2.2.3 FUNCIÓN CONTINUA

Ejemplo 3

El tanque de gasolina de un automóvil tiene una capacidad de 40 litros. Ese automóvil tiene un rendimiento de 10 km por litro; como su medidor del contenido de gasolina no funciona, el chofer necesita conocer cuánta gasolina le queda después de recorrer cierta distancia x, a fin de saber si tiene que cargar más.

La función que describe el volumen restante de gasolina resulta:

1

fx 40 − x

() = 10

Realiza lo siguiente:

1. Te sugerimos que apliques lo aprendido en el primer ejemplo y deduzcas esta función.

Conforme determines el rango de la función y la grafiques, podrás ir respondiendo a las siguientes preguntas o completando las proposiciones. Al agotarse la gasolina el automóvil habrá recorrido ______________________

kilómetros. ¿Puede recorrer 1.5 km?. ¿Puede gastar 2.75 litros de gasolina?.

95

Explica por qué el dominio de la función es: D ={ x ∈IR / 0 ≤ x ≤ 400 } Completa el siguiente conjunto que representa el rango de la función. R ={y ∈IR /}

Observa que el automóvil puede recorrer kilómetros o fracciones de kilómetro, al igual que consumir litros o mililitros de gasolina. Por esta razón la gráfica puede obtenerse con una sucesión continua de puntos de tal forma que se traza mediante una línea recta y se le denomina función continua.

0

Gráfica 26

Ahora nos ocuparemos de la gráfica de una función cuyos valores no sean enteros. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Ejemplo 4

Se lanza un proyectil cuya trayectoria se describe con la función:

f(x)=-0.1x2+x (Recuerda que los proyectiles siguen trayectorias parabólicas) Unos segundos después se lanza un antiproyectil cuyo movimiento se calcula con la

función: g(x) = -0.1x2 + 3.6,

96

y que está diseñado para interceptar al proyectil y destruirlo. Traza las curvas que representen las trayectorias de los móviles y determina las coordenadas del punto de intersección.

2. A continuación hemos calculado los valores f(0) y f(2.5), así como el de g(0). Prosigue

con los cálculos de los valores de f(5), f(7.5), f(10) y g(0), g(1.5), g(3), g(4.5) y g(6). En seguida elabora una tabla para el dominio y rango de f(x) y otra para g(x), trazando ambas gráficas en el mismo sistema cartesiano a fin de que identifiques el punto de encuentro entre proyectiles.

xf(x) = -0.1×2 + xy
0f(0) = -0.1(0)2 + 00
f(2.5) = -0.1(2.5)22.5+1.85
f(5) =
f(7.5) =
f(10) =

 

xg(x) = -0.1×2+3.6y
0g(0) = -0.1(0)2+3.63.6
1.5g(1.5) =
3g(3) =
4.5g(4.5) =
6g(6)* =

 

 

 

 

Tabla 20 Tabla 21

Al completar la gráfica nos damos cuenta que es laborioso encontrar el punto en donde se van a interceptar el proyectil y el antiproyectil. Es por ello que a continuación aplicaremos métodos algebraicos para calcular el punto de intersección, y esto se hace igualando ambas funciones y obtener la otra coordenada del punto de intersección.

Proyectil Antiproyectil

gx 2 + .

fx () =−01. x2 +x () =−01.x 36

Se igualan las dos funciones:

2 .x2 36 Q x =36

−01 . x +x =− 01 + ..

Se resuelve la igualdad:

Se sustituye el valor “x” en una de las funciones:

2

f( .) =− . (.) +36.

36 0136 =− .(. ) + .

01 1296 36 =−. + .

1296 36 = .

2 304

Entonces el punto de encuentro de los móviles es: P( 3.6, 2.304 ) Corrobora ésto mediante aproximaciones en la gráfica que traces.

x

Gráfica 27

FUNCIÓN DE TERCERA POTENCIA

Ejemplo 5

Una empacadora de sardinas emplea latas cilíndricas. Encuentra el volumen de una de esta latas como función del radio, de tal forma que la altura mida 3 cm más que el radio. Puedes partir de las dimensiones consideradas en la siguiente figura (3).

h= altura v= volumen r= radio

f + 3

Figura 4

Si usas la fórmula que aprendiste en tus clases de Geometría para calcular el volumen del cilindro obtendrás lo siguiente:

v=πr h2 como h =r+3 entonces;

32

vr()=πr2(r+3)realizando el producto se obtiene la función Vr()=πr +3πr

Una vez que diseñes la función, podrás trazar la gráfica y determinar el dominio, el rango, la concavidad y los puntos de intersección con los ejes cartesianos.

La gráfica corresponde a la función Vr()=πr +3πr pero recuerda que para el caso del volumen únicamentenos interesa los valores positivos del radio, ya que no se pueden asignar dimensiones negativas a dicho radio.

 

 

 

 

 

 

 

Realiza lo siguiente:

Para ejercitar el aprendizaje aplica tus conocimientos en la solución de los siguientes interrogantes mediante los cuales desarrollarás el modelo de una función e identificarás sus propiedades.

Todos los días lees libros, periódicos, revistas o anuncios. ¿Te habías imaginado que la acción de imprimir tiene que ver con el uso de funciones?.

Piensa que tienes una imprenta y debes imprimir un folleto. La hoja debe tener 24 cmde impresión y necesitas calcular las dimensiones que te permitan ahorrar el máximo de papel.

¿Qué debes reducir de la hoja, lo más que sea posible, en el momento de cortar el papel?. Representa algebraicamente el largo y el ancho de la hoja. Si los márgenes izquierdo y derecho son de 1.0 cm y el superior e inferior 1.5 cm, ¿cómo representas las dimensiones del rectángulo que formará la impresión de la hoja?.

largo: ancho:

Usa estas dimensiones para que representes el área impresa que escribirás igual a los 24 cm 2 . ¿Te has dado cuenta que obtuviste una ecuación con dos incógnitas que corresponden al largo y al ancho del papel?. De esta expresión, despeja el valor del ancho de la hoja y con el valor despejado y la otra dimensión de la hoja representa algebraicamente el área de la misma. Acabas de obtener la función área con una de las dimensiones como variable independiente.

En el conjunto que aparece enseguida escribe los valores que puede tomar la variable independiente de dicha función:

L = {}

¿Cómo se le llama a este conjunto? ¿Cuáles serán los valores que resultan para el área a partir de cada valor del conjunto anterior?.

A = {}

¿Qué nombre recibe este conjunto?.

100

o bien

y2 + 6y

Ay = 3(),

()

y− 2

donde y representa el ancho de la hoja dependiendo la dimensión x o y se haya elegido como variable independiente. Ahora puedes graficar la primera función, y localizar su dominio, rango y puntos de intersección con los ejes.

EXPLICACIÓN INTEGRADORA

Hasta aquí hemos podido establecer algunas conclusiones como son las siguientes:

− Recuerda que a las relaciones entre los elementos dados de un conjunto que siguen una regla de correspondencia o comportamiento se les ha dado el nombre de funciones.

− A un valor del Dominio (D), le corresponde uno y solo un valor del Rango (R).

− Algunas características que presenta una función constante son que sus puntos que aparecen en la gráfica correspondiente se encuentran a la misma altura, alineados horizontalmente y además de que tienen la misma ordenada.

− Por el contrario cuando en una gráfica del plano cartesiano resulta una serie de puntos aislados entre sí, se dice que es una función discreta (ver ejemplo gráfica 5).

− Cuando solo aparece una sucesión continua de puntos en una gráfica, y éstos se trazan a través de una línea recta se le denomina función continua (ver ejemplo gráfica 6).

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

A continuación se presentan lo siguientes ejercicios, con la finalidad que apliques los conocimientos que has alcanzado; si se te presentara alguna duda en cuanto a su graficación, consulta tu asesor de Matemáticas.

Desarrolla una tabulación para cada una de las siguientes funciones, localiza los puntos en el plano cartesiano, bosqueja la curva que representa e identifica sus intervalos de concavidad, los valores aproximados de los puntos máximo o mínimo y de las intersecciones con los ejes cartesianos.

32 32

1. fx() =−x +450x +52500x 2. fx() =−x −x +3x −2

Función 1

Función 2

102

3. fx=x x 4. ()x-32

()43fx= 4 x+4

Función 3 Función 4

4 15

23

5. fx=x -x 6. ()x-x

()fx=

5

Función 5 Función 6

 

 

 

 

 

 

103

4 432

7. fx=x-x+9 8. f(x) = x − 4x +3x

()102

 

 

 

 

 

 

 

 

7 Función 8

1

32 3

9. fx()x+x-x-10. ()-x

= 44fx=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

11. f()xxx–+1 12. () x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Función 12

105

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