Ejemplo

Desde un minisubmarino en la superficie del mar se dispara un proyectil dirigido a un barco cuyo punto más cercano se encuentra a 13 m de distancia del punto de partida del proyectil, el cual está al ras del agua y la trayectoria que sigue el proyectil en el aire está dada por la función:

y =−x² +12x −20

1. ¿El proyectil alcanza al barco?.
2. Si no es así, ¿a qué distancia del punto de lanzamiento el proyectil entra al agua?.

Para resolver este problema emplearemos los conocimientos adquiridos en este fascículo.

-¿Cuál es el modelo matemático para la trayectoria del proyectil?.

El modelo matemático para la trayectoria que sigue el proyectil está dado en el problema:

y =−x² +12x −20

La igualdad anterior determina la altura “y” a la que el proyectil está sobre la superficie del agua, cuando su distancia al eje de las ordenadas (Y) es x; por ejemplo, cuando el proyectil se encuentra a una distancia horizontal de 5 m, su altura es de:

y =−()² + () −20

5 125 y =−25 +60 −20 y =15m

Examinado el modelo dado en el enunciado del problema podemos obtener mucha información acerca de la trayectoria del proyectil.

2

− ¿Qué clase de función determina la igualdad y =−x +12x −20 ?

− ¿Al graficarla qué figura se obtiene?.

2

− La igualdad y =−x +12x −20 determina una función cuadrática, ya que tiene la

2

forma ya=x bxc . La gráfica de esta función, como la de toda función

++

cuadrática, es una parábola con eje de simetría vertical.

¿Cómo es la concavidad de la parábola?.

46

Para analizar problemas que surgen en situaciones como ésta, podemos sustituir el escenario real de los hechos por un bosquejo sobre su papel.

B) Traza un bosquejo en donde aparezcan las posiciones relativas del submarino, el barco y la trayectoria del proyectil.

y

x

submarino barco

Gráfica 14. Bosquejo de la situación que describe el problema.

Observa el bosquejo, ¿cuál es la altura del proyectil en el momento en que hace contacto con el agua?; en otras palabras, ¿cuánto vale y cuándo toca el agua el proyectil?.

En el momento en que el proyectil toca el agua y = 0.

La intersección de la gráfica de una función con el eje X es el conjunto de los puntos de la gráfica en donde y = 0.

-¿A qué distancia se encuentra el proyectil del origen del plano cartesiano al hacer contacto con el agua?.

La respuesta a la pregunta anterior está dada por el valor de “x” cuando “y” es igual a 0 en la igualdad:

2

y =−x +12x −20

Si hacemos Y = 0 en la igualdad anterior, obtenemos la ecuación de segundo grado con una incógnita:

0 =−x² +12 x −20

Por la propiedad de simetría de la igualdad:

2

−x +12x −20 =0

Ésta es una ecuación de la forma ax²+bx+c=0, donde a=-1. ¿Cuánto valen los coeficientes b y c?. 47

Como todos los coeficientes son diferentes de cero, se dice que la ecuación es completa, de manera que para resolverla podemos emplear diferentes métodos.

Resolución por factorización

En el curso de Matemáticas I estudiaste varios casos de factorización de expresiones algebraicas; aplica esos conocimientos para factorizar el trinomio − x² +12x −20 .

El primer miembro de la ecuación:

2

− x+ 12x − 20 =0

es el trinomio:

2

−x + 12x − 20 . Factoricémoslo:

−x² + 12x − 20 =− 1 (x² − 12 x + 20 ) −x² + 12x − 20 =− 1 (x − 2)( x − 10)

Sustituyendo este resultado en la ecuación (1) obtenemos:

− 1 (x − 2)( x − 10 ) = 0

Multiplicando por -1 los dos miembros de la ecuación se obtiene:

(x-2) (x-10) = 0 En secciones anteriores llegamos a la conclusión de que si el producto de dos números reales cualesquiera, a y b, es igual a cero, entonces a, o bien b, tiene que ser cero. Aplicando esta propiedad a (x-2) (x-10) = 0, se deduce que:

x-2 = 0, o bien, x-10 = 0. Si x-2 = 0, entonces x=2; y si x-10 = 0, entonces x = 10.

2

La ecuación − x+ 12x−20 queda resuelta y tiene dos soluciones o raíces: x=2 y x= 10.

Elabora lo siguiente:

2

A) Comprueba sustituyendo en −x+12x −20 =0 primero a x por dos y después por 10, pues ambos valores son soluciones o raíces de la ecuación.

− ¿Qué significado tienen las dos soluciones de la ecuación para el problema del submarino?.

El proyectil partió del punto (2,0) y entró en el agua en el punto (10,0).

− ¿Cuál es la distancia entre el punto de partida del proyectil y el punto donde éste entra al agua?. ¿El proyectil alcanza o no al barco?. ¿Por qué?.

Ceros de una función

Para resolver problemas que, como el anterior, conducen a funciones cuadráticas, es decir, a funciones cuya regla de correspondencia es la forma fx ()= ax² +bx+c, con frecuencia es necesario encontrar el valor de x (la abscisa) de los puntos donde la

gráfica de la función corta al eje x. Estos valores de x se llaman ceros o raices de la

2

función y son soluciones de la ecuación ax +bx +c =0 , por que en esos puntos f(x) = 0.

En el problema que acabamos de resolver ¿cuáles son los ceros de la función f(x)=-x²+12x-20 -x+12x-20=0

Intersección con el eje Y

La intersección de la gráfica de una función con el eje Y es el conjunto de los puntos de la gráfica en donde x= 0.

2

B) Encuentra la intersección de la gráfica de fx x +12x() =− −20 con eje Y. Traza la gráfica f, señalando los puntos de intersección con los ejes coordenados.

Durante el desarrollo de este fascículo ha sido necesario resolver varias ecuaciones cuadráticas con una incógnita, y se ha tenido que consultar otros temas y/o conceptos de otras áreas ya que a veces la magnitud o grado de dificultad que presentan los problemas así lo requieren, para esto se ha apoyado en modelos “listos para usarse o estandarizados”.

− La fórmula que relaciona al desplazamiento y el tiempo en el movimiento rectilíneo uniforme acelerado:

S = desplazamiento Vo = velocidad inicial a = aceleración

1

t = tiempo =+ at²

SVot 2

− Recuerda:

2

Si un número real “t” es tal que t =x (x real no negativo), entonces t es una raíz

cuadrada de x. Si t es positivo o cero, entonces es la raíz cuadrada principal de “x” y

se denota con t = x ; si t es negativo, entonces es la raíz cuadrada negativa de x y

se denota con T

− A las funciones se les asigna alguna letra para identificarlas y por lo general se usan las letras, f, g y h, en ciertas ocasiones con subíndices.

− El primer conjunto (D) se llama dominio o conjunto de definición. Se dice que el segundo conjunto (Y) es el rango o la imagen de la función.

− Si f es una función, al elemento y de su rango, que corresponde a un elemento x de su dominio, se le llama imagen de x bajo la función f en x y se denota con y= f(x).

En las funciones numéricas de una variable real, en donde tanto el dominio como el codominio son conjuntos de números reales, únicamente suele indicarse la regla de correspondencia. En tal caso el dominio se considera como el conjunto de todos los números reales para los cuales exista una imagen según la regla dador.

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− Las funciones cuya regla de correspondencia es una igualdad de la forma fx ax +bx+c, donde a, b y c son números reales, = 0 son llamadas

()= ² a /

funciones polinomiales cuadráticas o simplemente funciones cuadráticas.

− Recuerda que las gráficas de todas las funciones cuadráticas son parabólicas, el eje de simetría de las parábolas involucradas en las gráficas de las funciones cuadráticas es paralelo al eje Y.

2 2

− Recuerda que el signo del coeficiente de x en la función yax = +bx +c determina la concavidad de su gráfica. Si a es positivo, la concavidad es hacia arriba, y si a es negativo, entonces la parábola es cóncava hacia abajo.