Cuando no es posible resolver una ecuación cuadrática completa por factorización puede emplearse el método de completar un trinomio cuadrado perfecto. A continuación resolveremos en forme simultánea las ecuaciones 5x²–2 y ² bx+ 0

6x=0ax+ c=

por el método de “completar cuadrados”. 5x² −6x −2 =0 ax² +bx +c =0 5x² −6x =2 ax² +bx=− c

62 b −c

x² − x = x² + x =

55 aa 263223 2b b2 −c b2

x−+() =+() ² x + x +() =+()

5555 a2a a2a 3229 b2 −c b²

(x − ) =+ (x + ) =+

5 525 2a a 4a²

3219 b2b² −4ac

(x − ) = (x + ) =

2

5 25 2a 4a

19 2

Como > 0 si b −4ac ≥0

25

2

319 bb −4ac

x − =± x + =±

5 25 2a 4a²

319 ²

′

bb −4ac

x =+ x ^′=− +

55 2a2a

3 + 19 _{′ −+} ² _4ac

′

bb −x = x =

5 2a

2

3 19 b b -4ac

x =− x+ =

55 2a 2a

2

−b b 4ac

donde: 2a 2a

x =−

Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto.

2

a) x −16x +63 =0

2

b) x −2x −15 =0

2

La resolución de la ecuación ax +bx c

+= 0 , por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto da origen al siguiente…

2

2

ax² + bx + c = 0

a) x + 2x − 15 =0 b) 4x − 2x − 12 = 0

x =0 b) x² +7x+12 =0

En este apartado estudiarás los métodos posibles para resolver las Ecuaciones Cuadráticas Completas, como son: Método por Factorización, Método de completar un Trinomio Cuadrado Perfecto, Fórmula General para resolver Ecuaciones Cuadráticas, Solución Gráfica de Ecuaciones Cuadráticas y Ajuste de Curvas.

En el proceso de resolución de un problema que conduce a una función cuadrática podemos encontrarnos con ecuaciones cuadráticas.

Por ejemplo:

Si en el problema del inicio de capítulo que habla sobre el Gimnasio Zeus, se desea saber ¿para qué descuento en la cuota se obtiene el mismo ingreso que cuando no se rebaja ésta?, puede realizarse el procedimiento que sigue.

Cuando la cuota no disminuye, se obtiene un ingreso de 9 000 dólares; así que en

2

y=-5x +150x+9000 hacemos y= 9 000, con lo que obtenemos la ecuación cuadrática con una incógnita:

9000 =−5x +150x +9000 Resolvamos esta ecuación: Sumando -9 000 a ambos miembros de la ecuación obtenemos:

0 =−5x +150x

54

Por la propiedad simétrica de la igualdad: −5x² +150x =0 Factorizando el primer miembro de la ecuación (caso del factor común) obtenemos: 5x(-x+30)= 0 Reflexiona: ¿Para qué valores de los factores “a” y “b” es verdadera la igualdad a (b) = 0?. Para que el producto de 5x y-x+30 sea igual a cero, es necesario que 5x=0 ó -x+30=0. Resuelve la ecuación 5x=0 y obtendrás x=0 y al resolver la ecuación -x+30=0, encontrarás x=30; entonces, la ecuación tiene dos soluciones: x1=0 y x2=30. ¿Cómo interpretas este resultado en el problema que estamos estudiando?. Para un descuento de 30 dólares se obtiene el mismo ingreso que si no se hace

descuento alguno. Analicemos el procedimiento que se usó para resolver la ecuación -5+x² 150x=0. La ecuación anterior tiene la forma ax² +bx=0. Las ecuaciones de este tipo se

resuelven, como en el caso de la ecuación del problema, factorizando a su primer miembro:

xax ( +b)=0

La igualdad anterior implica que: x= 0 ó ax+b=0 b

Si ax+b = 0, entonces x =− .

a Si x= 0, entonces tenemos otra solución de la ecuación; ésta es precisamente x= 0. Resumiendo:

Cualquier ecuación cuadrática de la forma ax²+bx=0 tiene dos soluciones: b

x1 = 0 y x2= -.

a

No se recomienda memorizar las fórmulas anteriores es más conveniente seguir el proceso que emplea la factorización.

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas:

a) 9x² −72x =0 b) 5x² =65x

Para reafirmar lo aprendido de este tema de “Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax²+bx=0. − Recuerda: − Para la ecuación que tiene la fórmula ax² +bx =0, se resuelve mediante el procedimiento por la factorización de factor común. − Cualquier ecuación cuadrática de la forma ax² +bx=0, tiene dos soluciones: b

x1 = 0 y x₂ =− .

a

Nota: No se recomienda que memorices las fórmulas que aparecen en este tema, es más conveniente seguir el proceso de factorización.