = C0 (1+i) + C0 (1+i)i = [C0 (1+i)] (1+i)= C0 (1+i)2 S = 5’ (1.12)2
3 S = C0 (1+i)2 + C0 (1+i)2i = [C0 (1+i)2] (1+i)= C0 (1+i)3 S = 5’ (1.12)3
4 S = C0 (1+i)3 + C0 (1+i)3i = [C0 (1+i)3] (1+i)= C0 (1+i)4 S = 5’ (1.12)4
5
6
t

Tabla 11.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elabora lo siguiente:

a) Completa la tabla 11 para el 5o y 6o año y establece el monto para t años. b) ¿Qué cantidad tendrá al final del décimo año? c) ¿Qué cantidad retirará en el decimoquinto año?

Observa que el exponente del paréntesis aumenta en una unidad por cada año transcurrido, es decir, varía con el tiempo en la misma forma, por lo que la función para t años es:

ƒ: A → B con ƒ(t) = C0 (1+i)t

(1)

La representación gráfica de esta función en el plano coordenado la determinan la imagen de cada año y formamos las parejas ordenadas como se indica en la tabla 12.

Tabla 12.

Periodos de 1 año ƒ(t) = C0 (1+i)t [t, ƒ(t)]
0 ƒ(0) = 5000 (1+1.12)0 (0, 5 000)
1 ƒ(1) = 5’ (1.12)1 = 5 600 (1, 5 600)
2 ƒ(2) = 5’ (1.12)2 = 6 272 (2, 6 272)
3 ƒ (3) = 5’ (1.12)3 = 7 024.64 (3, 7 024.64)
4 ƒ(4) = 5’ (1.12)4 = 7 867.59 (4, 7867.59)
5
6
t ƒ(t) = C0 (1+i)t

28

d) Completa la tabla. e) Expresa la función como un conjunto de parejas ordenadas. f) ¿Por qué la función es discreta o continua?

Gráfica 7.

Para trazar la gráfica en el plano coordenado, el monto lo representamos en el eje vertical multiplicado por el capital inicial C0 = 5 000; es decir, únicamente representamos en el eje el segundo valor del paréntesis; en el eje horizontal representamos el tiempo t.

g) Con otra escala determina la gráfica para 15 años. h) Obtén el dominio, condominio y regla de correspondencia. i) ¿La función es creciente o decreciente? j) ¿Cuál es el valor máximo del monto al final del decimoquinto año? (El interés

compuesto para obtener el monto a t años con una tasa de interés anual, se denomina tasa nominal).

Algunos bancos pagan intereses en periodos menores a un año; por ejemplo, trimestralmente (cuatro periodos por año); semestralmente (dos periodos por año) etc. Para este interés, la tasa nominal se divide entre los periodos de capitalización y se le conoce como tasa equivalente.

Retomemos el ejemplo 6. Si el depósito es en un banco que paga k periodos de capitalización por año, ¿qué sucederá en un año, toda vez que para más años ocurrirá lo mismo? De igual manera que en el ejemplo anterior, el capital se va incrementando al inicio de cada periodo de capitalización, como se observa en la siguiente tabla.

29

ii

00

Donde: i = , = tasa equivalente

kk

Al final Incremento de capital al inicio de cada periodo Monto al final
del de capitalización de cada
periodo periodo
0 S = 5 000 = 1 0 + ⎝  ⎠ io k S = 5 000
1 S = C0 + C0 i k 0 = C0 (1+ i k 0 )1 S = 5’ (1+ .12 k )1
2 S = C0 (1 + i k 0 ) + C0 (1+ i k 0 ) ( i k 0 ) = C0 (1+ i k 0 )2 S = 5’ (1+ .12 k )2
3 S = C0 (1 + i k 0 )2 + C0 (1+ i k 0 )2 ( i k 0 ) = C0 (1+ i k 0 )3 S = 5’ (1+ .12 k )3
4 S = C0 (1 + i k 0 )3 + C0 (1+ i k 0 )3 ( i k 0 ) = C0 (1+ i k 0 )4 S = 5’ (1+ .12 k )4
5
6
k

Tabla 13.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Realiza lo siguiente:

a) Completa la tabla para el 5o y 6o período de capitalización. b) Determina la expresión exponencial para k periodos de capitalización. c) ¿Qué cantidad retirará la señora Alejandra al final del decimoquinto año si el periodo

de capitalización fue trimestral. Compara esta cantidad con la obtenida para la capitalización anual y explica lo que observes.

Si confrontas las tablas 12 y 13 verás que el crecimiento del capital ocurre de igual forma por años que por periodos; por lo tanto, la función de crecimiento del capital para k periodos de capitalización por año es:

kt

 io⎞

ƒ: A →B; f(x)= C0 1+ (2)

k en t años de k pedidos

30

Y la regla de correspondencia:

k

 io⎞

ƒ (k) = C0 1+

k

d) Calcula el monto para k = 4, 6, 12 periodos de capitalización y compara los

resultados. Al aplicar la ecuación exponencial (2) para loe periodos indicados debista

obtener:

  1. para k = 4; S = 5 627.54
  2. para k = 6; S = 5 630.81
  3. para k = 12; S = 5 634.12

Al cotejar estos resultados observarás que al aumentar el número de capitalizaciones por año, el capital también se incrementa; por consiguiente, si se quiere ganar más se debe depositar con el banco que pague más periodos de capitalización por año. Una función más general para determinar el monto a t años y k periodos de capitalización se obtiene tras combinar las ecuaciones (1) y (2).

f: A → B conf (t) =Co (1+i)t

i0 )kt

f: A → B conf f(kt) = Co(1+

k

ƒ = A →B con ƒ(kt)

e) De acuerdo con esta función calcula los montos para k = 4, 6, 45 y t = 5, 10, 15. Analiza los resultados y explica tus observaciones.

Ejemplo 7. Periodos de capitalización continua.

En algunos bancos los periodos de capitalización son mayores a los analizados; por ejemplo, k = 30, 360, etc. De esto surge la siguiente pregunta: ¿Si los periodos de capitalización por año cada vez fuesen más grandes, el capital también sería cada vez mayor? En este caso a k se le llama periodo de capitalización continua. Para determinar qué ocurre con el capital, hagamos los siguientes cambios de variable en la función (3).

Primero se hace que k = i0n, n ∈R y sustituimos este valor en (3), obteniéndose:

iotiontn

⎡⎤

 io ⎞ 1⎞

S = C0 ⎜1+ = C0  1+ (4)

 ni0  ⎢⎝n⎠

⎣

Analicemos el paréntesis interior de la función (4) mediante la tabla 4, donde n toma valores cada vez mayores.

31

n (1+ 1 n ) n
2 (1+ 1 2 )2 = 2.25
5 (1+ 1 5 )5 = 2.48832
10 (1+ 1 10 )10 = 2.59374
100 (1+ 1 100 )100 = 2.70481
1 000 (1+ 1 1000 )1000 = 2.71692
10 000 (1+ 1 10 000 )10 000 = 2.71814
20 000 (1+ 1 20 000 )20 000 = 2.71821
50 000 (1+ 1 50 000 )50 000 = 2.71825
500 000
100 000
200 000
n → ∞

Tabla 14.

f) Completa la tabla, analiza los valores y expresa tus observaciones. g) De acuerdo con la escala exponencial calcula el valor para n= 1 000 000 y compáralo

con los anteriores resultados.

Al analizar los valores de la tabla 14 se observa que a partir de n=20000, el valor (1+1/n)n≈2.7182, es decir, las cuatro primeras cifras decimales no varáin y la quinta cifra va crecieno lentamente, por lo que podemos afirmar que (1+1/n)n por más que crezca n, su valor se estabiliza en 2.718281, por lo tanto, cuando n tiende a ser muy grande, este valore se simboliza con el número y, cuyo valor aproximado es:

(5)

e = 2.718281

Este número es una constante que interviene en el cálculo de muchos problemas prácticos de Física, Economía, Ciencias sociales, etc. La función de crecimiento de estos problemas se define con base en el número e, cimiento de los logaritmos neperianos o naturales. En tu curso de cálculo ampliarás tus conocimientos sobre este tema.

32

Al sustituir el resultado de (5) en (4) obtenemos otra expresión para el monto para periodos de capitalización continua, esto es:

(6)

S = C0 eiot

De esta ecuación exponencial del monto se deduce que, por más periodos de capitalización que se tenga, el capital tiene un límite máximo, por lo que no puede seguir creciendo salvo que se cambien las condiciones del depósito.

h) Con los mismos datos del problema, calcula el monto para t = 20 años con periodos de capitalización continua. (Usa tu escala exponencial para e = 2.718281.)

i) ¿Cuánto recibiría la señora Alejandra (ejemplo 6) por su depósito con periodos de capitalización continua?. Compara este resultado y explica tus observaciones.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Veamos el siguiente problema sobre depreciación de maquinaria. Recuerda que al inicio de este fascículo se planteó el problema de la evaluación del taxi ecológico, en este momento lo retomamos para darle solución correcta.

1. El taxista se asesoró de un contador para que le solucionara sus dificultades, para lo cual dio la información necesaria; entre otras cosas, le explicó sobre sus ingresos, la cantidad que había asignado para la devaluación, la vida útil del taxi, considera de seis años, habiendo tenido problemas de funcionamiento desde el cuarto año de uso y que al final del quinto lo vendió en $4 736.73 por ser incosteable su mantenimiento. Con base en esta información el contador determinó la función de costo del taxi para cualquier t años de uso, siendo:

(1)

C(t) = Coe-0.4t

y la función de devaluación por año (2)

D = Co -Vr

donde:

C(t) = Valor del taxi en cualquier tiempo t Co = Costo inicial del taxi D = Depreciación en cualquier tiempo t de uso Vr = Valor de recuperación (valor en que se vendió el taxi al final del último año de uso) Vu = Vida útil (número de años de uso)

Valor de recuperación del taxi al final del último año de uso.

33

(3)

Vr = C(t) .

Con estos valores, calcular:

a) El costo inicial del taxi (Co). b) La depreciación del taxi para t = 0 años. c) El valor del taxi al final del segundo año de uso y su depreciación. d) El valor del taxi al final del quinto año de uso. e) La depreciación total del taxi.

Datos Fórmulas

Vu = 5 años C (t) = Coe-0.4t (1) C (5) = $4 736.73 D = Co – Vr (2) Co = ? C (t) = Vr (3) C (2) = C (5) = ? D=?

a) Al sustituir (3) en (1) obtenemos para

t = Vu = 5 C (5) = Coe-04(5) = 4.736.73 (4)

De (4) despejamos Co, obteniéndose: 4 736 73

.

Co = = 4 736.73e2

-045

.( )

e

Co = $ 35 000 b) Para t = 0 sustituyendo en (1), obtenemos: C(0) = 35e -0.4(0) = 35 000 Del resultado anterior observamos C(0) = Co, por lo que concluimos que no hay depreciación para t = 0. -0.4(2) = 35’e

c) Para t = 2: C(2) = 35’e-0.8 = $15 726.51 Al finalizar el segundo año el taxi vale: $ 15 726.51, y su depreciación es de D = 35 000 – 15 726.51 = 19 273.48 d) El valor del taxi al final del quinto año es: C(5) = 35’e-0.4(5) = 35’e-2 = $ 4 736.73. e) El valor de recuperación: Vr = $ 4 736.73. De lo anterior se concluye que la depreciación total es: D = Co-Vr = 35 000-4 7363.73 = $ 30 263.27.

34

Compara estos resultados con las cantidades que obtuvo el taxista y explica tus conclusiones.

2. Tras analizar los registros de salud pública de un municipio del estado de Puebla, se encontró que hubo un brote de epidemia, el cual según análisis de propagación determinó que ésta crecía en forma exponencial; por lo tanto, se determinó el número de personas que adquirían la enfermedad mediante la función de propagación:

ƒ(t) = 6 ( en millones de personas).

-0.8t

39e

+

a) ¿Cuántas personas tenían la enfermedad en el momento que se descubrió la epidemia?

b) ¿Cuántas personas enfermas habrá al final de la tercera semana?

c) ¿Cuántas personas en total contraerán la enfermedad si la epidemia continúa indefinidamente?.

3. Se estima que el crecimiento de la población en la ciudad de México es de tipo exponencial y está definida mediante la función:

80

p(t) = (en millones de personas).

-0.06t

812 e

+

a) ¿Cuál es la población actual?

b) ¿Qué población habrá dentro de 50 años?

c) ¿Qué ocurrirá con la población después de varios años si el crecimiento continúa indefinidamente?

4. ¿Cuánto debe invertirse a una tasa del 8% anual para que en 20 años se tenga un saldo de 100 000 dólares con periodos de capitalización continua. La función de crecimiento exponencial ya se habrá obtenido. O sea:

Q(t) = Coeit

En los ejemplos anteriores observaste cómo la constante e sirve para el cálculo de muchos problemas de diferentes áreas del conocimiento, que también define a la función exponencial natural de la siguiente forma:

ƒ: R → +con ƒ(x) = e

x (7)

5. Construye una tabla para calcular las siguientes imágenes de (7) y traza la gráfica en el plano cartesiano.

ƒ(-3), ƒ(-2), ƒ(-1), ƒ(0), ƒ(2), ƒ(3).

35

a) Analiza la gráfica y define sus propiedades.

Los problemas que hasta el momento se han estudiado nos permiten generalizar la función, obteniendose como regla de correspondencia una expresión exponencial del la forma

x

ƒ(x) = a

b) De los problemas anteriores surgió la siguiente tabla, analízala, compara los valores de a, completa la regla de correspondencia y explica tus observaciones.

Tabla 15.

Ejemplo Regla de correspondencia Valor de a Valor de x
1 ƒ (n) = 2n-1 a = 2 x = n-1
2 ƒ (t) = 2t a = 2 x = t
3 ƒ (n) = H0 (1+i)n a = (1+i) x = n
4 ƒ (n) = 3n a = 3 x = n
5 ƒ (t) = ( 1 2 )t
6 ƒ(t) = Co(1+ i k )kt
7 ƒ(t) = C0eit

Al analizar cada una de las gráficas de las funciones anteriores, notarás que éstas están trazadas en el primer cuadrante del plano cartesiano, lo que se debe a la naturaleza del problema y a la definición de su dominio; dichas funciones se pueden generalizar como:

x

ƒ: R → + con ƒ(x) = a, x∈R, a∈R+, a ≠ 1

Recuerda que si 0 <a <1, la función es decreciente y si a >1 es creciente.

36

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

a) Analiza las siguientes funciones e indica de acuerdo con el valor de a si la función es creciente o decreciente:

1

  1. ƒ: R →R con ƒ(x) = ( 2 )x ____________ 6. ƒ: R →R con ƒ(x) = 2x _____________
  2. ƒ: R →R con ƒ(x) = ( 3 )x ____________ 7. ƒ: R →R con ƒ(x) = 3x _____________
    1. ƒ: R →R con ƒ(x) = ( 1 )x ____________ 8. ƒ: R →R con ƒ(x) = 4x _____________
    2. 4 4
  3. ƒ: R R con ƒ(x) = ( 3 )x ____________ 9. ƒ: R R con ƒ(x) = 2x _____________
  4. ƒ: R R con ƒ(x) = ( 3 )x ____________ 6. ƒ: R R con ƒ(x) = 10x _____________

1

2 Traza la gráfica de cada una de las funciones para comprobar tus respuestas y elabora una tabla.

x f(x)= 4 3  ⎝  ⎠ x [x, f(x)] f(x) = 3x [ ()x, t x ] f(x)=10x [x, f(x)]
-2
-1
0
1
2

Tabla 16.

Construye la tabla de las funciones restantes, traza las gráficas respectivas y cómparalas con la siguiente:

37

Gráfica 8.

De acuerdo con la gráfica 8 determina las propiedades comunes que observes.

Como la función exponencial no es posible expresarla mediante operaciones algebraicas, corresponde hacerlo a las funciones trascendentes; sin embargo, la función exponencial conserva las propiedades de la potenciación que estudiaste en el primer semestre. Te recomendamos revisarlas.

x

En la gráfica pudiste observar que la función exponencial ƒ: R R+ con ƒ(x) = a, a∈R+ y a≠1, x∈R, tiene las siguientes características.

− Es continua en todo su dominio. − Es creciente para a > 1. − Es decreciente para 0 <a <1. − La gráfica de toda función exponencial pasa por el punto de coordenadas P(0, 1). − La correspondencia de la función es uno a uno.

La última propiedad significa que cada elemento del condominio es imagen de uno y sólo un elemento del dominio. En un diagrama de Venn se puede visualizar cuando la función es uno a uno.

38

EXPLICACIÓN INTEGRADORA

Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones como son las siguientes:

− Recuerdda que la regla de correspondencia, también llamada regla para hallar imágenes, determina la imagen de cada elemento del dominio y con estos valores se forman parejas ordenadas.

− Que en toda función exponencial, la variable independiente es el exponente de la base.

− La función exponencial general es:

f: R R+ con f(x) = ax, a∈R+ y a ≠ 1

− Recuerda que: Si 0 < a < 1, la función es decreciente Si 1 < a, la función es creciente.

− Recuerda que cada elemento del codominio es imagen de uno y sólo de un elemento del dominio.

PROPÓSITO


En los fascículos anteriores estudiaste algunas funciones polinomiales y sus características, como por ejemplo; función constante, función discreta, función lineal, función continua, función discreta, función cuadrática, función polinominal, cúbica y de 4o. grado y sus características.

En este capítulo:

¿QUÉ APRENDERÁS?

Conocerás y desarrollarás la solución de diversos tipos de problemas que, de acuerdo con su regla de correspondencia, puede ser: función exponencial, función logarítmica y función inversa correspondiente a las funciones trascendentales.

¿CÓMO LO LOGRARÁS?

Con el estudio previo de las leyes de los exponentes y las propiedades de los logaritmos además de la representación de puntos en el plano cartesiano, de igual manera es necesario que te apoyes en problemas que conduzcan al planteamiento de funciones polinomiales como la que has revisado y estudiado hasta el momento (función lineal, cuadrática entre otras otras).

¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

Esto te ayudará a comprender mejor los conceptos y la relación que existe entre la función logarítmica y la exponencial conjuntamente con sus propiedades; con ello podrás resolver problemas cuyo comportamiento describa cierta regla de correspondencia para que en un momento determinado puedas solucionar y/o interpretarlas.

 

CAPÍTULO 1: FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA


En el fascículo anterior estudiaste las funciones: Constante, Discreta y Continua. Conjuntamente con su clasificación y representación gráfica de las mismas. Estas te permitieron comprender, interpretar y calcular el momento de reflexión de una viga de acero, determinar la dosis de un medicamento que se debe suministrar a ciertos pacientes, determinar el volúmen de una caja sin tapa. Etcétera.

Como te habrás dado cuenta el aprendizaje y/o conocimiento de las funciones que hasta el momento se han estudiado son importantes y necesarias conocerlas, ya que son de gran ayuda para solucionar problemas que se presentan en nuestra vida diaria y en sociedad. Ahora en este fascículo conocerás y desarrollarás la solución de diversos problemas que dependerán de la regla de correspondencia que presente cada función.

A continuación te presentamos un ejemplo donde se aplica el aprendizaje que este capítulo te proporciona en la vida real.

LA DEPRECIACIÓN (Disminución del valor o precio)

Un ruletero compró su taxi ecológico de acuerdo con las recomendaciones del gobierno de la ciudad de México y, con base en sus conocimientos matemáticos, realizó los siguientes cálculos sobre los ingresos económicos del primer mes de trabajo:

Ingreso promedio diario = $ 140.00 Gastos de combustible y mantenimiento = $ 35.00 Gastos sobre la devaluación del vehículo = 25.00 Sueldo por 8 hrs. De trabajo de chofer = 80.00 Total = $280.00

Consideró que si a su vehículo le daba un buen mantenimiento su vida útil sería de seis años, y que con lo que ahorraría por devaluación podría adquirir otro automóvil, pero ¡oh sorpresa!, al final del quinto año su mantenimiento ya no era redituable porque permanecía más tiempo en el taller que trabajando y los ahorros hasta ese momento no alcanzaban por la compra de otro. Sus cálculos para planear su futuro fueron correctos,

pero ideales, es decir, en la práctica no ocurrieron en forma lineal como supuesto. Esto se debe a que sus conocimientos sobre la devaluación (depreciación) no eran suficientes, toda vez que ignoraba que para vehículos expuestos a trabajo rudo, como el transporte público, la función que erige a la depreciación es de tiempo exponencial, la cual le hubiera permitido realizar un cálculo exacto.

En este capítulo aprenderás a calcular la depreciación y comprenderás la relación que tiene con otros conceptos matemáticos.