2.1.6 SUMA PARCIAL DE UNA SUCESIÓN GEOMÉTRICA


Leonardo Fibonacci en su libro Liber Abaci editado en 1202 menciona el siguiente problema: Siete viejitas se dirigen a Roma. Cada una con siete mulas, cada mula lleva a cuesta siete costales, en cada costal siete grandes panes de pueblo, en cada pan hay siete navajas y cada navaja está en siete fundas. ¿Cuántas personas, animales y objetos hay en total?.

Denotemos por S(6) la suma de todas las personas, animales y objetos. ¿A qué es igual s (6)?:

S ( 6 ) = 7(viejitas )

+77 )

•(mulas

+777 )

•• (cos tales

+7777 )

••• ( panes

+77777 )

•••• ( navajas

+777 777 • ( fundas

•••• )

23456

S ( 6 ) = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7

Para realizar la suma se puede elevar a las potencias correspondientes de 7 y sumarlos

o una manera más sencilla es multiplicar S ( 6 ) por 7 :

234567

76 = 7+ 7+ 7+ 7+ 7+ 7,

S()

y restarle la igualdad anterior, ya que así se simplifican casi todas las potencias:

234567 23456 7

76 − S 6= 7+ 7+ 7+ 7+ 7+ 7− ( ++ 7+ 7+ 7+ 7)= 7

S()() 77 − 7 S()( 67 1 )= 77− 7

− (77− 7)

S()6=

6 6= 137256

S()

La sencillez de este procedimiento radica en que puede generalizarse. En efecto, si se tiene una sucesión geométrica:

ƒ(1), ƒ(1)q, ƒ(1)q2 , . . . , ƒ(1)qn-1 y deseamos calcular su suma parcial n-ésima:

n

(28) S(n) = ƒ(1)+ ƒ(1)q+ƒ(1)q2 +. . .+ ƒ(1)q

¿Podrías obtener la fórmula general simplificada como en el ejemplo anterior? Se trata tan sólo de seguir el esquema anterior, a saber:

2n−1

Sn = f() + f()q + f() q … f() q

() 11 1 ++ 1 23 n

qSn ( ) = f()1q + f()1q + f( ) 1q +… +f()1q

nSn − qSn ( ) = f() − f1

() 1()q

n⎤

Sn 1− q = f() 11 q

()( )

⎣ ⎦

n

f()[− q ]11

(29) Sn() = . donde q ≠ 1

1− q

Observa que teniendo esta fórmula simplificada de la suma parcial n-ésima de una sucesión geométrica es natural plantearse qué pasa con S (n) cuando n es tan grande como se quiera o como usualmente se dice, cuando n tiende a +∞ , lo cual se denota por el símbolo: lim S n→∞(n) que tiene un sentido muy preciso en matemáticas, pero en este fascículo le daremos el significado intuitivo de tender a…, o acercarse a …

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Resuelva lo siguiente: Considera un cuadrado de lado 1. 1 1

1 . 1 = 1

Posteriormente divide otro cuadrado de la misma dimensión con una línea horizontal en dos partes iguales, y los coloca junto al cuadro anterior.

1/2

1

La mitad inferior del segundo cuadrado forma un rectángulo de 1 por y la mitad

2

superior se traslada hacia la derecha de los bloques.

Se sigue el procedimiento con la mitad superior, para que con esta última parte divide

1

de nuevo con una recta horizontal el rectángulo de ocho en dos partes iguales y de

2

nuevo su parte superior trasládala a lo largo del rectángulo inferior.

Continuando indefinidamente con este procedimiento se obtiene una figura en forma de escalera.

101

-¿Se forma una sucesión geométrica con el área de cada uno de los escalones? ¿Por que?. -¿A qué es igual la suma S ( n ) de la áreas de los n primeros escalones? -¿Puedes decir a qué se “acerca” S ( n ) para n “muy grande”?.

-Halla la suma de la sucesión infinita:

11 121 1331 14641

1,,, , ,…

10 100 1000 10000

EXPLICACIÓN INTEGRADORA

Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones como son las siguientes:

Recuerda que una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Si a cada número natural “n” le podemos asociar un único número real, que denotaremos por f( n ), se dice que la sucesión es numérica.

N → IR; f(n) = y

Una sucesión f ( 1 ), f ( 2 ),…, f ( n ) … es creciente si cumple con f (n ), para toda “n” natural 1.

Generalmente para las sucesiones dadas en forma recurrente se plantea una fórmula que permite expresar el término general n-ésimo de la sucesión a través de las anteriores términos de la misma. A estas fórmulas se les llama relaciones de recurrencia.

Una sucesión aritmética se define por la fórmula de recurrencia:

f(n) = f(n-1) + d ∴ d =f (n) – f(n-1)

 

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