Verifica los conocimientos que has alcanzado realizando las siguientes actividades:

1. Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba desde una torre de lanzamiento de

_/²

20 m de altura con una velocidad inicial de 250 m/s. La aceleración (g = 9.8 ms) debido a la gravedad de la Tierra afecta su movimiento y se desea determinar la altura del cohete en diferentes instantes.

a) Investiga en un libro de Física la fórmula que relaciona el desplazamiento y el tiempo de movimiento del cohete.

b) Construye el modelo adaptando la fórmula para el caso del cohete.

c) Elabora una tabla con valores aceptables.

d) Traza la gráfica.

e) A partir del modelo que obtuviste, calcula la altura máxima que, sobre el suelo, alcanza el cohete.

f) ¿En cuántos segundos alcanza su altura máxima?.

22

2. Para cada una de las funciones f x =−x +2x +8;f () =−x +6x y() x

12 2

fx x −4x −5:

() =

3

a) Determina las coordenadas del vértice, las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes, la concavidad y la ecuación del eje de simetría de la gráfica de la función.

b) Aplicando los resultados del inciso anterior bosqueja la gráfica.

c) Determina el valor máximo o mínimo de la función.

d) Determina los ceros de la función.

68

3. Resuelve las siguientes ecuaciones empleando el método que en cada caso se indica:

Por factorización:

2

a) x −−60x =

2

b) 2x 7×4 =0

+−

Completando trinomio cuadrado perfecto

2

c) x −10x +5 =0

2

−+

d) 4x 8×5 =0

Empleando la fórmula general:

2

e) 2x x105 =0+−

2

+ −=

f) 10x 9×7 0

2

Gráficamente, despejando x

2

g) x +−x 12 =0

2

−−

h) 6x 5×6 =0

4. Resuelve los siguientes problemas:

a) Las dimensiones de la pantalla de un televisor se dan comercialmente por la medida de su diagonal. Si la razón del largo al ancho debe ser de 4/3 ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la pantalla de un televisor de 14 pulgadas?

b) La velocidad de escape (V) de un planeta depende de su radio (R) y del valor de

2

aceleración (g) debida a su gravedad. La fórmula V =2gR expresa la relación que existe entre esas cantidades. ¿Cuál es la velocidad de escape, en km/s, en un

planeta cuyo radio mide 5 000 km y donde g = 0.002 km s/² ?.

c) Un grupo de estudiantes compró una calculadora con graficador que costó N$ 600. Al inicio el grupo se componía de x alumnos, pero al agregarse otros cinco, la cantidad que cada uno debía pagar se redujo en N$10 pesos. ¿De cuántos alumnos constaba el grupo inicial?.

A continuación te presentamos la siguiente lista de palabras, las cuales se encuentran ordenadas alfabéticamente, en este glosario podrás consultar las palabras que no entiendas y así conocer su significado.

Abscisa: Es la coordenada horizontal que determina la posición de un punto en el plano cartesiano. Cóncavo: Figura plana, o cilíndrica que tienen sus líneas o superficie hacia adentro. Desplazamiento: Recorrido que hace un móvil de un punto a otro.

Dominio: Son los valores que adquiere la variable independiente en una función Funcion Lineal: Es un modelo algebraico que expresa la relación entre variable independiente con grado uno y la dependiente de un problema.

Intersección: Punto o línea donde se cruzan dos o más líneas. Intervalo: Espacio entre dos tiempos, números, variables o lugares. Método: Proceso seguido para alcanzar un objetivo especialmente para descubrir la

verdad y sistematizar los conocimientos.

Parábola: Lugar Geométrico de todos los puntos que equidistan de un un punto fijo y de una recta llamada directriz.. Rango: Son los valores que adquiere la variable dependiente en una función. Rectilíneo: De líneas recta. Simetría: Proporción adecuada de las partes de un todo entre sí y con el todo mismo. Tabular: Expresar por medio de tablas, valores u otros datos. Variable: Dependiente: son los valores obtenidos para la variable “y”. Varaible: Independiente: son los valores asignados a la variable “x”. Vértice: Punto en que ocurren tres o mas planos.

Por suma parcial n-ésima de una sucesión aritmética se entiende la suma de los primeros n términos de la sucesión; por ejemplo, si un cuerpo en movimiento recorre en el primer segundo cuerpo en movimiento recorre en el primer segundo seis metros y por cada uno de los siguientes segundo cuatro metros adicionales a los del segundo anterior, ¿cuántos metros recorrió en ocho segundos?.

Primero se escribe la sucesión de metros recorridos en cada segundo:

En el primer segundo el cuerpo recorrió 6 (metros); en el segundo, 6 + 4 = 10, en el tercero recorrió 4 adicionales a los ya recorridos en el segundo anterior: 10 + 4 = 14; en el cuarto, 14 + 4 = 18, en el quinto, 18 + 4 = 22; en el sexto, 22 + 4 = 26; en el séptimo, 26 + 4 = 34, esto es, en cada segundo el objeto recorrió: generado por ƒ(n) = ƒ(1) + (n-1)4

ƒ(n) = ƒ(n-1)+4 fórmula de recurrencia

(21) 6,10,14,18,22,26,30,34

¿Por qué en este caso la sucesión formada es aritmética?. Porque cada término de la sucesión se define por el anterior agregándole una constante d = 4, a partir de un elemento inicial de la sucesión, que es ƒ(1) = 6. Por consiguiente, ¿crees obtener el mismo resultado con la fórmula del término n-ésimo (20)?. Sí. Basta con sustituir en (20) : ƒ(1) = 6 y d = 4, luego (8) = 6 + (8-1)4 = 34, que es realmente el mismo resultado.

¿De qué otra manera se pueden sumar los ocho primeros términos de la sucesión (21)?. Mediante el método del niño Gauss, es decir, al denotar por S(8) la suma de los primeros ocho términos de la sucesión (21) (suma parcial hasta n = 8), tendremos:

S(8) = 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34.

Pero también escribiéndolo al revés:

S(8) = 34 + 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6.

Y si sumamos término a término las dos igualdades tendremos: 2 S(8) =40 + 40 + 40+ 40+ 40 + 40 + 40 + 40, donde: 840

X

S (8) = = 160 ∴S(8)=160.

2

El cuerpo en movimiento ha recorrido 160 metros después de transferir ocho segundos.

Observa que el método del niño Gauss es igual de fácil que sumar parcialmente muchos sumandos y hasta en forma simbólica. ¿Este método puede usarse para sumar los primeros miembros de cualquier sucesión aritmética? Sí, porque si denotamos por S(n) a la suma parcial n-ésima, o sea

S(n) = ƒ(1) + ƒ(2) +….+ƒ(n)

+

S(n) = ƒ(n)+ ƒ(n-1) + ….+ ƒ(1)

2S(n) = [ƒ(1)+ ƒ(n)] + [ƒ(2)+ ƒ(n-1)]+…+[ ƒ (n)+ ƒ(1)],

Sn = a1 + a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d +a1 + 4d + . . . a1 + (n-1)d Sn = an + an – d + an – 2d + an – 3d + an – 4d + . . . an – (n-1)d

2Sn = a1 + an + a1 + an + a1 + an + a1 + an + a1 +. . .an + a1 + an

2 Sn = (a1 + a1 + a1 +. . .) + (an + an + . . .) 2 Sn = n (a1 ) + n an 2 Sn = n (a1 + an )

n

∴ Sn = (a1 + an) pero an = a1 + (n-1)d

2 n

Sn = [a1 + a1 + (n-1)d]

2

Luego entonces: n [f(1) + f(n)]

(22) S(n) = .

2 ¿Cuál es la fórmula de S(n) a través de ƒ(1)n y d? si se tiene la fórmula que expresa ƒ(n) a través de n dada por (20). Basta con sustituir (20) en (22), o sea: nf1 + f( ) + ( − 1d

[() 1 n)] (23) S(n) =

2 nf + f( ) + ( −1d

[() 1n

21 )]

S(n) = Fórmula para obtener la suma parcial del n-ésimo término

2 de una sucesión aritmética.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Realiza lo siguiente:

1. Encuentra la suma de los primeros 200 números impares positivo.
2. Demuestra la siguiente propiedad de las sucesiones aritméticas: Todo término de la sucesión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de sus vecinos. Recuerda que por media aritmética de los números a y b se entiende su

+

promedio aritmético, es decir, ^aby que ƒ(k) tiene por vecinos a ƒ(k-1) y ƒ(k+1).

2

CAPÍTULO 1. FUNCIÓN LINEAL

1.1 RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN LINEAL Y LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

En este tema analizarás:

“a” Constante o coeficiente de proporcionalidad.

“b” Parámetro.

“x” ; “y” Variables.

FUNCIÓN LINEAL

f: x ¤ y f (x) = ax ó f (x) = ax+b y= f(x)

Ecuación de primer grado con dos incógnitas: Ax+ By = C

Lo anterior se logra a partir del planteamiento y resolución de problemas que dan lugar a una función lineal.

Los siguientes problemas establecen una función lineal, observa el procedimiento y contesta las preguntas:

PROBLEMA (Costo-Cantidad)

a) Una lata de leche en polvo tiene un precio unitario de $35.00, elaboremos una tabla de valores donde x represente el número de latas, “y” el costo total correspondiente; complétala y busca la fórmula algebraica que relacione el costo total en función del número de latas.

10

Tabla 2

Si observas, el precio de una lata es de $35.00, ¿cuántas latas se podrán comprar con $105.00?¡Exacto!… 3. Ahora la pregunta es la siguiente: ¿Cuánto se pagará por 2, 5 y 13 latas?. Completa los valores que faltan.

Bien, ahora para cada pareja (x,y) efectúa el cociente y/x ¿qué observas?. Cociente o razón:

35 = 35

1 70 = 35

2 105 = 35

= 35

15 ¡Correcto!, la razón de cambio entre “y” y “x” es 35; es decir: y/x= constante y

= a

x

¿Recuerdas cómo despejar la variable “y” de la ecuación anterior?… En efecto, y= ax. Para este problema la ecuación sería: y=35x, ¿por qué?.

Esta fórmula o ecuación representa la regla de correspondencia entre el precio unitario de las latas y el costo de comprar cierto número de ellas.

Una vez que tenemos la fórmula, podemos calcular el costo para cualquier número de latas. ¿Cuánto costarán 47, 173 ó 1 287 latas?.

11

Recordando cómo se construye una gráfica en el plano cartesiano. Gráfica la tabla 2.

Gráfica 1

PROBLEMA (distancia- tiempo)

b) El atleta estrella del Colegio de Bachilleres corre diariamente a una velocidad promedio de 6km/h. Si el primer día corre durante 30 minutos y va aumentando 3 minutos en los días siguientes hasta llegar a 45 minutos, ¿qué distancia recorrió cada día?.

Para resolver este ejemplo construiremos una tabla de valores, pero antes debemos calcular ¿cuál es la razón de cambio entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido para hallar la fórmula correspondiente?, ¿podrás hacerlo?…

12

tiempo (min) Distancia (km)

x ____________________ y 30 ____________________ 3 km 33 ____________________ 36 ____________________ 39 ____________________ 42 ____________________ 45 ____________________

Tabla 3

Del ejemplo anterior recuerda que la razón de cambio es constante, es decir, y/x=a. Observa que a=0.1, ¿por qué?. Asimismo cabe mencionar que conociendo la distancia que recorre en 30 minutos, podemos calcular los demás valores. Encontrar la fórmula no te será muy difícil…

Calcula la distancia que recorrerá a los 25 ó 55 minutos; para ello apóyate en una gráfica en el plano cartesiano

c) PROBLEMA (costo-tiempo)

Cuando abordamos un taxi en la Ciudad de México, observamos que el taxímetro marca una cantidad inicial, digamos $2.00, y después de cierto tiempo de recorrido cambia a $2.50, $3.00, $3.50, etc. Si después de 5 minutos la cantidad que marca es de $5.50, ¿cuánto esperaríamos que marcara a los 7, 8 y 11 minutos?.

La solución de este problema la iniciamos con la gráfica 2 en el plano cartesiano, que en el eje horizontal nos muestre la variación del tiempo y en el eje vertical la del costo.

13

yCOSTO ($)

x

Gráfica 2

Como podemos observar, en cero minutos ya existe un costo inicial, y a partir de éste la variación es constante hasta llegar a un momento final de 5 minutos; el costo para este tiempo es de $ 5.50. Con los trazos auxiliares construimos un triángulo rectángulo, ¿cuál es la longitud del lado vertical?.. ¡Exacto!… $3.50, es decir, la diferencia entre el costo final (C1) y el costo inicial (Co). Ahora, ¿cuál es la longitud del lado horizontal?. Efectivamente, es 5.

y

COSTO ($)

Co= Costo inicial C1= Costo final To= Tiempo inicial T1= Tiempo final

x

Gráfica 3

Bien. ahora …¿cómo calculas la razón de cambio?.

¡Correcto!, calculando el cociente de (C1-Co)/(T1-To), que es lo que hiciste en los ejemplos anteriores, como y/x; con esto, y/x=0.7 y despejando nos queda y=.70x, con lo que calculamos la variación del costo en función del tiempo. No olvides que ya existe un costo inicial de $2.00 que debemos sumar; por lo tanto, ¿cuál es la expresión completa de la función?.

14

¡Correcto!, la expresión sería y=0.7x + 2 Con la fórmula establecida, calcula el costo para 7, 8 y 11 minutos.

d) PROBLEMA (perímetro-diámetro)

El perímetro de un círculo varía proporcionalmente con la longitud de su diámetro (cm), como se muestra en la tabla siguiente. ¿Puedes completarla?.

Tabla 4

Para tabular este ejemplo elabora una gráfica en el plano cartesiano y encuentra la expresión de la función correspondiente.

Los ejemplos anteriores nos muestran que dos magnitudes varían en forma proporcional cuando existe una razón de cambio constante entre las variables, es decir:

yy

= constante o y= ax o = a

xx

Con el objeto de manejar la terminología correspondiente llamaremos a x variable independiente, a y variable dependiente y a será la constante de proporcionalidad. Ahora que conoces las características de éstas, la literal y las variables, ¿puedes explicar por qué se les asignó ese nombre?.

Observemos también que la relación entre dos variables la podemos registrar por medio de una tabla de valores, donde a cada valor de (x) le corresponde uno de (y) lo que da como resultado que se establezca (n) parejas de números (x,y) donde ambos son números reales ().

15

Por otra parte, al hacer un bosquejo de la gráfica en el plano cartesiano se puede observar que si la ecuación o expresión incluye un valor inicial, la recta intersecta al eje y en un punto distinto del origen, es decir, tenemos dos casos: uno cuando la recta pasa por el origen y otro cuando no lo hace, situación que explicaremos mediante gráficas:

y

Gráfica 4. Recta que pasa por el origen.

y

b

(0,b)

x

0

Gráfica 5. Recta que no pasa por el origen.

16

Con la finalidad de que verifiques y apliques los conocimientos que has adquirido te presentamos las siguientes actividades.

I. Encuentra la relación entre las variables de los siguientes problemas y exprésalos algebraicamente mediante una función lineal, construye en tu cuaderno un bosquejo de la gráfica que la represente.

1. El perímetro de un cuadrado, p(m) es cuatro veces la longitud de su lado, (4m).
2. El promedio de goleo de Hugo Sánchez es de 0.45 por partido. ¿Cuántos goles podría anotar si jugara 6, 7, 9 u 11 partidos?. Interpreta tus resultados.
3. El peso (kg) de cualquier líquido varía en forma proporcional a su volumen (m³). .
4. El ingreso anual ($) de una inversión varía con la tasa de interés (%).
5. La presión del agua en lb/ft² en el mar varía proporcionalmente con la profundidad en pies (ft).
6. La fuerza (N) necesaria para mover un objeto sobre un plano varía proporcionalmente con el peso (Kg) del mismo.
7. El número de centímetros (cm) es 100 veces el número de metros (m).
8. 8. El número de pesos mexicanos ($) cambia en términos del número de dólares( ).
9. En un ecosistema, el número de depredadores es proporcional al número de presas.

10.El costo total en pesos ($) para producir calcomanías es el monto del alquiler del local ($) más 1.5 veces el número de calcomanías producidas por día.

17

II. Completa cada una de las siguientes tabulaciones y encuentra la constante de proporcionalidad, así como la ecuación expresión de la función adecuada.

4. Para un paralelogramo se tiene los siguientes datos:

18

15. Se tienen cuatro secuencias proporcionales n, m, u y t, completa la siguiente tabla:

III. He aquí una tabla de números proporcionales; en ella hay dos errores dentro de la segunda línea; desarrolla lo siguiente:

1. Identifica los errores y corrígelos.
2. ¿Cuál es el coeficiente o constante de proporcionalidad?.
3. ¿Cuál es la expresión de correspondencia?

IV. Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas, justificando tus respuestas.

19

234 234

1. Las secuencias ( 22, ,2 …) ( 3 ,3 ,3 …)
2. y , ¿son proporcionales?. ¿Por qué?.
1. Tres personas piden prestado $250.00, $400.00 y $700.00 respectivamente. Cada una devolverá, en ese mismo orden, $300.00, $480.00 $840.00. ¿Las devoluciones son proporcionales a sus préstamos?. ¿Por qué?.

Ya que has ejercitado los conceptos anteriores, podemos hacer una pausa para hablar acerca de la notación matemática que utilizaremos para denotar la relación de proporcionalidad entre dos cantidades. Se puede decir que la secuencia de números reales (XX ,X … ) es proporcional a la secuencia de números reales ( YY ,Y …) ,

,,

123 123 todos ellos diferentes de cero, si existe una función f que relacione en una tabla de valores a cada valor de x con su respectivo valor de y. Nótese que este último es el valor de la función y que se puede expresar de tres maneras diferentes:

1. Tabla de proporcionalidad

f : x

y

X3 Y3 . . .

2. Tabla de valores con coeficiente de proporcionalidad, donde existe un número real tal que: y= f(x)

yy y

12 3

3. Una serie de proporciones: == … etc

xx x

12 3

20

Analiza estas tres formas de expresar una función y trata de definir qué es una función; observa los dos primeros casos: éstos nos interesan pues nos acercan más al concepto de una función como una regla de correspondencia entre un conjunto de valores reales (variable independiente) con otro conjunto de valores reales también (variable dependiente). De tus conocimientos de Álgebra básica recordarás que al primer conjunto de éstos se le conoce como dominio de la función y al segundo se le llama rango o recorrido de la función.

D ={x/x IR } R ={fx fx }

∈ ()/ () ∈IR

Esto nos conduce a la siguiente notación funcional:

Comúnmente esta última forma se puede escribir haciendo y= f(x) que se lee: “y” igual a f de x; y se representa en los siguientes esquemas:

b)

Función (fórmula)

Salida f(x)

Finalmente diremos que en una ecuación de primer grado con dos incógnitas que tiene la forma: Ax + By + C = 0

21

Se puede transformar en una expresión de la regla de correspondencia de una función, si despejamos la incógnita “y”, esto es: Ax + By = -C By = -C -Ax CAx

−−

y =

B Separando los términos, tenemos: CA

y =− − x,

BB Que comparándola con la expresión de la función que tiene la forma: y= ax + b Podemos observar que:

CA

b =− y a =− ;

BB

Es decir, la incógnita “y” se transforma en una variable que depende del valor de x. De esta forma, la x se transforma también en una variable independiente, lo que nos conduce a reconocer que la expresión de la función lineal puede verse desde dos enfoques:

a) Como la expresión de la regla de correspondencia f de la función.

b) Como la imagen de x (variable independiente) bajo la regla de la función f.

22

Hasta aquí, podemos establecer algunas conclusiones:

− La función lineal, es un modelo algebraico que expresa la relación variable independiente y la dependiente de un problema.

− Entre la variable independiente (x) y la dependiente (y), se establece una regla de correspondencia, donde a cada valor de “x” le corresponde un único valor de “y”.

− Una función lineal se puede expresar como f: x y; y = f(x).

− Al despejar “y” de la ecuación de primer grado con dos incógnitas Ax+ By + C = 0 se −Ax C

obtiene la expresión de la función lineal: y = − . Convirtiendo

BB −C -A

= b y = a Sustituyendo se obtiene y=ax+b

B B