2.1.3 SUCESIÓN ARITMÉTICA


Ésta es una de las más simples, pues cada término de la sucesión se obtiene sumándole al anterior una misma constante, luego entonces: La sucesión aritmética se define por la fórmula de recurrencia:

ƒ(n) = f(n-1) +d (16) ƒ(1) = b

Donde la constante d es una número fijo llamado la diferencia común puesto que de la misma fórmula de recurrencia (d=ƒ(n)-ƒ(n-1) y a ƒ(1)= b se le llama la condición inicial conocida; Ejemplo:

2,4,6,8, …, n=2,3 …

¿Es una sucesión aritmética?. ¿Porque?. Porque basta tener ƒ(1) = 2 (condición inicial) y permanentemente sumarle la constante d=2. Así obtenemos:

Sucesión Aritmética

a, a+d, a+2d, a+3d+…, +a+kd… a+nd… por ejemplo sí a=1 d=2

al substituir dentro de las sucesión

1, 1+2=3 1+4=5 1+6=7 . . . Número impares

si a=2 d=2

2, 2+2=4, 2+4=6, 2+6=8 . . . Números pares

Aquí se puede obtener la fórmula de recursión para las serie aritmética, especificando los valores para a y pares d y el rango para el índice “K” (K=O,N).

Entonces para encontrar el termino tk

Si to = a t1=a+d t2=a+2d t3=a+3d tk =a+kd (k=0,1,2…)

Ahora si nosotros queremos generar tk en términos de tk-1 usando la fórmula de recursión.

to = a t1 = a+d=to+d t2 = (a+d)+d=t1+d t3 = (a+2d)+d=t2+d

. . .

tk = (a+[k-1]d+d)= tk-1+d . . .

tn = (a+[n-1]d+d)= tn-1+d

Las fórmulas descritas se pueden agrupar en una sola fórmula de recursión.

tk = tk-1 +d (k=1,2,3)

donde se usa como condición inicial

to = a Ejemplo:

Generar los primeros 100 términos de las serie aritmética de enteros impares positivos con: a=1 d=2 n=99 k>1

t1=a=1 condición k=2,3,4…

88

tk =tk-1 +d fórmula de recursión

Si k=2 t2 = t2-1+2 = t1+2 = 1+2=3

Si k=3 t3 = t3-1+2 = t2+2 = 3+2=5 . 1, 3, 5 … . .

Para

n = 1; ƒ(1) = 2 n = 2; ƒ(2) = ƒ(1)+2=2+2= (1+1)2=2⋅2=4 n = 3; ƒ(3) = ƒ(2)+2=4+2= (2+1)2=2⋅3=6 n = 4; ƒ(4) = ƒ(3)+2=6+2= (3+1)2=2⋅4=8

Gráfica 12

(n-1) f(n-1)=2⋅(n-1) Hipótesis de inducción.

Entonces cuando llega a n ƒ(n)= ƒ(n-1)+2=2(n-1)+2=2n . Es la fórmula del término general para los números pares ƒ(n)=2n.

Una sucesión aritmética es la de distancias recorridas por un móvil cada segundo, bajo un movimiento uniformemente acelerado (es decir, bajo un movimiento que en cada segundo aumenta su aceleración).

Si la aceleración del móvil es a (en metros/segundos2). Si en el 1er. segundo el móvil recorre la distancia b (en metros). En el 2o. segundo el móvil recorrerá la distancia b + a. En el 3er. segundo el móvil recorrerá la distancia b +2a, etc. En el n-ésimo segundo el movil recorrerá la distancia b+2a, etc. En el n-ésimo segundo el movil recorrerá la distancia b+(n-1)a, etc.

89

Lo anterior significa que un móvil con un movimiento uniformemente acelerado formará

la siguiente sucesión de distancias recorridas: b= – – – (condición inicial) a= – – – diferencia constante

(18) b, b+a, b+2a,…, b+(n-1)a, …,

cuya diferencia es la aceleración a, siendo su condición inicial el recorrido inicial del móvil (Gráfica 26).

Gráfica 13

Dado que la definición la sucesión aritmética se define como:

(19)

ƒ(n) = ƒ(n-1) + d ƒ(1) = b,

no es difícil deducir la fórmula para el n-ésimo término general, ƒ(n) de la sucesión aritmética, a través de la variable n. En efecto, ƒ(n) es el resultado de sumar (n-1) veces d al termino inicial ƒ(n), es decir, ƒ(n), es decir, ƒ(n) = ƒ(1) + (n-1)d, o bien:

(20) ƒ(n) = b + (n-1)d Fórmula para el n-ésimo término de una sucesión aritmética.

Observa que en esta fórmula aparecen cuatro magnitudes: el valor del término general n-ésimo de la sucesión aritmética f(n); la condición inicial b ó f(1) (primer término de la sucesión, la diferencia de la sucesión) d, ( diferencia entre un término y el que antecede), y el valor del lugar que ocupa el término en la sucesión (n). Por lo tanto, cualquier problema en que sean conocidas tres de tales magnitudes podrá conocerse la cuarta.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elaborar lo siguiente:

  1. Halla los primeros ocho término de la sucesión aritmética, si ƒ(1)= -3yd = 4
  2. Encuentra la diferencia d de la sucesión aritmética, si ƒ(1) = 2y ƒ(8) = 23
  3. Halla el número n de la sucesión aritmética si ƒ(1) = 10 ƒ(n) = O y d = -2

Deja un comentario