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Matemáticas 2 – Segundo Semestre

CAPÍTULO 1. FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA Y SU RELACIÓN CON LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS

1.1 PROBLEMAS QUE CONDUCEN A FUNCIONES POLINOMIALESCUADRÁTICAS

1.1.1 MODELO POLINOMIAL CUADRÁTICO
1.1.1.1 Construcción del Modelo Algebraico

¿Recuerdas cómo se obtiene el área de un rectángulo?. El área de un rectángulo cualquiera se obtiene multiplicando su base por la altura correspondiente.

Representaremos con “y” el área y con “x” la base del rectángulo. Si el perímetro del rectángulo es igual a 56 metros, ¿cuánto suman la base y la altura?. La suma de la base y la altura del rectángulo es igual a 28 metros (la mitad del perímetro). De este modo una expresión para la altura es:

P = 2x+2y

y

56 = 2(x+y) x y= 28-x

∴ y = 28-x

Así tenemos que el área del rectángulo es: Base por la altura

A = x(28-x) y = x(28-x),

o bien,

desarrollando el producto obtenemos el modelo algebraico y = -x2 + 28x.

a) Modelo algebraico f(x) = -x2 + 28x

Esta igualdad es un modelo algebraico para el área del rectángulo que estamosconsiderando. Representa, en el lenguaje del Álgebra, la relación entre todas las medidas de la base y el área correspondiente.

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b) Modelo polinomial

Un polinomio en x es de la forma ao xn + a1 xn-1 + a2xn-1 + ….+an-1 x +an . El modelo que

se obtiene es un modelo polinomial porque el segundo miembro de la igualdad,

y =-x2 +28x es un polinomio en x.

c) Modelo cuadrático

El modelo y =-x2 +28x es un modelo polinomial cuadrático o de segundo grado

porque el grado del polinomio -+x2 28x es 2, esto es el maximo exponente con el que aparece la variable x es 2, en el término x2 . La función cuadrática puede ser completa f(x) = ax2+bx+c ó incompleta cuendo le falta algun termino menos el cuadrático.

En este modelo intervienen dos variables: x, y. El valor de y depende del valor de x; por tal razón decimos que y es la variable dependiente, x la variable independiente, de acuerdo con la definición de función.

Lo anterior significa que el área del terreno de nuestro problema depende de la longitud de su base.

Por ejemplo, si la base del terreno fuera de 10m, el área sería:

y=-(102)+2810 ( )

y=-100+ 280

y=180 m 2

Calcula el valor del área para una base de 12 m.

Una vez establecido el modelo algebraico emplearemos diversos métodos para buscar la solución del problema ó sea encontrar el área maxima.

1.6.3.1 El Discriminante de Una Ecuación Cuadrática

Una ecuación cuadrática puede no tener soluciones reales. La interpretación gráfica de las soluciones de este tipo de ecuaciones es útil para entender esta solución.

Grafiquemos las siguientes funciones:

22 2

() = fx () =a) fx x + 2x − 15 b) () = x + 2x + 15 c) fx 4x + 4x +1

1 23

 b 4ac -b 2 ⎞ 2 -60 -4 ⎞

a = 1 b = 2 c = -15 V⎜− , ⎟= , ⎟= (-1, -16 )

2a 4a  21 4⎠

⎝⎝()

a) fx()= x2+ 2x− 15

1

x (6)2+2(-6)-15 y
-69
-50
-4-7
-3-12
-2-15
-1-16
0-15
1-12
2-7
30
49

Tabla 11

2

b) fx x + 2x

() =+ 1

x y
-318
-215
-114
015
118
223

Tabla 12

Gráfica 16

 

 

 

 

 

 

x 4 4 12x x+ + y
-2 4(-2)1+4(-2)+1 9
-3/2 4(-2)1+4(-2)+1 4
-1 4(-2)1+4(-2)+1 1
-1/2 4(-2)1+4(-2)+1 0
0 4(-2)1+4(-2)+1 1
1/2 4(-2)1+4(-2)+1 4
1 4(-2)1+4(-2)+1 9

Tabla 13

 

 

 

 

 

 

Gráfica 17

22 2

La solución de las ecuaciones x + 2x− 15 = 0, x − 2x+ 15 =0 y 4x + 4x+ 1= 0 son las abscisas de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones de lo incisos a, b y c, respectivamente, con el eje x.

Basándote sólo en la lectura de la gráfica determina cuántas y cuáles son las soluciones de cada una de las ecuaciones de los incisos a, b y c.

En la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas interviene el radicando b2 -4ac .

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2

Si b − 4ac es un número negativo, entonces no tiene raíces cuadradas reales; si

22

b − 4ac es positivo, entonces tiene dos raíces cuadradas, y si b − 4ac es cero, entonces tiene una raíz cuadrada real.

De esta manera, la solución de una ecuación cuadrática depende del valor de la expresión b2-4ac, la cual recibe el nombre de discriminante. Si se calcula el discriminante de una ecuación antes de intentar resolverla puede evitarse un trabajo infructuoso.

Calcula el discriminante de las ecuaciones de los incisos a, b y c y úsalo para determinar el tipo de soluciones que tienen éstas. Compara tus conclusiones con las soluciones gráficas que previamente obtuviste.

RECAPITULACIÓN GENERAL

En este apartado encontrarás una síntesis de ambos capítulos para que puedas recordar lo más importante:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Los cuales tienen en común obtener al valor máximo de los modelos

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2.1 SUCESIONES

Antes de iniciar con el tema de “Sucesiones Numéricas” te recomendamos que realices los siguientes ejercicios, ya que te servirán como recordatorio de algunos conocimientos ya antes vistos.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elabora lo siguiente:

1. Si del modelo que señala la vida media de un material que la velocidad de desintegración de la sustancia radioactiva radio (Ra) es proporcional a la cantidad que aún queda sin desintegrarse se obtiene la ley de desintegración del radio, que es la siguiente:

(A) R(t) = Ro e -0.00043t

donde:

R(t) = Cantidad de radio que queda al tiempo t Ro = Cantidad inicial de radio, es decir, R(o) e = 2.718… constante de la función de crecimiento (base del logaritmo natural)

a) Gráfica la Ley de desintegración (A) del radio si se considera que el dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales R, es decir, (A) es una función con dominio continuo en todo R.

b) Gráfica la Ley de desintegración (A) del redio si se considera que el dominio de la función exponencial es el conjunto de los números enteros positivos, o sea, (A) es una función con dominio discreto, pero infinito.

c) Gráfica la Ley de desintegración (A) del radio si se considera que el dominio de la función exponencial es el conjunto finito {0,1,2,…., 1600}* (en años), es decir, (A) es una función con dominio discreto, pero finito.

d) En las tres variantes anteriores determina el porcentaje de radio desintegrado en 100 años.

Nota: La solución de estos ejercicios y del resto de las actividades que aparecerán a lo largo del contenido, las encontrarás al final del capítulo como un apartado de anexo de resultados de dichas actividades.

* Se tomó 1600 porque es el tiempo de vida del radio, esto es, el lapso durante la cantidad de sustancia radioactiva se convierte en la mitad de la original.