2.1.4 SUMA PARCIAL DE UNA SUCESIÓN ARITMÉTICA


Por suma parcial n-ésima de una sucesión aritmética se entiende la suma de los primeros n términos de la sucesión; por ejemplo, si un cuerpo en movimiento recorre en el primer segundo cuerpo en movimiento recorre en el primer segundo seis metros y por cada uno de los siguientes segundo cuatro metros adicionales a los del segundo anterior, ¿cuántos metros recorrió en ocho segundos?.

Primero se escribe la sucesión de metros recorridos en cada segundo:

En el primer segundo el cuerpo recorrió 6 (metros); en el segundo, 6 + 4 = 10, en el tercero recorrió 4 adicionales a los ya recorridos en el segundo anterior: 10 + 4 = 14; en el cuarto, 14 + 4 = 18, en el quinto, 18 + 4 = 22; en el sexto, 22 + 4 = 26; en el séptimo, 26 + 4 = 34, esto es, en cada segundo el objeto recorrió: generado por ƒ(n) = ƒ(1) + (n-1)4

ƒ(n) = ƒ(n-1)+4 fórmula de recurrencia

(21) 6,10,14,18,22,26,30,34

¿Por qué en este caso la sucesión formada es aritmética?. Porque cada término de la sucesión se define por el anterior agregándole una constante d = 4, a partir de un elemento inicial de la sucesión, que es ƒ(1) = 6. Por consiguiente, ¿crees obtener el mismo resultado con la fórmula del término n-ésimo (20)?. Sí. Basta con sustituir en (20) : ƒ(1) = 6 y d = 4, luego (8) = 6 + (8-1)4 = 34, que es realmente el mismo resultado.

¿De qué otra manera se pueden sumar los ocho primeros términos de la sucesión (21)?. Mediante el método del niño Gauss, es decir, al denotar por S(8) la suma de los primeros ocho términos de la sucesión (21) (suma parcial hasta n = 8), tendremos:

S(8) = 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34.

Pero también escribiéndolo al revés:

S(8) = 34 + 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6.

Y si sumamos término a término las dos igualdades tendremos: 2 S(8) =40 + 40 + 40+ 40+ 40 + 40 + 40 + 40, donde: 840

X

S (8) = = 160 ∴S(8)=160.

2

El cuerpo en movimiento ha recorrido 160 metros después de transferir ocho segundos.

Observa que el método del niño Gauss es igual de fácil que sumar parcialmente muchos sumandos y hasta en forma simbólica. ¿Este método puede usarse para sumar los primeros miembros de cualquier sucesión aritmética? Sí, porque si denotamos por S(n) a la suma parcial n-ésima, o sea

S(n) = ƒ(1) + ƒ(2) +….+ƒ(n)

+

S(n) = ƒ(n)+ ƒ(n-1) + ….+ ƒ(1)

2S(n) = [ƒ(1)+ ƒ(n)] + [ƒ(2)+ ƒ(n-1)]+…+[ ƒ (n)+ ƒ(1)],

Sn = a1 + a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d +a1 + 4d + . . . a1 + (n-1)d Sn = an + an – d + an – 2d + an – 3d + an – 4d + . . . an – (n-1)d

2Sn = a1 + an + a1 + an + a1 + an + a1 + an + a1 +. . .an + a1 + an

2 Sn = (a1 + a1 + a1 +. . .) + (an + an + . . .) 2 Sn = n (a1 ) + n an 2 Sn = n (a1 + an )

n

∴ Sn = (a1 + an) pero an = a1 + (n-1)d

2 n

Sn = [a1 + a1 + (n-1)d]

2

Luego entonces: n [f(1) + f(n)]

(22) S(n) = .

2 ¿Cuál es la fórmula de S(n) a través de ƒ(1)n y d? si se tiene la fórmula que expresa ƒ(n) a través de n dada por (20). Basta con sustituir (20) en (22), o sea: nf1 + f( ) + ( − 1d

[() 1 n)] (23) S(n) =

2 nf + f( ) + ( −1d

[() 1n

21 )]

S(n) = Fórmula para obtener la suma parcial del n-ésimo término

2 de una sucesión aritmética.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Realiza lo siguiente:

  1. Encuentra la suma de los primeros 200 números impares positivo.
  2. Demuestra la siguiente propiedad de las sucesiones aritméticas: Todo término de la sucesión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de sus vecinos. Recuerda que por media aritmética de los números a y b se entiende su

+

promedio aritmético, es decir, aby que ƒ(k) tiene por vecinos a ƒ(k-1) y ƒ(k+1).

2

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