2

2

ax² + bx + c = 0

a) x + 2x − 15 =0 b) 4x − 2x − 12 = 0

x =0 b) x² +7x+12 =0

En el siguiente cuadro encontrarás una síntesis de los temas que acabas de estudiar:

Lineal

Depreciación de

f(x) = ax + b

costos, diseño de dietas (para disminución de peso), cálculo de interés simple, etc.

Cuadrática

Diseño de antenas de

fx ax²+bx+c

()=

radar, trayectoria de proyectiles, antenas parabólicas, espejos para telescopios, túneles, puentes de suspensión; cálculo de áreas máximas, etc.

Cúbica

Cálculo de volúmenes,

fx ax³+bx²+cx

()= +d

crecimiento o decremento de población , etc.

Estas funciones no tienen una

Polinomial

Cálculo de momentos de flexión de vigas,

gráfica definida como las anteriores.

diseño de estructuras,

n−1

() ^{n x}.axa fx= anx + an− 1 +.₁ +

etc.

En el estudio de funciones es importante determinar el dominio y el rango, realizar una tabulación, obtener los puntos que sirven de referencia para esbozar la gráfica, los intervalos de concavidad, los puntos donde la curva corta al eje x y los puntos donde la curva tiene un máximo o un mínimo, o ambas cosas.

La llamada Teoría del caos constituye una creación sorpresiva, inesperada, espectacular y marginal de la ciencia actual. Se desarrolla fuera y lejos de las corrientes principales de la ciencia oficial, aunque con gran rapidez se asimila y se convierte en ciencia “seria y oficial” reconocida ya como parte de la “modalidad oficial”.

Técnicamente, esta teoría nace cuando se observa que aun ante pequeñas perturbaciones los sistemas sencillos tienen comportamientos completamente inesperados como el “efecto mariposa” que, metafóricamente, expresa que “un ligero aleteo de una mariposa en el Amazonas desencadena un fuerte huracán en Texas”. También se le relaciona con un nuevo instrumento tecnológico: la computadora.

Hay infinidad de problemas que, aunque cotidianos, no se analizaban detalladamente; por ejemplo: el movimiento de la parte superior de la flama de una veladora, el movimiento del humo que se desprende de un cigarrillo, el movimiento en el goteo de una llave; la predictibilidad del clima y del sistema social en una sociedad moderna, el congestionamiento de tránsito en el periférico, el movimiento de una avión en pleno vuelo, las transiciones de un estado de la materia a otro (los gel), la turbulencia, el comportamiento de la bolsa de valores, la gran mancha roja de Júpiter, las variaciones del precio liberado de un producto, la reproducción de la forma de las nubes, la medición de la línea costera de la República mexicana, la autosemejanza de la coliflor, la descripción de la superficie de la Tierra, los temblores, los huracanes, la red de venas de un organismo, la estructura de los pulmones y del sistema de recolección urinario, el sistema de conductos biliares, las estructuras de las fibras cardiacas, la estructura de las plantas y de los árboles, la estructura de las plumas de un guajolote, etcétera.

Muchos, si no es que todos los fenómenos, son intrínsecamente impredecibles dentro de las concepciones de predictibilidad clásica, pero con cierta leyes desde el punto de vista de la Teoría de caos. En otras palabras, hasta la caótico tiene sus reglas, sus leyes, su estructura, posee regularidades y eso es lo que estudia, entre otras cosas, esta teoría.

Impacto importante en la ciencia del siglo XX ha tenido la Teoría de la relatividad, que pretende a nivel macro destruir el dogma de la Física tradicional de Newton, donde el tiempo y el espacio con absolutos. Por otro lado, a nivel micro la Teoría cuántica abatió el dogma de que todo puede ser medido. Pero estas teorías tratan problemas fuera de la “media” humana, a diferencia de la Teoría del Caos, que se enfoca a la resolución de problemas cotidianos propios del hombre. pretende destruir el dogma Laplaciano de que todo es predecible intenta hacer una ciencia de lo cotidiano, de lo particular y, en cierta forma, sin la pretensión de Platón de universalidad total del conocimiento científico. Ambiciona, matematizando de una manera distinta , que los científicos de las ciencias naturales regresan a la intuición y a las experiencias cotidianas, de las cuales quedaban cada vez más lejos por su pretensión de matematizar sus ciencias a la fuerza, imponiéndoles la matemática tradicional esquematizada a los fenómenos naturales.

La Teoría del Caos persigue que, en particular los físicos y en general los científicos naturales, regresan a este mundo con más intuición, experimentación y matematización pero de un estilo distinto.

La característica fundamental de la Matemática es abstraerse e idealizar situaciones reales y estudiar en forma pura sus formas, relaciones, cuantificaciones, cualidades, etc., con el objeto de que, sin ningún problema, pueda posteriormente regresarse, parcial o totalmente, a la realidad a través del uso e interpretación de los resultados matemáticos obtenidos. Ejemplo de lo anterior se tiene en los procesos donde se requiere de una infinidad de pasos, es decir, los procesos infinitos.

Analiza el siguiente problema: Se tiene un cuadrado de lado, cuyos puntos medios de sus lados se unen para formar otro cuadrado; lo mismo se hace con los puntos medios del último cuadrado obtenido y así sucesivamente hasta el infinito. Encuentra la la suma de las áreas de todos los cuadrados construidos.

Figura 1.

¿Es difícil encontrar el resultado?, ¿conoces algún procedimiento que te ayude en esta tarea? Esta situación es un ejemplo de los procesos infinitos que estudiarás en este capítulo.

Realiza los siguientes ejercicios considerando lo que ya estudiaste en ambos capítulos.

1. Determina los valores para el rango en cada una de las siguientes funciones.

 1 ^2x

a) ƒ(x)= ; cuyo dominio es el conjunto {-2. G, -1, -1, 0, 1, 1, G, 2}.

_⎝^ _⎠^⎟

8 b) ƒ(x)= 2e^0.2x ; cuyo dominio es el conjunto { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

c) ƒ(x)= log2 x ; cuyo dominio es el conjunto { 3, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32 }

2. Determine el valor de “x” en cada una de las siguientes expresiones logarítmicas.

a) log6 36 = -x 2

b) log8 x =

3 c) log(x² + 36) = 2 2

d) logx = -1

3

1. Realiza la tabulación de las funciones y = e^x; y = log e^x
2. Resuelve los siguientes ejercicios sobre sucesiones.

126

n+ 3

a) dada la sucesión fn = ,

() escribir los seis primeros términos.nn+ )

(1

b) Determina la suma de los 150 primeros números naturales, aplicando la fórmula de la suma parcial de una sucesión aritmética.

c) Dar los primeros cinco términos de una progresión geométrica, cuyo primer

3

término es a= 11 y la razón q= .

5

1 −39

d) Dados los primeros tres términos de una sucesión geométrica, , , ; hallar la

222 suma de los primeros 15 términos.

e) Una sucesión aritmética está descrita por los primeros tres términos, 5, 9, 13; representa gráficamente los primeros ocho términos de la sucesión mediante una iteración.

55 5

f) Una sucesión geométrica está descrita por los términos, 5,− ,,− ,39 27

representa gráficamente a dicha sucesión mediante una iteración.