La fórmula para el término general n-ésimo ƒ(n) como función de n de la sucesión geométrica está dada implícitamente en la fórmula recurrente.
(26) ƒ(n) = qƒ(n-1)ƒ(n) = a,
donde: ƒ(n) es el resultado de multiplicar (n-1) veces a la razón q por la condición inicialn-1 ƒ(1)
ƒ(1) = a, esto es: ƒ(n) = q
(27) ƒ(n) = qn-1 a Fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica.
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN
Demuestra la siguiente propiedad de las sucesiones geométricas: Cada término de una sucesión geométrica de números positivos, excepto para el primero, resulta ser la media geométrica de sus vecinos.
Recuerda que la media geométrica de dos números positivos a y b es, por definición, la
raíz cuadrada de su producto: ab y los vecinos de ƒ(k) son ƒ(k-1) y ƒ(k+1).
En este tema, haremos una integración de los dos anteriores, de tal manera que a partir de un problema concreto obtendremos su función lineal, la tabulación y la gráfica correspondiente.
Es muy importante que todos los problemas que integran este tema, los resuelvas previamente en tu cuaderno, y posteriormente compares tus procedimientos con los que te proponemos. Recuerda que si tienes dudas y no las puedes resolver con el contenido de este fascículo, puedes consultar otras bibliografías o a tu asesor. Observa cada uno de los problemas que a continuación se exponen a manera de ejemplo:
PROBLEMA
El precio de un radio es de $200.00 al contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual fijo de $10.00.
a) ¿Cuánto debe pagarse si se compra al contado o en plazos de 1,2,3,4,5 ó 6 meses?
b) Tabula y construye la gráfica. c) Anota la expresión algebraica que determina la regla de correspondencia de la
función. RESULTADO a) Al comprarlo en abonos se tendrá que pagar:
A un mes 200 + 10 ( 1 ) = 210 dos meses 200 + 10 ( 2 ) = 220 tres meses 200 + 10 ( 3 ) = 230 cuatro meses 200 + 10 ( 4 ) = 240 cinco meses 200 + 10 ( 5 ) = 250 seis meses 200 + 10 ( 6 ) = 260
b ) Los datos anteriores nos dan la tabla y la gráfica siguiente:
x
y = f (x)
0
200
1
210
2
220
3
230
4
240
5
250
6
260
Gráfica 17
c) Por lo tanto, la cantidad que debe pagarse en un plazo de x meses es: f (x) = 200 +10x
la cual es la expresión algebraica que determina esta función.
40
PROBLEMA:
Patricia pide prestado a Inés $500.00 Inés le dice que le da seis meses de plazo para pagarle, cobrándole $10.00 de interés por cada mes. a) ¿Cuánto tendrá que pagar a Patricia si le paga a Inés el mismo día o en 1,2,3,4,5 ó 6
meses? b) Tabula y construye la gráfica. c) Encuentra la expresión algebraica que determine la función que describe al problema. SOLUCIÓN: a) Tendremos que designar una incógnita que represente el número de meses, que en
nuestro ejemplo será x. Entonces: Para cero meses, Patricia pagará $500.00 + 10(0) = $500. Para un mes, $500.00 + 10(1) = $510. Para dos meses, $500.00 + 10(2) = $520. Para tres meses, $500.00 + 10(3) = $530. ¿Cuánto deberá pagar los meses restantes del plazo?. b) Si tabulas los datos anteriores tendrás la siguiente tabla:
x
y
0
500
1
510
2
520
3
530
4
540
5
550
6
560
41
Por lo tanto, la gráfica es:
Gráfica 18
c) Con base en la proposición del inciso a) podemos establecer la expresión solicitada, que es:
f (x) = 10x + 500
Te habrás dado cuenta que si damos valores a x (variable independiente) para encontrar los respectivos valores de y (variable dependiente) y además unimos los puntos en el plano cartesiano coordenado, éstos forman una recta que representa la gráfica de una función lineal cuyo modelo algebraico es:
y = ax cuando la recta cruza el origen
y = ax + b cuando la recta no cruza el origen
donde a y b son valores reales (IR) y a ≠ 0.
A partir de estas actividades, podrás aplicar tus conocimientos de la función lineal, a problemas concretos, relacionados con diversos fenómenos.
El señor Ávila renta un auto en $50.00 diarios más $2.50 por kilómetro recorrido: a) Calcula el gasto que le produce recorrer en un día 40, 60, 90, 120, ó 160
kilómetros, y tabula los resultados. b) ¿Cuál es la expresión algebraica de este problema?. c) Grafica la expresión algebraica.
La compañía Delta obtuvo un préstamo por $15 000.00, pero el banco le cargará el 3% mensual de intereses: a) Calcula lo que la compañía deberá pagar en 0,1, 2, 3, 4 ó 5 meses, y tabula los resultados.
b) ¿Cuál es la expresión algebraica de este problema?. c) Grafica los resultados.
La señora Lulú va a hornear un pastel, pero la escala de su horno está en grados farenheit (°F) y su receta indica grados centígrados (°C), entonces le pide ayuda a su hijo y éste le dice: “Multiplica los grados centígrados por 9/5 y al resultado le sumas 32 y tendrás los grados farenheit”. Con este enunciado obtén lo siguiente:
a) Los grados farenheit cuando la señora Lulú utilice el horno en 100, 115, 135 y 145 grados centígrados, y tabula los datos.
b) La expresión algebraica del problema.
c) Los resultados mediante una gráfica.
4. En una prueba de tiempo durante una práctica de carreras de autos, uno de ellos registró los siguientes resultados:
En una hora recorrió 80 km; en dos horas, 160 km; en tres horas, 240 km; en cuatro horas, 320 km y en cinco horas, 400 km. La distancia que recorre el auto está en función del tiempo, por lo tanto:
a) Construye la gráfica del problema.
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que denota la distancia recorrida en función del tiempo?.
5. Como la circunferencia de un círculo está en función de π veces su diámetro, entonces a) ¿ Cuál es la circunferencia del círculo cuando el diámetro mide 1,2,3,4 o 5 metros?; tabula los resultados.
b) Encuentra la expresión algebraica del problema.
c) Construye la gráfica.
6. La estatura de un hombre se puede calcular, conociendo la medida del hueso húmero, la cual se multiplica por 2.89, y al resultado se le suma 70.64, entonces:
a) ¿Cuál es la estatura de un hombre cuyo hueso húmero mide 30, 33, 37 o 40 centímetros?; tabula los resultados.
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que da la estatura del hombre cuyo hueso húmero tiene x centímetros de largo?.
c) Construye la gráfica.
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Recuerda que los valores de la función lineal se pueden registrar mediante una tabla de valores. Esta asigna a cada valor “x” (variable independiente) un sólo valor a “y” (variable dependiente), es decir:
x
y
x1
y1
x2
y2
.
.
.
.
.
.
xn
yn
Los valores de la función se obtienen a través de la regla de correspondencia:
f (x) =ax+b donde y= f(x)
donde “a” y “b” son numeros reales y = a ≠ 0.
El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) de la tabla representan puntos en el plano cartesiano, los cuales determinan la gráfica de la función lineal al unirlos por medio de una línea recta; esto nos lleva a una conclusión importante:
La gráfica de la función lineal es una línea recta
El valor extremo absoluto de una función cuadrática con dominio igual a es su valor máximo o mínimo, según el caso. Con anterioridad se ha visto que la ordenada del vértice de la gráfica de una función cuadrática es el valor máximo o mínimo de una función, por ello los resultados de esta sección nos permiten hallar el valor extremo de la función.
Gráfica 13
Realiza la siguiente actividad considerando lo anterior: A) Calcula el valor máximo de la función, con dominio dada por:
y=-x2 150 +9000
5+ x
A partir de este resultado, resuelve el problema del inicio del capítulo.
Solución. La reducción en la tarifa para lo cual se obtiene el máximo ingreso es de 15 dólares. El ingreso máximo es de 10125 dólares.
En el fascículo y capítulo anterior estudiaste algunas funciones polinomiales, como las lineales y las cuadráticas, ambas te permitirán describir y analizar diversas situaciones que constantemente se presentan en nuestra vida diaria.
Para este capítulo:
¿Qué aprenderás?
A conocer y a desarrollar los modelos de funciones polinomiales en la representación gráfica, además identificar sus elementos y características de cada una de ellas.
¿Cómo lo lograrás?
Considerando el estudio previo que debes tener sobre la función lineal y cuadrática, la tabulación y su representación gráfica, así como la solución de ecuaciones que además se revisaron en capítulos anteriores, te serán de gran ayuda para poder graficar y clasificar las funciones polinomiales
Con el logro de estos conocimientos lograrás identificar las características de los modelos algebraicos, conocer el concepto general de función y la clasificación de funciones, para que puedas resolver diferentes fenómenos naturales, económicos y sociales.
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