En diversos campos de la actividad humana como el comercio, la industria, la investigación en ciencias naturales y sociales, la tecnología, etc, se presentan problemas tales como implementar los ingresos en un negocio, acertar en el blanco al lanzar proyectiles, calcular la distancia que recorre un cuerpo que se desplaza con movimiento uniformemente acelerado y concentrar la luz del sol para aprovechar su energía. Para resolver estos problemas, entre muchos otros, tenemos que analizar sus características en un lenguaje de nociones y ecuaciones matemáticas, es decir, construir el modelo matemático correspondiente para estudiarlos como problemas matemáticos.

Por ejemplo, en el gimnasio Zeus hay 150 socios que pagan una cuota mensual de 60 dólares (utilizaremos dólares para simplificar los cálculos). El dueño del gimnasio desea incrementar sus ingresos, por lo que ordena un estudio de mercadotecnia, en el cual recomienda reducir la cuota, ya que por cada dólar que ésta disminuya, se inscribirán cinco nuevos socios. ¿En cuántos dólares debe reducirse la tarifa para obtener la máxima ganancia mensual?.

La búsqueda de la solución de este problema lo iniciamos con una tabla donde se muestre la variación que sufre el ingreso al reducir la cuota. Según el estudio de mercadotecnia, en la medida en que se reduzca la cuota aumentará el número de socios; sin embargo, ¿reportará más ganancias el hecho de que se inscriban más socios pagando una cuota menor?.

En la tabla siguiente se presentan los ingresos correspondientes a varias reducciones en la cuota; en ella x representa el número de dólares que la cuota disminuye.

Tabla 1

Observa la tabla 1 y contesta: ¿Siempre que se reduce la cuota, aumenta el ingreso?. ¿Para qué valor de la reducción es el ingreso máximo?.

Otra opción para solucionar este problema es elaborar un modelo algebraico que describa las relaciones entre las reducciones a la cuota y el ingreso, y después aplicarle los métodos propios de las Matemáticas.

Representaremos con x el número de dólares que disminuye la cuota y con y el ingreso. El número de socios cuando la cuota se reduce x dólares es 150 + 5x y la cuota, 60-x dólares. El ingreso se obtiene al multiplicar el número de socios por la cuota. Por lo tanto:

y = (150+5x) (60-x)

Simplificando, al efectuar el producto se obtiene:

2

y =−5x +150x +9000

La igualdad anterior es el modelo algebraico que representa de manera simbólica la relación entre todos los posibles descuentos a la cuota y al ingreso correspondiente. Se dice que este modelo es cuadrático porque el mayor exponente que tiene la variable independiente “x” es, operando con el modelo que se encuentra la solución al problema matemático para, finalmente se transfirieran los resultados a la “situación real”.

En el desarrollo de este capítulo se emplearán diferentes recursos para resolver problemas en los que, como en el anterior, intervienen modelos cuadráticos.

Cuando no es posible resolver una ecuación cuadrática completa por factorización puede emplearse el método de completar un trinomio cuadrado perfecto. A continuación resolveremos en forme simultánea las ecuaciones 5x²–2 y ² bx+ 0

6x=0ax+ c=

por el método de “completar cuadrados”. 5x² −6x −2 =0 ax² +bx +c =0 5x² −6x =2 ax² +bx=− c

62 b −c

x² − x = x² + x =

55 aa 263223 2b b2 −c b2

x−+() =+() ² x + x +() =+()

5555 a2a a2a 3229 b2 −c b²

(x − ) =+ (x + ) =+

5 525 2a a 4a²

3219 b2b² −4ac

(x − ) = (x + ) =

2

5 25 2a 4a

19 2

Como > 0 si b −4ac ≥0

25

2

319 bb −4ac

x − =± x + =±

5 25 2a 4a²

319 ²

′

bb −4ac

x =+ x ^′=− +

55 2a2a

3 + 19 _{′ −+} ² _4ac

′

bb −x = x =

5 2a

2

3 19 b b -4ac

x =− x+ =

55 2a 2a

2

−b b 4ac

donde: 2a 2a

x =−

Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto.

2

a) x −16x +63 =0

2

b) x −2x −15 =0

2

La resolución de la ecuación ax +bx c

+= 0 , por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto da origen al siguiente…

Verifica los conocimientos que has alcanzado realizando las siguientes actividades; si tienes alguna duda acude con tu asesor de matemáticas para que te pueda ayudar y orientar.

1. Para calcular la rapidez con que se llena una piscina se emplea una función como:

fx =x³+42x²+216 x

()

Bosqueja su gráfica, encuentra su dominio y rango.

2. Para determinar la dosis de un medicamento que se debe suministrar a los pacientes con tos, se estudia cómo varía la velocidad del aire que circula por la tráquea como función de contracción del radio de ésta, ya que con la tos se contrae y dificulta la respiración.

La función velocidad v del radio r de la tráquea tiene la forma:

Vr()=−02. r³+04 .

Traza puntos en el plano cartesiano que delineen la función y describe su dominio y su rango.

3. Para calcular la producción máxima diaria de una mina de cobre se emplea una función del tiempo de operación:

Pt=54t . ³

() -009 t

Bosqueja su gráfica, y encuentra su dominio y rango.

4. En la Física moderna, el estudio de la cantidad de movimiento de una partícula de polvo se realiza mediante la función:

40

_π ³

Pr = r

()

3

Encuentra el dominio y el rango que corresponden a partículas reales y bosqueja la función.

A través del concepto de sucesión y sus fórmula te introducirás al mundo de las iteraciones parte sustancial de la llamada Teoría del Caos, base de una nueva forma dever las ciencias. Ésta, de manera general, retoma los conocimientos que sobre funciones has estudiado hasta el momento.

Para este Capítulo:

¿ Qué aprenderás ?

Que las sucesiones son un caso particular de las funciones discretas. Conocerás el tipo de proceso de las iteraciones y cuál es su utilidad de las funciones recursivas simples como modelos de procesos dinámicos.

¿ Cómo lo aprenderás

Para llegar al estudio de estos conocimientos sobre Recurrencia y Sucesiones, te recomendamos que revises los conceptos y funciones del capítulo anterior. Además contarás con el apoyo de ejemplos y ejercicios, donde sólo se manejarán números naturales para contrastar las funciones continuas y discretas, incluyendo casos de iteraciones tanto en las gráficas numéricas y algebraicas.

¿ Para qué lo aprenderás ?

Con el logro de estos conocimientos estarás en condiciones de ampliar y consolidar tu aprendizaje con respecto al conocimiento de los procesos dinámicos (iteraciones, recursión) y a las ideas básicas de la teoría del caos, incluyendo el lenguaje básico de funciones recursivas, útiles en la investigación matemática y aplicable en la ayuda de problemas y fenómenos reales, tanto en la vida diaria como en las diversas disciplinas.