1.1 PROBLEMAS QUE CONDUCEN A FUNCIONES POLINOMIALESCUADRÁTICAS

¿Recuerdas cómo se obtiene el área de un rectángulo?. El área de un rectángulo cualquiera se obtiene multiplicando su base por la altura correspondiente.

Representaremos con “y” el área y con “x” la base del rectángulo. Si el perímetro del rectángulo es igual a 56 metros, ¿cuánto suman la base y la altura?. La suma de la base y la altura del rectángulo es igual a 28 metros (la mitad del perímetro). De este modo una expresión para la altura es:

P = 2x+2y

y

56 = 2(x+y) x y= 28-x

∴ y = 28-x

Así tenemos que el área del rectángulo es: Base por la altura

A = x(28-x) y = x(28-x),

o bien,

desarrollando el producto obtenemos el modelo algebraico y = -x² + 28x.

a) Modelo algebraico f(x) = -x² + 28x

Esta igualdad es un modelo algebraico para el área del rectángulo que estamosconsiderando. Representa, en el lenguaje del Álgebra, la relación entre todas las medidas de la base y el área correspondiente.

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b) Modelo polinomial

Un polinomio en x es de la forma ao xⁿ + a1 x^n-1 + a2x^n-1 + ….+an-1 x +an . El modelo que

se obtiene es un modelo polinomial porque el segundo miembro de la igualdad,

y =-x² +28x es un polinomio en x.

c) Modelo cuadrático

El modelo y =-x² +28x es un modelo polinomial cuadrático o de segundo grado

porque el grado del polinomio -+x² 28x es 2, esto es el maximo exponente con el que aparece la variable x es 2, en el término x² . La función cuadrática puede ser completa f(x) = ax²+bx+c ó incompleta cuendo le falta algun termino menos el cuadrático.

En este modelo intervienen dos variables: x, y. El valor de y depende del valor de x; por tal razón decimos que y es la variable dependiente, x la variable independiente, de acuerdo con la definición de función.

Lo anterior significa que el área del terreno de nuestro problema depende de la longitud de su base.

Por ejemplo, si la base del terreno fuera de 10m, el área sería:

y=-(10²)+2810 ( )

y=-100+ 280

y=180 m ²

Calcula el valor del área para una base de 12 m.

Una vez establecido el modelo algebraico emplearemos diversos métodos para buscar la solución del problema ó sea encontrar el área maxima.