1.6.3.1 El Discriminante de Una Ecuación Cuadrática
Una ecuación cuadrática puede no tener soluciones reales. La interpretación gráfica de las soluciones de este tipo de ecuaciones es útil para entender esta solución.
Grafiquemos las siguientes funciones:
22 2
() = fx () =a) fx x + 2x − 15 b) () = x + 2x + 15 c) fx 4x + 4x +1
1 23
b 4ac -b 2 ⎞ 2 -60 -4 ⎞
a = 1 b = 2 c = -15 V⎜− , ⎟= , ⎟= (-1, -16 )
2a 4a 21 4⎠
⎝⎝()
a) fx()= x2+ 2x− 15
1
x | (6)2+2(-6)-15 | y |
---|---|---|
-6 | 9 | |
-5 | 0 | |
-4 | -7 | |
-3 | -12 | |
-2 | -15 | |
-1 | -16 | |
0 | -15 | |
1 | -12 | |
2 | -7 | |
3 | 0 | |
4 | 9 |
Tabla 11
2
b) fx x + 2x
() =+ 1
x | y |
---|---|
-3 | 18 |
-2 | 15 |
-1 | 14 |
0 | 15 |
1 | 18 |
2 | 23 |
Tabla 12
Gráfica 16
x | 4 4 12x x+ + | y |
---|---|---|
-2 | 4(-2)1+4(-2)+1 | 9 |
-3/2 | 4(-2)1+4(-2)+1 | 4 |
-1 | 4(-2)1+4(-2)+1 | 1 |
-1/2 | 4(-2)1+4(-2)+1 | 0 |
0 | 4(-2)1+4(-2)+1 | 1 |
1/2 | 4(-2)1+4(-2)+1 | 4 |
1 | 4(-2)1+4(-2)+1 | 9 |
Tabla 13
Gráfica 17
22 2
La solución de las ecuaciones x + 2x− 15 = 0, x − 2x+ 15 =0 y 4x + 4x+ 1= 0 son las abscisas de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones de lo incisos a, b y c, respectivamente, con el eje x.
Basándote sólo en la lectura de la gráfica determina cuántas y cuáles son las soluciones de cada una de las ecuaciones de los incisos a, b y c.
En la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas interviene el radicando b2 -4ac .
61
2
Si b − 4ac es un número negativo, entonces no tiene raíces cuadradas reales; si
22
b − 4ac es positivo, entonces tiene dos raíces cuadradas, y si b − 4ac es cero, entonces tiene una raíz cuadrada real.
De esta manera, la solución de una ecuación cuadrática depende del valor de la expresión b2-4ac, la cual recibe el nombre de discriminante. Si se calcula el discriminante de una ecuación antes de intentar resolverla puede evitarse un trabajo infructuoso.
Calcula el discriminante de las ecuaciones de los incisos a, b y c y úsalo para determinar el tipo de soluciones que tienen éstas. Compara tus conclusiones con las soluciones gráficas que previamente obtuviste.