Tabla 14

Ejemplo 2

2

Resolver gráficamente la ecuación x =−2x +15 Para encontrar las soluciones seguimos el método del ejemplo 1: graficamos las

2

funciones f x () =x y g(x)=-2x+15 y analizamos las abscisas de los puntos de intersección de las gráficas x´=-5, x´´=3; éstas son las soluciones de la ecuación

2

x =−2x +15

Figura 19

63

22 2

Observa que las ecuaciones x +2 , x =-x 15 y +x-0 son

equivalentes; luego, despeja el término independiente, es decir x², y graficando las funciones de ambos lados de la igualdad podemos también resolver la ecuación

ax² +bx+c=0.

x=15 2+x 215 =

Realiza los siguientes ejercicios considerando los capítulos que ya estudiaste.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas.

2

a) 5x-180 0

= b) -x^{2 1}

2 +=0

8 ²₃

c) x-= 0

x d) 2x²+3x=0

2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando el método que en cada caso se indica.

Por factorización

2 ₆₀

a) xx–= b) 6x² − 5x = 6

Por medio de completar el trinomio

c) x²290x

–= ₂ 108

d) x+8x+ =0

7

Aplicando fórmula general

e) x²+3x=12

f) -+x²3 2

x=

3. Interpreta gráficamente las siguientes funciones, para que puedas determinar las característica que en cada caso se piden.

a) Determina las coordenadas del vértice, las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes, la concavidad, el eje de simetría y el valor máximo o mínimo de la función fxxx=² -6.

()+

110

b) Construye la gráfica de la función fx ³2²6 con un intervalo de valores

()=x -x -5x+

para el dominio de D{−≤ ≤4

3X}

Posteriormente indica los valores para el rango, la intersección de la curva con los ejes y los valores máximo y mínimo aproximados.

432

c) Construye la gráfica de la función fx()=2x 5x+3x x10 = con un dominio

+ –

{3,25 ., 2,15.,1, .,,.,,. }

D −− −−−−05 0 05115 .

Posteriormente indica los valores para el rango, la intersección de la curva con los ejes y el valor mínimo.

4. Resuelve los siguientes problemas:

a) Un helicóptero que opera entre el aeropuerto y el centro de la ciudad cobra $100.00 y transporta 300 personas por día. El gerente estima que por cada $10.00 de aumento en el pasaje, pierde 15 pasajeros. ¿De cuánto debe ser la tarifa para obtener una máxima ganancia?. (Interpreta el modelo de la función y el resultado del problema).

b) Una base de un trapecio mide 5 cm más que la otra, mientras que la altura es de 4/5 de longitud de la base mayor. Encontrar las longitudes de las bases, si el área es de

100 cm² . (Únicamente plantea la ecuación cuadrática).

c) Una embotelladora de jugos emplea envases tetra brick. El volumen de éstos envases deberá estar en función de la dimensión de su altura (h); de tal forma que el largo debe medir dos terceras partes de lo que mide la altura y el ancho debe medir dos quintas partes de lo que mide el largo.

Con base a la información, plantea la función cúbica que describe el volumen de los envases.

Figura 1.

111

Un experimento que probablemente realizaste en cursos anteriores de Matemáticas consiste en registrar la temperatura diaria a una misma hora (digamos a las 12 horas) durante algún lapso. Usualmente los datos resultantes se utilizan para analizarse estadísticamente, mas a nosotros sólo nos interesa la generación de la lista de datos dispuestos en un cierto orden.

La primera temperatura corresponderá al primer día de lectura, la segunda al segundo día y así sucesivamente, que en un sistema de coordenadas cartesianas se interpretaría como los puntos de las parejas ordenadas (gráfica 12),

x

(1,26) (2,29) (3,27) (4,23)

o bien, como la correspondencia establecida entre los números naturales n y las temperaturas T (figura 13).

D1 2 3 4 5 6 7 8 9….

T26 29 27 23 21

y (T) temperatura

Gráfica 13.

o simplemente la lista ordenada de temperaturas:

26,29,27,23,21,19,23,18,20, ….

Esto es:

Estos datos, además de la interpretación gráfica de la gráfica 13, podrían tener una

explicación geométrica directa en la recta (gráfica 14). T(1) = 26 T(5) = 21 T(2) = 29 T(6) = 19

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

T(3) = 27 T(7) = 23 T(4) = 23 T(8) = 180

T(8) T(9) T(4) T(3)

T(9) = 20

T(7) T(6) T(5) T(1) T(2)

Gráfica 14

Para reafirmar la generación de datos ordenados, veamos el ejemplo donde se expresa la función experimental:

• Si tenemos un pedazo de sustancia radioactiva vida media cuyo peso disminuye a la mitad un día y lo registras diariamente sabiendo que el inicial es de 128 unidades peso (digamos mg), ¿cuál es la lista de números que obtendrías del proceso?

1

De acuerdo con la expresión ƒ(n) = 128 ( )ⁿ, se obtiene la siguiente gráfica.

2

f(n) (peso en mg)

128

64

32

8

4

n (tiempo en días)

Gráfica 15.

Dado que la cantidad de sustancia al inicio del experimento es de 128 mg, al día siguiente, por las

¹²⁸ =64mg, y un día después la mitad de lo que quedaba en el anterior, es decir, 2

⁶⁴ _=32mg , etc., obtendrías la lista ordenada de números:

2

(4) 128,64,32,16,8,4,2,1,1/2,1/4, …,

cuya gráfica aparece en la figura 15. Observa que consideramos implícitamente que la materia es infinitamente divisible, aunque realmente ésta tiene estructura atómica y por ende cualquier pedazo de materia contiene una cantidad finita de átomos; por consiguiente, el proceso de división termina en un número finito de pasos, lo que despreciaremos, y consideraremos el proceso idealizado de decaimiento ilimitado de diversiones de la materia. Al arreglo ordenado de números dados por (4) se le llamará sucesión numérica.

Se pudo ordenar los datos en forma tabular, proporcionando la interpretación de la gráfica de la función como conjunto de parejas ordenadas (figura 15) y la sucesión como una función ƒque pone en correspondencia a cada número del conjunto de números naturales N con uno y sólo un número real del conjunto de números reales R mediante una regla de correspondencia dada, en este caso a través de la relación especial:

Enteros Positivos ó Naturales D = { 1,2,3….}

ƒ−

(n1)(5) ƒ(n) = 2

(1 1) ƒ(0) 128

ƒ(0) = 128 Si n = 1 ƒ(1)= ^ƒ−

===64

2 22

donde ƒ(n) denota el peso de la sustancia radiactiva al tiempo n, aunque ésta no es la forma acostumbrada de dar una función: es decir: Una sucesión en un arreglo ordenado de elementos como a1, a2, a3, …. an,

Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y la imagen es el conjunto de los números reales, o la sucesión numérica es más función que asocia a un número natural un solo número real.

Definición. Si a cada número natural n le podemos asociar un único número real, que denotaremos por ƒ(n), entonces si dice que se llama progresión aritmética a una sucesión en las que cada término es la media aritmética del que le procede .

(6) ƒ(1), ƒ(2), ƒ(3),….. ƒ(n),….. forma una sucesión numérica.

En la sucesión (6) los puntos sucesivos entre ƒ(3) y ƒ(n) significa que se continúa después de ƒ(3) con los siguientes valores ƒ(4), ƒ(5), etc, hasta el término general de la sucesión denominada como n-ésimo término ƒ(n), después del cual aparecen nuevos puntos suspensivos que indican que se continúa con los valores ƒ(n+1),, ƒ(n+2), etc., rebasando cualquier valor de la variable escogido de antemano.

¿Qué concepto matemático se identifica en la asociación anterior? El concepto de función que asocia a cada número natural de N un único número real de R. Simbólicamente la sucesión (6) se representa de la siguiente forma.

Que se lee “La sucesión (6) es una función ƒ de N en IR , con reglas de correspondencia y=ƒ(n)”, es decir a cada n se le pone en correspondencia uno y solo un elemento del conjunto de las reales IR mediante la relación.

(6) ƒ: N → IR ; ƒ(n)=y

que se lee como “la sucesión ƒ(1); ƒ(2) es una función de ƒ de N en R; con regla de correspondencia y=ƒ(n)”, es decir, que a cada n se le pone en correspondencia uno y sólo un ƒ(n) ∈ R. En un esquema simbólico la sucesión (6) puede expresarse como:

IN IR

f

IR Regla de N correspondencia

y1

y2

y3

.

.

.

f(n) = y

y

f: IN → IR ; y = f(n)f(1) = y1. f(2) = y2 . . .

Gráfica 16.

Lo cual significa que la sucesión (6) está dada por la función ƒ que pone en correspondencia a cada elemento del conjunto de los números naturales N con uno y sólo un elemento del conjunto de los reales R mediante la regla N → IR ; y =ƒ(n)

Ejemplos de sucesiones numéricas.

a) Sucesión de números pares e impares:

(7)

ƒ(2,4,6,8,···2n)… (figura 17). ⎯⎯⎯ n ∈ {1,2,3,4,5…}

(8)

ƒ(1,3,5,7, ···2n-1)… (figura 18). ⎯⎯⎯ n ∈ {1,2,3,4,5…}

78

Observa que cada valor estas sucesiones es mayor que el valor que le precede (sucesiones crecientes). Si n1< n2 =>ƒ(n1)< ƒ(n2)

b) -Sucesión de las potencias de números naturales de 2: por lo tanto las sucesiones son crecientes

(9)

2,4,8,16,…,2ⁿ,…(figura 19) c) -Sucesión de cuadrados de números naturales:

(10)

1,4,9,16,..,n²,….(figura 20).

Aquí también cada término de la sucesión es mayor que el anterior, luego es una sucesión creciente:

79

f(n) = 2ⁿ

f(n) = 2ⁿ

Gáfica 19 Gáfica 20

d) -Sucesión factorial n!=n(n-1)(n-2)… 1

(11) 1,2,6,24,120,…, n!,…(figura 21), donde: 1!=1, 2!=1·2, 3!=1·2·3, 4!= 1·2·3·4

n! = n(n-1) (n-2) ··1 _{ƒ(n)= ƒ(n-1)+ ƒ(n-2)} Cada elemento después de los dos primeros es la suma de los dos que le

e) -Sucesión de Fibonacci. ƒ(1)= 1, + ƒ(2)=1

preceden

(12) 1,1,2,3,5,8,13,21,34, ··· (figura 22)

80

f(n) = n (n-1)! = n!

Gáfica 10 Gráfica 11

Si denotamos por ƒ(n) al término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci, entonces también cumple con que ƒ(n)> ƒ(n-1); por lo tanto, es una sucesión creciente.

La propiedad que caracteriza a todos los ejemplos anteriores se puede definir como:

Una sucesión ƒ(1), ƒ(2),…, ƒ(n),… es creciente si ƒ(n)> ƒ(n-1), para toda n natural >1. n1<n2 ⇒ƒ(n1)< ƒ(n2)

Observa que esta propiedad es global, es decir, se cumple no para un valor de la variable, sino para todos los valores. Las situación que origina estas sucesión es el “problema de los conejos”, que plantea un par de conejos da una vez por mes una cría de conejitos, un macho y una hembra a los dos meses de nacidos las nuevas parejas son capaces de procrear. ¿Cuántos conejos habrá a cabo de un año suponiendo que ninguno muera en ese lapso?.

81

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Realiza lo siguiente:

Las sucesiones descritas de (7) a (12) son susceptibles de otras representaciones gráficas. Haz una para cada caso. Es frecuente considerar sólo a los primeros n términos de una sucesión infinita.

Definición. Se llama sucesión numérica finita de longitud n a:

(13) ƒ(1), ƒ(2),… ƒ(n).

En el entendido de que ahora la función ƒ pone en correspondencia a cada uno de los primeros n números naturales con uno de los valores reales dados en (13).

A continuación te presentamos la siguiente lista de palabras, las cuales se encuentran ordenadas alfabéticamente, en este glosario podrás consultar las palabras que no entiendas y así conocer su significado, de acuerdo a cada capítulo:

plano cartesiano. Recurrente: Del latín recurre que significa regresarse. Sucesión: Que sucede o sigue en forma conjunta ya sea en forma lineal,

circular y estos pueden ser números, puntos, variables, etc. Transformación: Que cambia o se modifica.