Como ya se indicó, la utilidad de la matriz radica en que permite cuantificar las interrelaciones de los diversos sectores de la economía, a fin de examinar las repercusiones que sobre cada uno de ellos tendría una modificación en su demanda final. Al incrementarse la producción de cualquier artículo manufacturado (de demanda final), para satisfacer una mayor demanda del mismo, no bastará con aumentar en esa magnitud el valor bruto de la producción, sino que será necesario elevarlo en una proporción mayor, pues la industria afectada incrementará la compra de materias primas indispensables en el proceso de producción; por lo tanto, este crecimiento de insumos exigirá, a su vez, un aumento en la producción de las industrias que lo suministran.

Esto significa que la materia prima dependerá del incremento en la producción de la industria afectada. Esta relación se conoce como coeficiente técnico de producción y es un reflejo de la estructura de costos, lo que indica la magnitud tanto de las materias primas como de cada uno de los factores productivos que le son necesarias para producir una unidad de valor bruto de producción.

Lo anterior presupone que la relación funcional entre insumos y producción bruta es de carácter lineal; es decir, que todos los insumos correspondientes a cada uno de los sectores varían en la misma proporción en que se modifique la producción bruta de ese sector.

Si se desea satisfacer el aumento de la demanda de un producto cualquiera, los coeficientes técnicos de producción permiten determinar cuánto tendrá que incrementarse la producción, no sólo de la industria correspondiente sino también de todos los otros sectores de la economía que proporcionan los bienes y servicios requeridos. Pero a su vez, la mayor producción de los otros sectores destinada a proporcionar las materias primas y servicios que necesita la industria afectada, exige el abastecimiento de insumos intermedios para llevar a cabo el proceso productivo, lo que de nuevo repercutirá sobre las necesidades de producción de todos los sectores.

La interdependencia existente entre las distintas actividades económicas origina una cadena de reacciones, comprometiendo nuevos sectores. Lo que se trata de cuantificar, a través del modelo de insumo-producto, no son los efectos directos sino los indirectos que pueden tener el incremento en la actividad de un sector específico, por lo cual será preciso determinar los coeficientes de requisitos directos e indirectos por unidad de demanda final, con la finalidad de conocer todas las repercusiones que tendrán sobre las necesidades de producción de cada sector, un aumento en la actividad de cualquier industria destinada a satisfacer la producción bruta, que tendrá que alcanzarse en cada sector para satisfacer una demanda final dada.

Coeficientes técnicos de producción

Para conocer las relaciones directas de producción entre cada uno de los sectores se determinan los coeficientes técnicos de producción que representan el monto de los insumos intermedios que necesita un sector ij para producir una unidad de valor bruto de producción. Esta relación se conoce con la literal aij y significa lo que tiene que comprar el sector j al sector i para producir una unidad de valor bruto de producción, obteniéndose a través de la división del insumo entre el total del valor bruto de la producción del sector que compra:

aij = xijXj

Por lo tanto, la cantidad de insumos que necesita el sector j del sector i (xij) para alcanzar un cierto nivel de producción bruta, se determina multiplicando el coeficiente técnico respectivo (aij) por el valor bruto de la producción del sector j (xj).

Xij = aij · Xj

Dada esta relación lineal dentro de la función de producción, la suma – desde el punto de vista vertical de la matriz- de todos los coeficientes técnicos de producción debe dar la unidad, en virtud de que muestra la estructura de costos para producir una unidad de valor bruto de producción. Mientras que la demanda, vista horizontalmente, no debe sumar la unidad por la sencilla razón de que lo que se relaciona son las compras por unidad de valor bruto de la producción, pero no las ventas.

Los coeficientes, al igual que los insumos, registran dos subíndices; el primero (de izquierda a derecha) indica el sector que proporciona los insumos intermedios, y el segundo el que los compra. En términos generales, podría ilustrarse una matriz de coeficientes técnicos, correspondiente al cuadro de transacciones intersectoriales, en la siguiente forma:

Cuadro35. Cuadro de transacciones intersectoriales.

	Ventas	Demanda intermedia
Compras		1	2	3
	1	a11	a12	a13
	2	a21	a22	a23
	3	a31	a32	a33

Si se multiplican los coeficientes técnicos de producción por el valor bruto de la producción del sector que compra se obtienen, horizontalmente, las ventas intermedias de un sector y, verticalmente, las compras de ese sector.

Sector 1:

a11X1 + a12X2 + a13X3 +… = total de ventas intermedias

a11X1 + a21X1 + a31X1 +… = total de compras intermedias

Con base en las cifras proporcionadas en el cuadro 39, correspondiente a la matriz de insumo-producto de una economía cerrada, se obtiene la siguiente matriz de los coeficientes técnicos de producción para cada uno de los sectores, corroborándose la afirmación de que verticalmente la suma de dichos coeficientes es igual a la unidad.

Modelo de insumo-producto

La importancia del modelo de insumo-producto radica en que ilustra como tiene que modificarse todo el flujo de transacciones intersectoriales y, por lo tanto, los niveles de producción bruta, para hacer frente a un cambio de nivel o composición de la demanda final; también proporciona los instrumentos de cálculo que permiten cuantificar esas modificaciones. En primer término, se analizará el modelo cerrado y, en segundo, el modelo abierto.

Modelo cerrado

El modelo cerrado de Leontief relaciona la producción bruta de un sector con su propia demanda final y con las producciones brutas de los demás sectores; por consiguiente, la producción bruta de un sector cualquiera es igual a sus ventas de demanda final más sus ventas a otros sectores productivos, que a su vez depende de las producciones brutas de los mismos y de los coeficiente técnicos; es decir:

X1 = a11X1 + a12X2 + a13X3 +… + a1nXn + Y1

Esta relación y la cuantificación de las ventas intermedias y valores brutos de producción se pueden determinar matricialmente. La matriz de los coeficientes técnicos de producción (A) multiplicada por la matriz columna de la demanda final (Y), da como resultado la matriz columna de los valores brutos de producción de cada uno de los sectores:

AX + Y = X

El modelo permite cuantificar los valores de la producción bruta de cada sector, para satisfacer esas demandas finales y los insumos correspondientes; con esto se trata de determinar las demandas finales. Despejando éstas y considerando únicamente tres sectores, el sistema de ecuaciones será el siguiente:

X1 – (a11X1 + a12X2 + a13X3) = Y1

X2 – (a21X1 + a22X2 + a23X3) = Y2

X3 – (a31X1 + a32X2 + a33X3) = Y3

Desde el punto de vista matricial, la resolución de tal sistema de ecuaciones quedaría representada de la siguiente manera: (1-A) X = Y; es decir, a la matriz unitaria se le resta la matriz de los coeficientes técnicos de producción y a la matriz resultante se le multiplica por la matriz columna de los valores brutos de producción y se obtiene la matriz de las demandas finales:

(1 – A) X = Y

– 3 · 3

· 3 · 3

X1 X2 X3

= 3 · 1

Y1 Y2 Y3 3 · 1

La matriz de Leontief es la que resulta después de restarle a la unitaria la matriz de los coeficientes técnicos de producción:

Matriz de Leontief (1 – A)

El modelo cerrado limita el análisis económico porque explica de manera endógena las demandas finales así como las magnitudes de los valores brutos de producción y de insumos para cada sector. De existir un cambio en la demanda final sería preciso determinar, nuevamente, un sistema de ecuaciones para conocer los niveles de producción. En virtud de que la demanda es autónoma dentro del modelo se le debe considerar como variable exógena, pues lo que se quiere determinar es a cuánto debe ascender la producción bruta total, incluido el monto de insumos, dado un nivel de demanda final; el modelo abierto trata de contestar a estas preguntas.

Modelo abierto

Este modelo trata de relacionar la producción bruta de un sector con las demandas finales de todos los sectores, es decir, considera no sólo las necesidades de producción para satisfacer la demanda final, sino también todas las cadenas de reacciones que ello implica en las transacciones interindustriales.

Para cuantificar los efectos directos e indirectos, o sea, para conocer esa cadena de reacciones que trae aparejado una variación en la demanda final se determina los coeficientes de requerimientos directos e indirectos de producción, que se obtiene mediante la operación matemática de invertir la matriz de Leontief (1-A)^-1.

Así como el coeficiente técnico de producción (aij) representa la cantidad de insumos que tiene que comprar el sector j al sector i para que el primero produzca una unidad de valor bruto de producción, el coeficiente de requisitos directos e indirectos de producción rijindica la producción que tiene que realizar el sector i para satisfacer directa o indirectamente una unidad de producción de demanda final del sector j.

A fin de conocer la magnitud de los valores brutos de producción de cada uno de los sectores, a partir de cierto nivel de demanda final y con base en los coeficientes de requerimientos directos e indirectos de producción, se llega al siguiente conjunto de ecuaciones:

X1 = r11Y1 + r12Y2 + r13Y3

X2 = r21Y1 + r22Y2 + r23Y3

X3 = r31Y1 + r32Y2 + r33Y3

La resolución de este sistema de ecuaciones, desde el punto de vista matricial, quedaría representada como sigue:

(1 – A) ^-1 Y = X, o bien: R · Y = X

Una de las características de la matriz de los coeficientes de requerimientos directos e indirectos es que todo rij es mayor o igual que cero, pero por regla general menor a la unidad (1> rij ≥ 0) y todo rij es igual o mayor a la unidas (rij ≥ 1). La explicación desde el punto de vista económico es que, en el primer caso, como no puede haber producción negativa, todo rij debe ser positivo e igual a cero cuando no existe interdependencia alguna con los demás sectores; en el segundo, todo rij tiene que ser mayor a la unidad porque además de producir esa unidad de demanda final tendrá que producir los insumos necesarios para satisfacer directa o indirectamente la producción de esa unidad, y es uno cuando no existe ninguna relación intersectorial.

A través del modelo abierto se puede realizar proyecciones de los valores brutos de producción necesarios para satisfacer los cambios de la demanda final. El modelo de insumo producto tiene las siguientes limitaciones:

a) Supone que la producción sectorial corresponde a un solo bien elaborado con una misma técnica.

b) Supone que no ocurrirán cambios tecnológicos que afecten la estructura productiva

de los diversos sectores lo que significa que para una determinada producción se

requerirá siempre de proporciones fijas de insumos.

c) Supone que todos los insumos correspondientes a cada uno de los sectores tendrá que variar en la misma proporción en que se modifique la producción bruta de ese sector, es decir, la relación funcional entre insumos y producción bruta es de carácter lineal.

Sin embargo, en la utilización del modelo no se consideran los cambios tecnológicos, variedad de técnicas, los diversos productos elaborados en cada sector y las modificaciones en el proceso productivo, no obstante, es de gran utilidad para el análisis económico.

Cuadro 38. Matriz de insumo – producto (economía abierta) (millones de pesos)