1.1.2.1 Método por Tabulación
Por medio de una tabla investiguemos cómo las variaciones de la base afectan al área del triángulo. Para elaborar la tabla daremos diferentes valores que podría tomar (x la base).
- ¿Puede ser x=0 metros?. ¿Cuál sería el área del terreno para x=0 m.
- ¿Puede ser x=28 metros, si la base fuera de 28m. ¿Cuál sería el área?.
- ¿Pueden ser x=6.8 metros? x=18.99 m. Y x=21.765 m. Justifica tu respuesta.
Por último si x=6.8m. x=18.99 m . Y x= 21.765 m. ¿Cuál sería el área del rectángulo?. Justifica tu respuesta.
Habrás llegado a la conclusión de que el conjunto de todos los posibles valores para x está formado por todos los números reales mayores o iguales que cero y menores o iguales que 28. El conjunto anterior se denota de la siguiente manera:
{xIR /0 ≤ x 28 }
∈≤
x es un número real tal que x es mayor o igual a cero pero x es menor o igual a 28 También puede usarse la notación de intervalos:
[0,28] , la cual representa al conjunto de los números 0, 28 y todos los números reales que hay entre cero y 28. Su representación gráfica es la siguiente:
intervalo [0,28] ,
0 28
Gráfica 1
Realiza el siguiente ejercicio:
Haz una lista de más de 28 números reales entre cero y 28.
Una vez que se ha determinado el conjunto de valores admisibles para la variable independiente, se procederá a elaborar la tabla asignando a x algunos de los valores permitidos. Los correspondientes valores de y se obtienen sustituyendo los de x en la igualdad y x228x .
=-+
| x | y | |
| (base en | f(x)=-x2+28x | (área en m2) |
| metros) | ||
| 0 | f(0)=-(0)2+28(0)=-0+0= | 0 |
| 1 | f(1)=-(1)2+28(1)=-1+28= | 27 |
| 3 | f(3)=-(3)2+28(3)=-9+84= | 75 |
| 5 | – | |
| 7 | – | |
| 9 | – | |
| 11 | f(11)=-(11)2+28(11)=-121+308= | 187 |
| 13 | f(13)=-(13)2+28(13)=-169+ = | 195 |
| 15 | f(15)=-(15)2+28(15)=-225+ = | 195 |
| 17 | f(17)=-(17)2+28(17)=-289+ = | 187 |
| 19 | f(19)=-(19)2+28(19)=-361+ = | – |
| 21 | f(21)=-(21)2+28(21)=-441+ = | 147 |
| 23 | f(23)=-(23)2+28(23)= | – |
| 28 | f(28)=-(28)2+28(28)= | – |
Tabla 2
Observa la tabla 2 y anota los números que faltan. ¿Cómo varía el área del rectángulo al variar la base?.
− En la tabla se aprecia que desde x=0 metros hasta x= 13 metros el área aumenta, y para x > 15 el área disminuye.
− ¿Cuál es el mayor valor para el área que se encuentra en la tabla?. ¿Es el mayor valor posible?. ¿Crees que para valores de x comprendidos entre 13 y 15, esto es, para toda x, tal que 13 < x < 15, el área se mantenga igual a 195,
− De la tabla 2 se deduce que la medida x de la base para lo cual se obtiene el valor máximo del área se encuentra entre 13 y 15 metros, es decir, 13< x < 15.
− Construyendo una gráfica podrán apreciarse con más claridad las relaciones entre la base y el área del rectángulo. Para elaborar la gráfica localizamos en el plano cartesiano los puntos correspondientes a los pares de números que se encuentran en la tabla 2. Sobre el eje horizontal se ubican los valores de la variable independiente, x (base), y sobre el eje vertical los de la variable dependiente, y (área).
Podemos obtener más puntos al considerar otros valores de x entre 0 y 28, más aún, el conjunto de los números reales mayores que 0 y menores que 28 es infinito, así que en realidad la gráfica consta de un número infinito de puntos; si todos se dibujaran se obtendría una línea sin interrupciones. Por eso, una vez ubicados los puntos, los unimos por medio de una línea continua (gráfica 2).
La gráfica que hemos obtenido es una curva llamada parábola y el punto más alto de esta parábola se denomina vértice; la ecuación de la parábola es: y =−x2 +28x
| x | y |
|---|---|
| 2 | 52 |
| 5 | 115 |
| 8 | 160 |
| 19 | 171 |
| 20 | 160 |
Tabla 3
Nota: Observa la gráfica 2 y recuerda que el concepto de función nos indica que a cada valor de “x” le corresponde uno de “y” (por ordenada). − ¿Para qué valores de x el área del rectángulo va aumentando?. − ¿En qué intervalo de valores de x el área va disminuyendo?. − ¿Qué relación hay entre el vértice de la parábola y el valor máximo del área?.
De la gráfica 2 concluimos que: El área crece para valores de x desde 0 hasta un número entre 13 y 15, a partir del cual disminuye.
El área decrece para valores de un número entre 13 y 15 hasta 28. La ordenada (y) del vértice es el valor máximo del área y su abscisa (x) es la longitud de la base que hace máxima el área del rectángulo. Por lo tanto, encontrando las coordenadas del vértice tendremos la solución a nuestro problema. ¿Cómo pueden determinarse las coordenadas del vértice?. Por la gráfica sabemos que la abscisa x, del vértice está entre 13 y 15, y que su ordenada, y, es un poco mayor que 195. La gráfica nos proporciona únicamente una solución aproximada. Ensayemos otro método.