En el fascículo anterior estudiaste las funciones: Constante, Discreta y Continua. Conjuntamente con su clasificación y representación gráfica de las mismas. Estas te permitieron comprender, interpretar y calcular el momento de reflexión de una viga de acero, determinar la dosis de un medicamento que se debe suministrar a ciertos pacientes, determinar el volúmen de una caja sin tapa. Etcétera.
Como te habrás dado cuenta el aprendizaje y/o conocimiento de las funciones que hasta el momento se han estudiado son importantes y necesarias conocerlas, ya que son de gran ayuda para solucionar problemas que se presentan en nuestra vida diaria y en sociedad. Ahora en este fascículo conocerás y desarrollarás la solución de diversos problemas que dependerán de la regla de correspondencia que presente cada función.
A continuación te presentamos un ejemplo donde se aplica el aprendizaje que este capítulo te proporciona en la vida real.
LA DEPRECIACIÓN (Disminución del valor o precio)
Un ruletero compró su taxi ecológico de acuerdo con las recomendaciones del gobierno de la ciudad de México y, con base en sus conocimientos matemáticos, realizó los siguientes cálculos sobre los ingresos económicos del primer mes de trabajo:
Ingreso promedio diario = $ 140.00 Gastos de combustible y mantenimiento = $ 35.00 Gastos sobre la devaluación del vehículo = 25.00 Sueldo por 8 hrs. De trabajo de chofer = 80.00 Total = $280.00
Consideró que si a su vehículo le daba un buen mantenimiento su vida útil sería de seis años, y que con lo que ahorraría por devaluación podría adquirir otro automóvil, pero ¡oh sorpresa!, al final del quinto año su mantenimiento ya no era redituable porque permanecía más tiempo en el taller que trabajando y los ahorros hasta ese momento no alcanzaban por la compra de otro. Sus cálculos para planear su futuro fueron correctos,
pero ideales, es decir, en la práctica no ocurrieron en forma lineal como supuesto. Esto se debe a que sus conocimientos sobre la devaluación (depreciación) no eran suficientes, toda vez que ignoraba que para vehículos expuestos a trabajo rudo, como el transporte público, la función que erige a la depreciación es de tiempo exponencial, la cual le hubiera permitido realizar un cálculo exacto.
En este capítulo aprenderás a calcular la depreciación y comprenderás la relación que tiene con otros conceptos matemáticos.
Leonardo Fibonacci en su libro Liber Abaci editado en 1202 menciona el siguiente problema: Siete viejitas se dirigen a Roma. Cada una con siete mulas, cada mula lleva a cuesta siete costales, en cada costal siete grandes panes de pueblo, en cada pan hay siete navajas y cada navaja está en siete fundas. ¿Cuántas personas, animales y objetos hay en total?.
Denotemos por S(6) la suma de todas las personas, animales y objetos. ¿A qué es igual s (6)?:
S ( 6 ) = 7(viejitas )
+77 )
•(mulas
+777 )
•• (cos tales
+7777 )
••• ( panes
+77777 )
•••• ( navajas
+777 777 • ( fundas
•••• )
23456
S ( 6 ) = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7
Para realizar la suma se puede elevar a las potencias correspondientes de 7 y sumarlos
o una manera más sencilla es multiplicar S ( 6 ) por 7 :
234567
76 = 7+ 7+ 7+ 7+ 7+ 7,
S()
y restarle la igualdad anterior, ya que así se simplifican casi todas las potencias:
234567 23456 7
76 − S 6= 7+ 7+ 7+ 7+ 7+ 7− ( ++ 7+ 7+ 7+ 7)= 7
S()() 77 − 7 S()( 67 1 )= 77− 7
− (77− 7)
S()6=
6 6= 137256
S()
La sencillez de este procedimiento radica en que puede generalizarse. En efecto, si se tiene una sucesión geométrica:
ƒ(1), ƒ(1)q, ƒ(1)q2 , . . . , ƒ(1)qn-1 y deseamos calcular su suma parcial n-ésima:
n
(28) S(n) = ƒ(1)+ ƒ(1)q+ƒ(1)q2 +. . .+ ƒ(1)q
¿Podrías obtener la fórmula general simplificada como en el ejemplo anterior? Se trata tan sólo de seguir el esquema anterior, a saber:
2n−1
Sn = f() + f()q + f() q … f() q
() 11 1 ++ 1 23 n
qSn ( ) = f()1q + f()1q + f( ) 1q +… +f()1q
nSn − qSn ( ) = f() − f1
() 1()q
⎡− n⎤
Sn 1− q = f() 11 q
()( )
⎣ ⎦
n
f()[− q ]11
(29) Sn() = . donde q ≠ 1
1− q
Observa que teniendo esta fórmula simplificada de la suma parcial n-ésima de una sucesión geométrica es natural plantearse qué pasa con S (n) cuando n es tan grande como se quiera o como usualmente se dice, cuando n tiende a +∞ , lo cual se denota por el símbolo: lim S n→∞(n) que tiene un sentido muy preciso en matemáticas, pero en este fascículo le daremos el significado intuitivo de tender a…, o acercarse a …
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Resuelva lo siguiente: Considera un cuadrado de lado 1. 1 1
1 . 1 = 1
Posteriormente divide otro cuadrado de la misma dimensión con una línea horizontal en dos partes iguales, y los coloca junto al cuadro anterior.
1/2
1
La mitad inferior del segundo cuadrado forma un rectángulo de 1 por y la mitad
2
superior se traslada hacia la derecha de los bloques.
Se sigue el procedimiento con la mitad superior, para que con esta última parte divide
1
de nuevo con una recta horizontal el rectángulo de ocho en dos partes iguales y de
2
nuevo su parte superior trasládala a lo largo del rectángulo inferior.
Continuando indefinidamente con este procedimiento se obtiene una figura en forma de escalera.
101
-¿Se forma una sucesión geométrica con el área de cada uno de los escalones? ¿Por que?. -¿A qué es igual la suma S ( n ) de la áreas de los n primeros escalones? -¿Puedes decir a qué se “acerca” S ( n ) para n “muy grande”?.
-Halla la suma de la sucesión infinita:
11 121 1331 14641
1,,, , ,…
10 100 1000 10000
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones como son las siguientes:
Recuerda que una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Si a cada número natural “n” le podemos asociar un único número real, que denotaremos por f( n ), se dice que la sucesión es numérica.
N → IR; f(n) = y
Una sucesión f ( 1 ), f ( 2 ),…, f ( n ) … es creciente si cumple con f (n ), para toda “n” natural 1.
Generalmente para las sucesiones dadas en forma recurrente se plantea una fórmula que permite expresar el término general n-ésimo de la sucesión a través de las anteriores términos de la misma. A estas fórmulas se les llama relaciones de recurrencia.
Una sucesión aritmética se define por la fórmula de recurrencia:
Con la finalidad de que verifiques tu comprensión de las características de una función lineal, lee el siguiente mapa conceptual, en el que se incluyen los conceptos que analizamos en este fascículo y sus relaciones.
Para leerlo, inicia de arriba hacia abajo, y de izquierda a derecha, construyendo oraciones con los conceptos que se incluyen en los nódos (óvalos) y las frases que aparecen entre éstos. Posteriormente sigue las líneas punteadas en el sentido que indican las flechas.
Desde un minisubmarino en la superficie del mar se dispara un proyectil dirigido a un barco cuyo punto más cercano se encuentra a 13 m de distancia del punto de partida del proyectil, el cual está al ras del agua y la trayectoria que sigue el proyectil en el aire está dada por la función:
y =−x2 +12x −20
¿El proyectil alcanza al barco?.
Si no es así, ¿a qué distancia del punto de lanzamiento el proyectil entra al agua?.
Para resolver este problema emplearemos los conocimientos adquiridos en este fascículo.
-¿Cuál es el modelo matemático para la trayectoria del proyectil?.
El modelo matemático para la trayectoria que sigue el proyectil está dado en el problema:
y =−x2 +12x −20
La igualdad anterior determina la altura “y” a la que el proyectil está sobre la superficie del agua, cuando su distancia al eje de las ordenadas (Y) es x; por ejemplo, cuando el proyectil se encuentra a una distancia horizontal de 5 m, su altura es de:
y =−()2 + () −20
5 125 y =−25 +60 −20 y =15m
Examinado el modelo dado en el enunciado del problema podemos obtener mucha información acerca de la trayectoria del proyectil.
2
− ¿Qué clase de función determina la igualdad y =−x +12x −20 ?
− ¿Al graficarla qué figura se obtiene?.
2
− La igualdad y =−x +12x −20 determina una función cuadrática, ya que tiene la
2
forma ya=x bxc . La gráfica de esta función, como la de toda función
++
cuadrática, es una parábola con eje de simetría vertical.
¿Cómo es la concavidad de la parábola?.
46
Para analizar problemas que surgen en situaciones como ésta, podemos sustituir el escenario real de los hechos por un bosquejo sobre su papel.
B) Traza un bosquejo en donde aparezcan las posiciones relativas del submarino, el barco y la trayectoria del proyectil.
y
x
submarino barco
Gráfica 14. Bosquejo de la situación que describe el problema.
Observa el bosquejo, ¿cuál es la altura del proyectil en el momento en que hace contacto con el agua?; en otras palabras, ¿cuánto vale y cuándo toca el agua el proyectil?.
En el momento en que el proyectil toca el agua y = 0.
La intersección de la gráfica de una función con el eje X es el conjunto de los puntos de la gráfica en donde y = 0.
-¿A qué distancia se encuentra el proyectil del origen del plano cartesiano al hacer contacto con el agua?.
La respuesta a la pregunta anterior está dada por el valor de “x” cuando “y” es igual a 0 en la igualdad:
2
y =−x +12x −20
Si hacemos Y = 0 en la igualdad anterior, obtenemos la ecuación de segundo grado con una incógnita:
0 =−x2 +12 x −20
Por la propiedad de simetría de la igualdad:
2
−x +12x −20 =0
Ésta es una ecuación de la forma ax2+bx+c=0, donde a=-1. ¿Cuánto valen los coeficientes b y c?. 47
Como todos los coeficientes son diferentes de cero, se dice que la ecuación es completa, de manera que para resolverla podemos emplear diferentes métodos.
Resolución por factorización
En el curso de Matemáticas I estudiaste varios casos de factorización de expresiones algebraicas; aplica esos conocimientos para factorizar el trinomio − x2 +12x −20 .
Sustituyendo este resultado en la ecuación (1) obtenemos:
− 1 (x − 2)( x − 10 ) = 0
Multiplicando por -1 los dos miembros de la ecuación se obtiene:
(x-2) (x-10) = 0 En secciones anteriores llegamos a la conclusión de que si el producto de dos números reales cualesquiera, a y b, es igual a cero, entonces a, o bien b, tiene que ser cero. Aplicando esta propiedad a (x-2) (x-10) = 0, se deduce que:
x-2 = 0, o bien, x-10 = 0. Si x-2 = 0, entonces x=2; y si x-10 = 0, entonces x = 10.
2
La ecuación − x+ 12x−20 queda resuelta y tiene dos soluciones o raíces: x=2 y x= 10.
Elabora lo siguiente:
2
A) Comprueba sustituyendo en −x+12x −20 =0 primero a x por dos y después por 10, pues ambos valores son soluciones o raíces de la ecuación.
− ¿Qué significado tienen las dos soluciones de la ecuación para el problema del submarino?.
El proyectil partió del punto (2,0) y entró en el agua en el punto (10,0).
− ¿Cuál es la distancia entre el punto de partida del proyectil y el punto donde éste entra al agua?. ¿El proyectil alcanza o no al barco?. ¿Por qué?.
Ceros de una función
Para resolver problemas que, como el anterior, conducen a funciones cuadráticas, es decir, a funciones cuya regla de correspondencia es la forma fx ()= ax2 +bx+c, con frecuencia es necesario encontrar el valor de x (la abscisa) de los puntos donde la
gráfica de la función corta al eje x. Estos valores de x se llaman ceros o raices de la
2
función y son soluciones de la ecuación ax +bx +c =0 , por que en esos puntos f(x) = 0.
En el problema que acabamos de resolver ¿cuáles son los ceros de la función f(x)=-x2+12x-20 -x+12x-20=0
Intersección con el eje Y
La intersección de la gráfica de una función con el eje Y es el conjunto de los puntos de la gráfica en donde x= 0.
2
B) Encuentra la intersección de la gráfica de fx x +12x() =− −20 con eje Y. Traza la gráfica f, señalando los puntos de intersección con los ejes coordenados.
Durante el desarrollo de este fascículo ha sido necesario resolver varias ecuaciones cuadráticas con una incógnita, y se ha tenido que consultar otros temas y/o conceptos de otras áreas ya que a veces la magnitud o grado de dificultad que presentan los problemas así lo requieren, para esto se ha apoyado en modelos “listos para usarse o estandarizados”.
− La fórmula que relaciona al desplazamiento y el tiempo en el movimiento rectilíneo uniforme acelerado:
S = desplazamiento Vo = velocidad inicial a = aceleración
1
t = tiempo =+ at2
SVot 2
− Recuerda:
2
Si un número real “t” es tal que t =x (x real no negativo), entonces t es una raíz
cuadrada de x. Si t es positivo o cero, entonces es la raíz cuadrada principal de “x” y
se denota con t = x ; si t es negativo, entonces es la raíz cuadrada negativa de x y
se denota con T
− A las funciones se les asigna alguna letra para identificarlas y por lo general se usan las letras, f, g y h, en ciertas ocasiones con subíndices.
− El primer conjunto (D) se llama dominio o conjunto de definición. Se dice que el segundo conjunto (Y) es el rango o la imagen de la función.
− Si f es una función, al elemento y de su rango, que corresponde a un elemento x de su dominio, se le llama imagen de x bajo la función f en x y se denota con y= f(x).
En las funciones numéricas de una variable real, en donde tanto el dominio como el codominio son conjuntos de números reales, únicamente suele indicarse la regla de correspondencia. En tal caso el dominio se considera como el conjunto de todos los números reales para los cuales exista una imagen según la regla dador.
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− Las funciones cuya regla de correspondencia es una igualdad de la forma fx ax +bx+c, donde a, b y c son números reales, = 0 son llamadas
()= 2 a /
funciones polinomiales cuadráticas o simplemente funciones cuadráticas.
− Recuerda que las gráficas de todas las funciones cuadráticas son parabólicas, el eje de simetría de las parábolas involucradas en las gráficas de las funciones cuadráticas es paralelo al eje Y.
2 2
− Recuerda que el signo del coeficiente de x en la función yax = +bx +c determina la concavidad de su gráfica. Si a es positivo, la concavidad es hacia arriba, y si a es negativo, entonces la parábola es cóncava hacia abajo.
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