Veamos de nuevo las fórmulas recurrentes de la sucesiones aritmética y geométrica.

sucesión aritmética

If. n = f (n − 1) + d…

()

II f . () n = qf (n − 1)…. sucesión geométrica

(30) Al observarlas nos damos cuenta que son del tipo: f (n) = F[ f(n-1) ] la regla de la F

manda f (n-1) en f (n – 1) + d en el caso I, en qf (n – 1) en II.

La gráfica se puede representar en el plano f( n-1 ) vs. F ( n ) (gráfica 38). Y si además se tiene en cuenta que los valores de la sucesión f ( n ) son en general números reales que sean irracionales, que son aquellos números que se representan con decimales no periódicos. (Dependen si son irracionales o no f ( 1 ), d y q en el caso de las sucesiones aritmética y geométrica), podemos, por lo tanto, asociar a la fórmula (30) la representación usual.

(31) yFx(), Ff n − 1

= [( )]

f(n)

F(x)

f(n-1)

Gráfica 38

Cuya gráfica es la 39 donde F:→ y la sucesión aritmética y geométrica I y II toman la forma

(32)

y = x + d y

(33)

y = qx

F(x)

x

Gráfica 39

Representadas en las gráficas 40 y 41, respectivamente.

Hasta ahora las gráficas de las sucesiones las habíamos dibujado en el plano n vs. f ( n ), pero tanto (32) como (33), que resultan ser funciones lineales, tienen una representación como funciones con dominio continuo en el plano ( x, y ) y, adicionalmente son funciones continuas (funciones para las cuales en todo punto “a” del dominio de dicha función si la variable x se acerca al punto “a”, del dominio el valor de la función en x se acerca el valor de la función en el punto a).

Para las funciones tipo (31) se puede generar lo que se llama la dinámica de dicha función si se itera, es decir, se compone tal función consigo misma múltiples veces. Un ejemplo ya conocido es obtener a partir del tamaño inicial de una población f ( 1 ), el tamaño de la población al año siguiente, lo cual se hace iterando:

(34) f(2) = f(1) + d

y

y = qx (d < 0 < 1)

x

Gráfica 40 Gráfica 41

Expresión en que d es el aumento de población respecto a la primera unidad de tiempo si su ley fuera la correspondiente a una sucesión aritmética, es decir, si fuera (42), o bien

I: f ( n ) = f ( n – 1 ) + d, se tendría:

(35) f ()3 = f ( ) 2 + d,

donde el valor de f en el paso anterior (34), f (2), se toma en el dominio (figura 24) mediante un círculo de radio f ( 2 ), y con f (2) en el dominio evaluamos f con ayuda de la misma ley (32), obteniéndose f (3) mediante (35), etc. (gráfica 42).

En lugar de evaluar cada vez y regresar con un círculo de radio igual al valor de la evaluación del dominio, para así valorar una vez más, lo que se hace es introducir la gráfica de la función idéntica o identidad, ya que en ella las abscisas valen lo mismo que las ordenadas: y = x, (figura 43). Se evalúa la función y en lugar de todo el procedimiento anterior sólo nos movemos de la gráfica de la función a la de la idéntica, de ésta a la función, de nuevo a la idéntica y así sucesivamente (gráfica 43). En cada salto de la idéntica a la función tomamos un nuevo valor de la sucesión (gráfica 44).

yy

Gráfica 43 Gráfica 44

Pero estando en el plano x vs. Y se justifica usar la siguiente notación (gráfica 45). f(1), como el valor inicial.

x =f(), como el valor inicial

11

x =F(x )

21 2

^x3 ^=F(x 2 ^{) =F}[^F(x 1⁾ ]^{=F (x}1^), el exponente indica el número de veces que se está 2 3 aplicando la función F.

x =F(x ) =F(F (x) =f (x ),

43 11 n−2

x =F () expresión que se toma como hipótesis para inducir la expresión del

x

n−11

siguiente término

x

n n−2n−1

−= (x

F(xn 1) F(F (x )) =F ).

11

105

23

Fx Fx Fx

() () ()

111

Gráfica 45

En este caso se dice que la órbita ó radio de x1 bajo la función F es x1 y las iteraciones de F en x1, o simbólicamente:

2 −1

(36) “Órbita de x =x ,bajoF”es x ,F(x ), F (x ),…, fⁿ x

_{{1 1} (),…. _}

1 11

Gráfica 46

106 Pero como la ley en nuestro caso es la correspondiente a la de la sucesión aritmética

(32), y = x + d, luego de las relaciones anteriores obtenemos: x =f()

11

x =F(x ) =x +d

2 11

x =F(x ) =x dx ddx 2d

+= ++= +

3221 1

x =F(x ) =x dx 2ddx

+= + += +3d.

4331 1

x =F(x ) =x +− 2

(n )d Hipotesis de Inducción

n−1n−21

=F(x ) =x dx (n 2)d += +− dx (n 1)d

+= +−

^xn n−1n−11 1

es decir, la órbita de x1, bajo F tiene los mismos elementos de las sucesión aritmética (gráfica 47).

Gráfica 47

“Órbita de cualquier xx bajoF(x =+ d es x ,x +dx +2 ,…,x +− )d,…

= ₁ )x” {₁₁,₁d ₁(n 1 }

Observa que ya tenemos analizado uno de los tres casos a que da lugar la transformación, (32) cuando d > 0, (figura 42-47), de donde se deduce que las órbitas de todos los puntos del dominio de la función se comportan, de idéntica manera, a saber, todos los puntos “se escapan a +∞”.

Es de hacer notar que cualquiera que sea x1, digamos x1 = 3 y d = 1 > 0, con la calculadora puedes obtener los elementos de la órbita de x1 bajo F ( x ) = x + d como sigue:

107

Analicemos los casos restantes:

En el caso d < 0, la función será (32), y = x + d pero con d < 0. “Órbita de cualquier x = x1 bajo F ( x ) = x + d con d < 0” es{x ,x + , + dx +( −1d }

dx 2 , n ) ,… , donde todos los puntos del dominio tienen el

111 1

mismo comportamiento, pero ahora cualquiera que sea x1 “la orbita se escapa a −∞” (figura 48).

Gráfica 48

Finalmente, si d = 0, tendremos que y = x, y por consiguiente, la función idéntica coincide con la que estamos analizando, que significa que nuestro procedimiento de ir a la función y luego a la identidad, etcétera, hace que todo punto se quede donde mismo y para siempre, es decir, la

“Órbita de cualquier x =x bajoF(x ) =x” = x ,x ,x ,…, x ,… ( figura 49).

1 { 111 1 }

108

Y

Gráfica 49

De un punto tal se dice que es un punto fijo de la transformación F (x) = x. Obsérvese que para la transformación f(2) = x, todos los puntos del dominio de la función son puntos fijos. Que significa que todos los puntos x=x1 son fijos

En resumen, para F ( x ) = x + d, la órbita de cualquier x = x1 sólo puede tener uno de los tres siguientes comportamientos: x1 se escapa siempre a+∞, si d>0 x1 se escapa siempre a-∞, si d>0 x1 es un punto fijo siempre, si d = 0

Si como en un principio denotamos por x1 el tamaño inicial de una población, basta con que d > 0 para que tarde o temprano tal población termine por escaparse a+∞, aunque no puntualicemos qué tan rápido se va a+∞. Un modelo con estas características es poco práctico, pues corresponderá a situaciones idealizadas muy estáticas, como una población cuyos miembros nunca mueren, o una producción de alimentos permanentemente creciente y acumulada a guardar “d” pesos debajo del colchón.

109

A través del análisis de las órbitas (o trayectorias) de cada uno de los puntos del dominio se pueden observar los comportamientos cualitativamente diferentes que puede generar una función a través de componerla consigo misma, es decir, mediante sus iteraciones. En otras palabras, iterar una función conlleva una dinámica que genera la función mediante la operación de formarla consigo misma, encontrar los posibles comportamientos cualitativamente distintos para entender la complejidad de la dinámica generada; por ejemplo:

La función que logramos asociarle a la sucesión aritmética resultó la función lineal cuya gráfica es paralela a la de la función idéntica, desplazada verticalmente hacia arriba de la idéntica en d unidades, si d > 0 y hacia abajo si d < 0, sólo obtuvimos tres comportamientos cualitativamente distintos; a saber, se escapa a +∞−∞,0 es punto

,

fijo. Esto significa que tal función es poco complicada, su estructura muy simple y su dinámica rudimentaria.

Retomando el problema del móvil que nos género la sucesión de distancias (21), 6, 10, 14, 18, 22, 26, …, cuyo término general n-ésimo está dado por f(n) = f (1)+(n-1)4 y cuya fórmula de recurrencia es: f(n)=f(n-1)+4, o bien en su forma asociada y = x + 4, sólo tiene órbitas de un solo tipo, es decir, todas se escapan a +∞.

SUCESIÓN GEOMÉTRICA

Ahora analicemos en forma análoga lo que ocurre con la fórmula recurrente de la sucesión geométrica II, f (n) = qf ( n-1 ), de la que la figura 50 ilustra su gráfica, donde en el eje horizontal representamos los valores f (n-1). Y en el vertical f(n), que toman valores reales. Por consiguiente, la fórmula de recurrencia II puede reescribirse como:

(38)

y = F (x), específicamente:

(39)

F (x) = qx, que en el plano x vs. y; tiene la misma gráfica que II (Figura 51).

f (n)

y

y = qx

f (n) = q f (n-1)

(q = 2)

(q = 2)

x

f (n-1)

Gráfica 50. Gráfica 51

Clasifiquemos de nuevo todos los puntos del dominio de la función (38) en cuanto a los comportamientos cualitativamente diferentes (análisis de órbita), en términos del único parámetro q de (39), para lo cual dividimos a en seis intervalos:

q> 10, < q< 1,−1 < q< 0yq<− 1.q= 1yq=− 1

q = -1 q = 1

-10 1 q < -1 0<q>1q > 1

-1<q>0

a) q > 1 Para reafirmar lo aprendido: q = 2, o sea, F (x) = 2x “La órbita de x1 = 0 bajo F (x) =2x” es (0, 0, 0, …,) x1 = 0 es un punto fijo de función F (x) = 2x (figura 52).

y

Gráfica 52

El punto fijo de una función es aquél punto del dominio que satisface fx(*) = x*. En este caso 0 es punto fijo de F(x)=2x*, ya que 2x*=x solo la satisface x* = 0.

“La órbita de cualquier x, >0 bajo F(x)=2x” es {x1, 2×1, 2²x1 . . .2^n-1 x1. . .} y la órbita se “dispara a+∞“ (Gráfica 53).

111

Gráfica 53

Observa que hasta ahora las conclusiones de los comportamientos cualitativos de las órbitas pueden generar una función. Se obtuvieron en términos de las gráficas de las iteraciones pero … podrían obtenerse, al analizar la expresión “tender a +∞” o “dispararse a +∞” a través de verificar a que tiende el término n-ésimo de la órbita cuando n es cada vez más grande. Es decir, en este caso si elevamos a potencias cada vez más grandes se obtienen cantidades muy grandes “+∞” (gráfica 53). En cambio, la “órbita de cualquier

2 n−12

xx <0 bajo2x”_{x₁2x 2 x₁22 x _}

= ₁ ,, ₁, ,…, , ,… “se escapa a -∞” (gráfica 54).

Gráfica 54

112

En síntesis, vimos que x1 = 0 es un punto fijo, pero ante una pequeña perturbación, si ésta es positiva, la órbita se escapa a + ∞, más si es negativa se escapa a -∞. En este caso se dice que x1 = 0 es un punto fijo repulsor o punto fijo inestable (las órbitas se alejan de él). Observa que con cualquier otra q > 1 el comportamiento cualitativo de sus órbitas sea idéntico al analizado (gráfica 55).

( q > 1)

Gráfica 55.

11

b) 0 <q <1 Si q= ,, entonces F(x)= ,x.

22

1

xx= ₁ > 0, bajo F(x) = x, es

2

En este caso la “órbita de cualquier

 11 1 

x x, x… x,…

 111 1 ⎬

2 n−1

 22 2 

1

la cual “se acerca a 0”, por los positivos (figura 56), porque el cociente es cada

n−1

2 vez más pequeño, si la n toma valores más y más grandes, pues al multiplicarlo por un número x, los valores disminuyen, pero siguen siendo positivos.

113

Gráfica 56

1

También en la órbita de cualquier x = x1 < 0, bajo x,2

11

⎫⎬

“se acerca a 0 “ desde los negativos (gráfica 57), ya que los términos

⎧⎨

xx x

,

,

,…

1

1 1

−

1

2

n

2

1

x

1

n

2

disminuyen en valor absoluto pero son negativos.

Gráfica 57.

114

La órbita de x1 = 0 bajo fx( ) ¹x es { , , ,… …}

= 000 0

2 x = 0, es un punto fijo atractor.

Y cuando se considera “órbita de x1 = 0, ¹ x”={000 0 } la órbita de x1 = 0

, , ,…, ,… ,

2 es su punto fijo atractor, pues todas las órbitas se acercan a él (punto fijo estable) (figura 58).

Gráfica 58

En síntesis, vimos que: x₁ = 0 es un punto fijo pero todas las órbitas se acercan a él; en este caso, se dice que x₁ = 0, es un punto fijo atractor o punto fijo estable. En este caso se dice que todo R es la cuenca de atracción del 0 (figura 40), cuyos puntos son atraídos por x₁ = 0. conservando el signo de la x.

y

x

x3 x2 x1

Gráfica 59.

Observa que cualquier otro q que sea 0 < q < 1 tendrá un comportamiento cualitativo

1

idéntico al ya descrito para q = .

2 11

c) -1 < q < 0 Hagamos que q =− ,, Fx

es decir veamos que ( ) =− x.

22

n−1

−1

La “órbita de cualquier x1 < > 0*, bajo F(x)= − ¹ x” es igual a ^⎪⎧_⎨x1,− ¹ _x1, ¹ _x1,.., ⁽⁾ _x1,.. ^⎪⎫_⎬

2n−1

2  22 2 ⎪

⎩

(Gráfica 60).

Gráfica 60

Que oscilando entre valores positivos y negativos se acerca a 0 (gráfica 61).

Gráfica 61

116 En cambio, la “órbita de x₁ =0 () =− ¹₂ x es {, , ,… ,… }(gráfica 60 y 61),

,bajoF x ” = 000 0

de ahí que:

El cero es un punto fijo atractor o estable, ya que todas las órbitas son atraídas por x₁ =0. La cuenca de atracción de x₁ =0 es todo R, aunque aquí x₁ =0 atrae oscilatoriamente (cambiando de signo) los valores de x,

d) q < -1 Tomemos q = -2, esto es, F (x) = -2x, y a la “órbita de cualquier x=x1 <>0, bajo F(x)=-2x” = {x1-2×1,2²x1-2³. . .,(-1)^n-12 ^n-1x1,…}.

Se trata de una sucesión oscilante (cambia de signo), que en valor absoluto se escapa a ∞, pero la “órbita de cualquier x = x1 = 0, bajo F (x) = -2x”= (0,0,0,…,0,…) es un punto fijo de tipo repulsor, ya que todas las órbitas de cualquier x1 <> 0 se alejan del 0, escapándose en valor absoluto a∞ (figura 62).

y

x

117 Cualquier otro q < -1 tiene el mismo tipo de comportamiento que el que analizó q = -2.

e) q = 1 Obtenemos la función: F(x) = x (caso particular analizado de la sucesión aritmética) en que todos los puntos x resultan ser puntos fijos que no son atractores ni repulsores.

La órbita de cualquier x₁ ><0,bajoF(x ) =x” ={x₁,x₁,x₁,…,x₁,…} es un punto fijo que no es de tipo atractor ni repulsor, por lo que se dice que es de tipo neutro (gráfica 63).

Gráfica 63

Los comportamientos anteriores pueden modelarse de acuerdo con el movimiento dentro o sobre una vasija. Con la vasija hacia arriba una canica se desvía de su posición de equilibrio y de nuevo tiende a ella (atractor), pero si se coloca hacia abajo y la canica sobre ella, se desvía de su posición de equilibrio, nunca regresará a la misma (punto repulsor o equilibrio, inestable), cuando la canica está en un plano horizontal, al desviarse ni se acerca ni se aleja de la posición inicial, se queda en la nueva posición de equilibrio, considerado como otro punto fijo (figura 64 ).

Figura 64

f) q = -1 Se trata de F (x) = -x

n

La “órbita de cualquier x=x1 <> 0, bajo F(x) = -x” = _{x₁,−x₁,x₁,−x₁,…( −1) x₁,… _}es

una sucesión oscilante que sólo cambia de signo y que en valor absoluto, es constante. Por tomar sólo dos valores, x1 y -x1, se dice que es un punto u órbita periódica de periodo dos o ciclo de periodo dos (gráfica 65).

118

Gráfica 65

EXPLICACIÓN INTEGRADORA

Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones como son las siguientes:

-Recuerda que la órbita de cualquier: x = x1 bajo F(x) = x+d “ es {x1, x1 + d, x1 + 2d, . . ., x1 + (n-1)d, . . .}

Cuando d > 0 donde se deduce que las órbitas de todos los puntos del dominio de la función se comportan de idéntica manera, es decir “se escapan a+∞”.

– El caso de d < 0, la función será, y = x + d pero, con d < 0. La órbita de cualquier: {xx +dx+2dx+(n−1 d }, , , ),… donde todos los puntos

111 1

del dominio tienen el mismo comportamiento, pero ahora cualquiera que sea x, “ se escapan de a−∞.

– De lo anterior podemos resumir lo siguiente: F (x) = x+d, la órbita de cualquier xx sólo puede tener uno de los tres =

1

siguientes comportamientos:

x1 se escapa siempre a + ∞, si d > 0 x1 se escapa siempre a -∞, si d <0 x1 es un punto fijo siempre, si d = 0

-Recuerda que el punto fijo de una función es aquel punto del dominio que satisface f(x)=x. En este caso 0 es un punto fijo de F(x)=2x, ya que 2x=x sólo la satisface X = 0.

–

El cero es un punto fijo atractor estable, ya que todas las órbitas son atraídas por x₁ =0.

La cuenca de atracción del x₁ =0 en todo R, aunque aquí el x₁ =0 atrae oscilatoriamente (cambiando de signo) los valores de los valores de x.

–

Cuando se trate de una sucesión oscilante (cambia de signo), que en valor absoluto se

escapa a ∝, pero la órbita de cualquier x = x₁, = 0, bajo f (x) = -2x, es un punto fijo repulsor, ya que todas las órbitas de cualquier x₁ , < > 0 se alejan del 0, escapándose en valor absoluto a∞.

–

La órbita de cualquier x₁ > < 0, bajo F (x) = x , es un punto fijo que no es de tipo atractor ni repulsor, por lo que dice que es de tipo neutro.

–

La órbita de cualquier x = x₁ < > 0, bajo F (x) = -x es una sucesión oscilante que sólo cambia de signo y que el valor absoluto, es constante.

Mitchell Feigem Balm propone el siguiente análisis: fx =4rx ( 1

() 1−x)…

que le permite generar xi a partir de un valor inicial x₀.

xi, r ) f(xi-1,r) = 4rx -1,r(1-xi -1r). . .2

x = 0

11

y =−

4r son puntos fijos para todo i

defi pi x =x

(()xi = f(xi) = 4rxi (1-xi)

Suponemos r fijo

1