A) Ahora completa la siguiente tabla calculando los valores numéricos que faltan. En este caso puedes usar calculadora.

3

b

Vb +27b

() =− 4

13 1

() ()

1 1 1971

3 27

V( ) =− +27() =− +9 =− +9 =≈899 .

3 4 3 4 108108

1

V( )=

2

3

()2

V( ) =− + () =52 2 272

4

V ( )

V ( 6 )

V ( 8 )

3

()

10

V(10) =− +27 10 =20

()

4

Tabla 16

83

Observa que sólo hemos dado valores positivos a b. Explica por qué. Asigna otros valores a b y calcula los de V. A continuación anota el Dominio (D) de la función:

D = { , } Comprueba ahora que el conjunto de valores que se puede calcular para V, a partir del conjunto anterior, es:

R ={y ∈IR / 0 ≤ y ≤ 108}

B ) Gráfica los valores de la tabla (1) en el plano cartesiano y une los puntos mediante una línea curva para que aprecies la forma aproximada de la gráfica de la función V(b).

Gráfica 21

Si analizas la gráfica y la tabla anterior, puedes realizar las siguientes actividades:

• La gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo ( 0, ).
• Escribe el valor aproximado de b al que corresponde el volumen máximo. Respuesta: b = 6 Evalúa la función en dicho punto para que encuentres las coordenadas del punto más

alto de la gráfica, al cual se le llama máximo. V ( 6 ) = _______________________ Coordenadas: ( , ).

84

¿Te has dado cuenta de que la recta cruza a los ejes en algunos puntos?. A estos se les llama intercepciones con los ejes.

Si la gráfica intercepta con el eje “b”, esto quiere decir que en ese momento el valor de “V” es igual a cero.

De acuerdo con lo anterior, calculemos los valores de “b” cuando V=0 por medio de la

-b³

ecuación +27b=0

4

2

⎛−b 

Factorización: b ⎜+27⎟0 ⎝⎠

()_{ 4 ⎟}=

Resolviendo la ecuación de 2do. grado que está dentro del paréntesis, se tiene que

b₁ =0

b₂ = 108 = .

10 392

b₃ =− 108 =−10 392

.

Una vez obtenidos los valores de “b”, nos damos cuenta que la gráfica intercepta al eje “b” en tres puntos distintos; de los cuales únicamente nos interesan dos; el cero y Y el tercer valor lo descartamos, ya que la caja no puede tener dimensiones negativas.

Las coordenadas de los puntos de intersepción, son ( 0, 0 ) y ( 108, 0 ).

Traza una recta vertical por el punto máximo y comprueba que tal recta es eje de simetría de la curva. Una función cúbica puede representar otro tipo de problema como el que se muestra a

continuación: Ejemplo 2 Calcula la rapidez con que crece o decrece la población de venados en una sierra.

La función en este caso es Rt -t³ 42 , y como el estudio de la población debe

()=4+t

proyectarse conforme al futuro y a periodos anteriores, hay que asignar valores tanto positivos como negativos al tiempo t.

Resuelve los siguientes ejercicios:

Completa la siguiente tabla de valores y traza formalmente los puntos cartesianos para que compruebes que la gráfica tiene la forma bosquejada tal como en la figura que sigue:

x

Tabla 17

Gráfica 22

Contesta las siguientes preguntas o completa los enunciados. ¿En cuál intervalo la curva es cóncava hacia arriba y en cuál lo es hacia abajo?. Hacia arriba ( , ] Hacia abajo [ , ) Anota un intervalo aproximado para la abscisa de los puntos máximo y mínimo. Encuentra una recta respecto de la cual la curva es simétrica. Escribe los valores de t para los puntos de intersección con los ejes. (Para encontrar

estos valores deberás factorizar la función y posteriormente resolver la ecuación cuadrática).

86

Ejemplo 3

Se ha encontrado por vía experimental que al sostener una viga de acero por sus extremos hay cuatro puntos en los que, al aplicarles una fuerza, la viga no se dobla (momento de flexión igual a cero). Este fenómeno está determinado por la función:

01 18 104 − .x

fx() = .x − .x + . x 192

donde x es la distancia en metros del punto de aplicación de la fuerza a un extremo de la viga. Ahora, hay que obtener los valores de x para los cuales el momento de flexión es cero.

Para ello aplica el procedimiento de tabulación y podrás encontrar algunas de las características de la función, tales como: concavidad, intersección con los ejes, puntos máximos, mínimos y simetría.

Considera lo anterior para poder resolver los siguientes ejercicios:

Calcula el valor máximo de f(0), f(0,5), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6), f(7) y f(8) para elaborar la tabla de valores.

43 2

La gráfica de () 01 04 x− 1. x corresponde a la figura

fx= . x− 18 . x+1. 92

siguiente:

Gráfica 23

A partir de la tabla que acabas de hacer, localiza los puntos en el plano cartesiano y prueba que efectivamente pertenecen a la curva bosquejada.

Encuentra los intervalos de x donde la curva es cóncava. Calcula los valores aproximados para los valores de x de los puntos máximos, mínimos y de intersección con los ejes.

Evalúa la función en estos valores para que encuentres las coordenadas de dichos puntos.

Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones como las siguientes:

− Recuerda que en el fascículo anterior conociste la elaboración de gráficas de tipo lineal y cuadrático, no obstante; que ambas no son suficientes para describir los distintos fenómenos naturales, económicos y sociales que se presentan en el desarrollo de un país y de la vida misma. Es por esto que en este tema se conoció la elaboración de gráficas junto con su tabulación correspondiente y su procedimiento algebraico para conocer la intersección con los ejes, ahora de tipo polinomial cúbica y de cuarto grado.

− Se tiene que tomar en cuenta que la construcción del Modelo Algebraico, estará sujeto a las características y/o contexto del problema, por ello se recomienda leer tantas veces sea necesario para establecer las variables e incógnitas del problema.

− Recuerda que en una función cúbica puede tener valores tanto positivos como negativos asignados al tiempo, temperatura, velocidad, etc., esto dependerá de las características que presente el problema.