Analiza la situación siguiente: En una región de África, considerada como reserva ecológica, un grupo de biólogos ha obtenido datos sobre la relación que hay entre el número de animales herbívoros y el número de animales depredadores, y los ha graficado (figura 20). Ellos desean construir un modelo matemático que se ajuste a los datos que han obtenido.

Tabla 15

Gráfica 20

Como los puntos de la gráfica tienen una disposición parabólica, se traza la parábola que mejor se ajuste a la serie de puntos. La curva corta al eje x en x=50 y x =150, de modo que estos valores de x deben ser soluciones de la ecuación f(x)=0.

La regla de correspondencia de la función debe ser de la forma y = ax²+bx+c con a < 0

Como las soluciones de la ecuación, son x₁ = 50y x2 = 150 . Y si igualamos a cero dichas soluciones, obtenemos las expresiones x-50=0; x-150=0.

Al realizar el producto de ambas expresiones igualado a cero, (x-50) (x-150)=0; obtenemos una ecuación cuadrática, cuyas soluciones son las intersecciones de la gráfica con el eje “x”.

Dicha ecuación es: x² − 200x+ 7500 = 0

64

Esto nos hace pensar que la función que buscamos es:

2

yx=−200x +7500 (1) pero en la figura 18 se advierte que el vértice de la gráfica es V(100, 500). Si a la ecuación (1) le damos la forma común para encontrar las coordenadas del vértice de su gráfica, obtenemos:

2

y =(x −100) −2500 (2)

Por lo tanto, el vértice está en (100, -2 500).

Del estudio de la sección correspondiente al vértice de la gráfica de una función cuadrática se deduce que si multiplicamos el segundo miembro de la igualdad (2) por un número menor que 1, la gráfica se acortará.

Al realizar el producto de ambas expresiones igualado a cero, (x-50) (x-150)=0; obtenemos una ecuación cuadrática, cuyas soluciones son las intersecciones de la gráfica con el eje “x”.

Dicha ecuación es: x² − 200x+ 7500 = 0

Esto nos hace pensar que la función que buscamos es:

yx=−200x +7500 (1) pero en la figura 18 se advierte que el vértice de la gráfica es V(100, 500). Si a la ecuación (1) le damos la forma común para encontrar las coordenadas del vértice de su gráfica, obtenemos:

y =(x −100) −2500 (2)

Por lo tanto, el vértice está en (100, -2 500).

Del estudio de la sección correspondiente al vértice de la gráfica de una función cuadrática se deduce que si multiplicamos el segundo miembro de la igualdad (2) por un número menor que 1, la gráfica se acortará.

Multiplicando el segundo miembro de (2) por -1/5 obtenemos:

12  1

y =− (x −100)+500 “Porque −2500 ⎜− ⎟=500 ” (3)

5 ⎝5⎠

Las coordenadas del vértice de la gráfica de la ecuación (3) son justamente las que necesitamos. Los puntos de intersección de la gráfica de esta ecuación con el eje X son (50, 0) y (150, 0). Por lo tanto, la función que se ajusta a los datos obtenidos es:

fx =− (x −100) +500 de donde la función original es () =− x +40x −1500

() fx

Resuelve lo siguiente:

Comprueba que la función anterior se ajusta a los datos del problema y luego calcula en forma algebraica las coordenadas de los puntos de intersección con el eje X y traza su gráfica.

Durante el estudio de los problemas planteados en este trabajo se construyeron las gráficas de las funciones cuadráticas, con el fin de que puedas comprobar y/o reafirmar resultados: además repasa lo siguiente:

−Recuerda que para la solución de estos problemas, se revisó el método de completar

2

el trinomio cuadrado perfecto: ax +bx+c =0 , a =/0 de este método se deriva la solución por medio de la fórmula general:

,a =/0

2a

El discriminante es b² – 4ac

−La solución de una ecuación cuadrática depende del valor de la expresión b² -4ac, la cual recibe el nombre de discriminante de la ecuación.

Una vez que se han explicado los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, éstos métodos los podrás aplicar en la solución de problemas que conducen a una ecuación de segundo grado.

A continuación podrás verificar los resultados de los ejercicios del apartado anterior.

1. a) x₁=6;x₂ =-6

b) x=14x₂=1/

₁ /; -4 c) x₁=0;x₂ =3 d) x₁ =0;₂ −/

x =32

2. a) x₁=3;x₂ =-2

b) x₁=32/;x₂=-2/3 c) x₁ 1 10;x²=1 10

=+ −

d) x₁=-4+ ²;x₂-4-²

77

3+ 57 357

−−

e) x_{1 2} ;x₂ = ₂

f) x₁ =1;x₂ =2

3.

a) Vértice P (-1/2, -25/4) Intersección con X ⇒P, (2,0); P2 (-3,0) Intersección con y, P( 0, -6 ) La gráfica es cóncava hacia arriba Eje de simetría x = -1/2 Valor mínimo y = – 25/4

112

b) Rango R( −24 ≤ y ≤ 18)

P( 10 P

Intersección con x ⇒−20, ); P(, ); ( , ) 30

1 23

Intersección con y ⇒ P₁(,)

06

Valor máximo y = 8

Valor mínimo y = -4

c) Rango R(−≤1y ≤56 ) Intersección con x P(/,)120 ;(,)₁ P₂ 10

Intersección con y P (0, -1)

Valor mínimo y = -1

4.

2

y =−150x +1500 x +30000

a) Modelo: y= (300-15x) (100+10x) ⇒

3

3₂

2

y =− x +150x +30000

ó y=(300 -x)(100 +x) ⇒

2

2

Para obtener la máxima ganancia, se debe cobrar $150.00 lo cual arroja $ 33, 750.00

113

b) Ecuación :

[ (x + 5) + x) ][ (⁴ (x + 5) ]

(Bbh + ) ₅4₂

A =⇒ 100 =⇒ x + 6x + 10 = 0

2 25

Las formas más usuales para definir una sucesión son las siguientes:

• Obtener el enésimo término o término general
• Forma recurrente de definir una sucesión.

1. Mediante una fórmula que exprese el término general n-ésimo ƒ(n) a través de su variable n; por ejemplo, si ƒ(n)=n³, entonces automáticamente podrás escribir el valor de la sucesión para n= 1,2,3,4,5 en la tabla.

Dada la fórmula del término general ƒ(n)=n³, de inmediato se puede escribir cualquier valor de la sucesión; por ejemplo, los requeridos en las preguntas anteriores son el segundo término de la sucesión dada por: ƒ(2)=2³ = 8, obtenido de sustituir n= 2 en ƒ(n)=n³ y en el quinto término la sucesión dada por f(n)=5³=125 obtenido de sustituir n=5 en ƒ(n)=n³ El conocer varios términos de una sucesión no determina en forma única el n-ésino término; por ejemplo, para 1,4,9,16,…un posible término n-ésimo sería ƒ(n) = n², cuyo quinto término sería 5² = 25: pero también podría ser ƒ(n) = n² +(n+1) (n-2) (n-3) (n-4),

cuyos primeros cuatro términos son iguales, más el quinto sería ƒ(5)=5²+(5-1)(5-2)(5-3) (5-4)=25+4⋅3⋅2⋅1 = 49. Esto demuestra que en las llamadas pruebas de inteligencia las preguntas en donde se dan los primeros términos de una sucesión y luego se pregunta cuáles son los dos siguientes números, no tienen respuesta única.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Desarrolla lo siguiente:

a) Reproduce los 10 primeros términos de la sucesión definida por ƒ(n)=n³ .¿Cómo se ve las gráfica de los términos de esta sucesión?

()ⁿ

b) Calcula los primeros seis términos de la sucesión dada por ƒ(n)= ⁻¹

3

n +4

Dibuja tu gráfica y señala a que se acercan los valores de la sucesión si “n” se hace más “grande”.

Debe tenerse cuidado al deducir el término general, porque muchas veces se piensa haber inducido concretamente este término general pero resulta equivocada por haber examinado pocos ejemplos, uno de éstos es al comparar las series:

Comparar

ƒ(n)=2ⁿ g(n)=2ⁿ+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)⁵

Se cumple en los primeros pasos hasta n=4

n ƒ(n) = 2ⁿ ƒn ƒ(n)=2ⁿ+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) ƒ(n) 1 ƒ(1) = 2¹ 2⁽ⁿ⁾1 ƒ(1)=2¹+( 0 )( )( )( ) ƒ(2) 2 ƒ(2) = 2² 4 2 ƒ(2)=2²+(2-1)( 0 )( )( ) ƒ(4) 3 ƒ(3) = 2³ 8 3 ƒ(3)=2³+(3-1)(3-2)( 0 )( ) ƒ(8) 4 ƒ(4) = 2⁴ 16 4 ƒ(4)=2⁴+(4-1)(4-2)(4-3)( 0 ) ƒ(16) 5 ƒ(5) = 2⁵ 32 5 ƒ(5)=2⁵+(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) ƒ(32)

(4) (3) (2) (1)=32+24=56 para n=5 no dan el mismo resultado 2⁵=32 con base a lo anterior compara las series:

an=2ⁿ (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

bn=2ⁿ –

24 ¿Hasta qué términos, las dos series son iguales? c) Si ƒ(n) = n²-1, encuentra: a) ƒ(999)

b) [ƒ(n)]³ c) Teniendo en cuenta ƒ(n+1) dada la ƒ(n)=n²-1 significa que tienes que evaluar ƒ(u), con u=n+1, es decir, ƒ(u)=u²-1, luego: ƒ(n+1)=(n+1)²-1, calcula: ƒ(2n-1).

d) Determina al menos una fórmula para el término general n-ésimo de la siguiente secesión:

11 1

,…

12⋅ 2334

2. Forma recurrente de definir una sucesión.

Otra forma de generar una sucesión consiste en establecer la regla mediante la cual se puede calcular el n-ésimo término de la sucesión, si conocemos él o los términos anteriores de la misma. Para ello, al calcular los términos de una sucesión mediante estas reglas se vuelve a regresar para verificar cuáles son los valores de los anteriores términos. A esta manera de generar una sucesión se llama recurrente, del latín recurrere que significa regresarse. Esto es se identifica el primero o los primeros términos; 2^o mediante una fórmula se establece la relación del término general en base a los anteriores.

Generalmente para las sucesiones dadas en forma recurrente se plantea una fórmula que permite expresar el término general n-ésimo de la sucesión, a través de los anteriores términos de la misma. A estas fórmula se les llama relaciones de recurrencia.

Una fórmula de recurrencia relaciona términos sucesivos de una secuencia particular de números como funciones, polinominales; etc; y proporciona un significado de calculo sucesivo en cantidades en términos de las cantidades previamente calculadas.

Si tenemos la sucesión. a1, a2, a3, …. an-1,, an, Para las fórmulas de recurrencia se da el valor de a en la serie aritmética an= a1,+(n-1)d donde d es la razón o diferencia entre el término mayor y el que le antecede. d = ƒ(n) -ƒ(n-1). A continuación se dan ejemplos de fórmulas de recurrencia.

I. ƒ(n)= ƒ(n-1)+d (Genera la sucesión aritmética)

Problemas relacionados con sucesiones aritméticas y geométricas se pueden encontrar en papiros de la antigua Grecia y en textos cuneiformes de Babilonia, de hace 4000 años, como la suma de cuadrados de los primeros n naturales.

II. ƒ(n)= qf(n-1) (genera la sucesión geométrica)

III. ƒ(n)= nƒ(n-1) (genera la sucesión factorial)

IV. ƒ(n)= ƒ(n-1)+ ƒ(n-2) (genera la sucesión de Fibonacci)

De hecho, si se sustituyen directamente los valores n=1 y n=2 en la fórmula recurrente IV, ƒ(n)= ƒ(n-1)+ ƒ(n-2), obtenemos ƒ(1)= ƒ(0)+ ƒ(-1) y ƒ(2)= ƒ(1)+ ƒ(0), pero f(0) y ƒ(-1) no forman parte de la sucesión, puesto que la función ƒ en n = 0 yn=-1 no está definida; luego entonces los valores de ƒ(1) y ƒ(2) hay que darlos como conocidos, en forma independiente como los valores iniciales de la fórmula de recurrencia IV; por consiguiente, la fórmula recurrente con las condiciones iniciales define en forma única la sucesión en cuestión:

IV.

ƒ(n) = ƒ(n-1)+ ƒ(n-2)

ƒ(1) = a, ƒ(2)=b n>2

Con a y b constantes conocidas.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elabora lo siguiente:

1. En forma análoga respecto de las fórmulas de recurrencia I,II, III, ¿Cuántas condiciones iniciales hay que darle a estas fórmulas para que realmente nos generen unívocamente las sucesiones correspondientes?

Otros aspectos que surgen en relación con la fórmula recurrente es si, ¿siempre resultará adecuado definir una sucesión a través una fórmula recurrente con su correspondiente condición inicial? No. Es decir, no siempre es lo más conveniente. Por ejemplo, si necesitamos determinar sólo el término ƒ(10 000) y no los anteriores, es poco práctico calcular todos los términos anteriores para llegar a éste, pues no siempre la fórmula recurrente es lo mejor.

Aunque si se tiene podemos intentar deducir de ella la fórmula del término general n-ésimo como funcionan de n. Esto se hará para el caso de las sucesiones aritméticas y geométrica más adelante.

2. Halla los ocho primeros términos de la sucesión de Fibonacci dada por la fórmula recurrente.

ƒ(n) = ƒ(n-1)+ ƒ(n-2),

ƒ(1) = 1, ƒ(2)=1 donde n>2

85

3. A partir de la fórmula de recurrencia de la sucesión de Fibonacci:

ƒ(n) = ƒ(n-1)+ ƒ(n-2), ƒ(1) = 1, ƒ(2)=1 n>2

determina la fórmula del término general n-ésimo ƒ(n) como función de n (considérala como una sucesión geométrica).

4. De acuerdo con la sucesión de Fibonacci, justifica por qué las siguientes figuras con los mismos componentes I, II, III, IV tienen áreas distintas.

AREA = (8) (8) = 64

8

8

3 5

5 5

5 8

área = (13) (5) = 65 ¿64 = 65? 35

Gráfica 23 Gráfica 24.

Una sucesión numérica puede generarse no sólo conociendo el término general n-ésimo

o una formula recurrente con su condición inicial, sino también mediante una descripción verbal de la sucesión; por ejemplo, la sucesión formada por todos los números primos (aquellos que sólo son divisibles por uno y por sí mismos):

(14) 2,3,5,7,11,13,17,19,23, …

En principio podríamos hallar cualquier término de dicha sucesión; sin embargo, no se puede conjeturar que siempre se obtendrá un número primo.

Intentos para encontrarla ha habido muchos como el de fórmulas que generarán siempre números primos aunque no a todos; por ejemplo:

()

De la fórmula de Fermat: F(n) = 2 ²ⁿ , + 1 para n=1,2,3 y 4 se aseguraba que generaba siempre números primos y en efecto.

Para: F(1) = 2⁽²⁾⁽¹⁾ + 1 = 5; F(2) = 2^{()2 2} + 1 = 17

F(3) = 2²³+ 1 = 257

F(4) = 2²⁴ =2¹⁶ + 1 = 65537 Son números primos los que se generan; pero el

autor Euler (1707-1783) dia. F(5) = 2²⁵ +1 = 4294967297 no es primo, ya que la

cantidad es divisible por 641.

Otra fórmula: ƒ(n)=n²+n+41, da primos para n desde 1 hasta, más para n=41:ƒ(41)=1681 que es divisible por 41. Otra más: g(n)=n² -79n + 1601 da primos hasta n=79, pero para n=80, ƒ(80) ya no es primo. Menos exitosas resultaron las búsquedas de fórmulas que generan a todos los primos. De la misma manera, tampoco existe una fórmula de recurrencia que exprese el n-ésimo número primo a través de los anteriores. Otro ejemplo de descripción literal de una sucesión es el dado por las aproximaciones decimales por defecto del número irracional 2 , calculadas con el procedimiento para extraer raíz cuadrada. (15) 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, 14142135,…

5. Encuentra los primeros ocho términos de la sucesión de aproximaciones decimales por exceso del número irracional 3 (se puede utilizar cualquier método, incluso la calculadora). Observa que 2 es una aproximación por exceso de 3 , ya que 2² =4>3.