CAPÍTULO 1. FUNCIÓN LINEAL

1.2 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL

Ahora pondremos especial atención en la representación geométrica de la función lineal. Ya en el curso de Matemáticas I graficaste algunas ecuaciones de primer grado cuando

resolviste sistemas de ecuaciones simultáneas a través del método gráfico, en seguida trataremos de relacionar esa experiencia con el concepto de función.

Los ejemplos analizados en páginas anteriores muestran que existen dos aspectos importantes de la función lineal; el primero de ellos es la expresión algebraica que la define y el segundo, la tabla de valores donde se registran los valores de las variables independiente (x) y dependiente (y). Esto nos conduce al análisis de un tercer aspecto: la gráfica de la función.

Para referirnos a la gráfica, es necesario recordar que cada valor del dominio le corresponde un sólo valor del rango; por lo tanto, cada pareja de la tabulación la podemos representar geométricamente como un punto (x,y) en el plano cartesiano. El ejemplo siguiente muestra lo que hemos dicho en este párrafo.

EJEMPLO:

Sea la tabla de valores de una función f: x

con D ={x/ ≤≤ 4, {()/oy }

ox } R= fx ≤≤ 8

x	y
0	0
1	2
2	4
3	6
4	8

Procedemos a graficar cada pareja en el plano cartesiano y observaremos algunas características importantes.

24

Gráfica 6

Ahora es necesario encontrar la regla de correspondencia f que liga cada valor de x con su pareja y. Estamos seguros que podrás hacerlo. Para ello completa el diagrama que se ofrece a continuación.

Diagrama

Una vez que has encontrado la regla de correspondencia f:x y; y = 2x, ¿cómo hemos podido llegar a ella?. Regresemos al análisis de la gráfica.

Como puedes observar, los puntos que componen la gráfica se encuentran sobre una línea recta; esto es muy importante puesto que si quisiéramos encontrar otros puntos, sólo bastaría utilizar la expresión de la función:

y = 2x

aplicándole otros valores de x. Por ejemplo:

Si x = 7, entonces y =2 (7) = 14, lo que da como resultado la pareja ( 7, 14). Si x = -2, entonces y = 2(-2) = -4 que da la pareja (-2, -4). Compruébalo.

Lo que has visto hasta este momento es relevante y lo podemos resumir de la siguiente forma:

25

Una función de la forma y =ax es geométricamente una línea recta que pasa por el

origen del plano. En el siguiente ejemplo tabularemos una función que no pasa por el origen.

Ejemplo:

Sea la función y = 3x-2, con D= { X / -3 ≤ X ≤ 3 } completa la tabulación de ésta y enseguida compara su gráfica con los elementos numéricos de la función.

Tabulación

x	y = 3x-2	p(x,y)
-3	y = 3 (-3) -2 =-11	(-3, -11)
-2	y = 3 (-2) -2 = -8	(-2, -8)
-1
0
1
2
3

Parejas

(x, y) (-3, -11) (-2, -8)

Una vez completada la tabla, el rango de la función es de R ={ ()/ −11 ≤ y }fx ≤ 7

26

Ahora la gráfica de la función

y = 3x-2 es

Gráfica 7

Analicemos brevemente la gráfica de este ejemplo. Lo primero que destaca es que la recta no pasa por el origen, sino que lo hace por el punto (0.-2) ubicado sobre el eje vertical, ¿podrías explicar por qué?.

Si no pudiste explicarlo, no te preocupes, pues al final de este tema podrás hacerlo. Una vez presentada la función en la gráfica, su regla de correspondencia f por medio de un diagrama nos queda de la siguiente forma. Ahora te pedimos modificar la expresión de la función de la siguiente manera:

EJEMPLO:

sea y = 3x + 2 con D={x−≤ x }

/3 ≤ 3

Observa que en lugar de restar 2 a 3x, ahora lo sumamos. Completa la tabulación:

27

Tabulación

x	y = 3x+ 2	P(x,y)
-3 -2 -1 0 1 2 3	y = 3 (-3) + 2 =-7 y = 3 (-2) + 2 = -4	(-3,-7) (-2,-4)

Parejas

(x, y) (-3, -7) (-2, -4)

Una vez completada la tabulación el rango de la función es R { ()/ −7y ≤}= fx ≤ 11

Gráfica 8

28

Observa la diferencia entre las gráficas de las funciones Y=3X+2 (gráfica 8),Y=3X-2 (gráfica 7).

Probablemente concluyas que la gráfica sólo se movió hacia arriba del origen, ¿pero a qué se debió esto?. Quizá sea necesario hacer otra prueba para estar seguros de que el subir o bajar la gráfica depende de cambiar el número que no se multiplica a “X” en la expresión. Probemos con otra función,

EJEMPLO:

Y = 3X – 4 con D ={x −≤ x }

/3 ≤ 3

Tabulación

X	Y = 3X – 4	P(X,Y)
-3	y = 3 (-3) -4 = -13	(-3, -13)
-2
-1
0
1
2
3

Parejas (x, y) (-3, -13)

29

Gráfica 9

Comparemos las tres gráficas y expliquemos nuestras observaciones. Las tres gráficas anteriores han resultado de evaluar las funciones: y = 3x-2; y = 3x + 2; y = 3x -4 y tal parece que forman una feliz familia de funciones, ¿no

te parece?. Algebraicamente, las tres tienen la forma genérica: y = ax + b, donde a y b son conocidos como: Constante y parámetro respectivamente. (Los parámetros son cantidades que tomando un valor real particular, permanecen constantes). Lo que podemos afirmar sobre las gráficas es que la constante a no cambia

en los tres casos, es decir: a = 3; mientras que el parámetro b tomó los valores: b = -2 (caso y =3x-2) b =+2 (caso y =3x+2) b = -4 (caso y = 3x-4)

Siguiendo con nuestro análisis, modifiquemos las funciones anteriores aplicando en cada caso x=0.

30

EJEMPLO:

Parejas y = 3x -2

y = 3 (0)-2 = -2

(0,-2)

y = 3x +2 y = 3 (0) +2 =2

(0, 2)

y = 3x -4 y = 3 (0)-4 = -4

(0, -4)

1. Los parámetros son cantidades que, tomando un valor real particular, permanecen constantes.

Las tres parejas que resultan son los puntos de cruce de la recta con el eje vertical; compruébalo en la gráfica. Esto ya lo hicimos al construir la tabulación de cada una de las funciones, verifícalo en éstas. Para ver con más claridad lo que hemos hecho, grafiquemos las funciones sobre un mismo plano cartesiano.

Gráfica 10

Lo que observaste al construir las gráficas anteriores lo podemos resumir de la siguiente manera, como otra conclusión importante:

Toda función lineal de la forma y = ax + b es una recta sobre el plano cartesiano y el punto de intersección de ésta con el eje vertical depende del valor que tome el parámetro b.

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Con la finalidad de que practiques la construcción de la gráfica de la función lineal y analices sus características, realiza las siguientes actividades.

I. Grafica en tu cuaderno las siguientes funciones. Recuerda que debes partir de la tabulación correspondiente a cada función. Observa la familia que forman al variar el parámetro “b”.

1. y = 2x + b para b = 0; b= -2; b = 4
2. y = -3x + b para b= 0; b= -7; b= 3
3. y = -x + b para b= -1; b = -2; b =4
4. y = 0.5x + b para b =3; b= -4; b = 1/3

II. A partir de las gráficas que elaboraste, contesta lo siguiente:

1. Si el parámetro b es positivo, ¿en qué parte del eje de las ordenadas (y) cruza la recta?.
2. ¿Qué sucede si el parámetro b es negativo?.
3. ¿Qué pasa si b = 0?.
4. Si la constante “a” es positiva ¿hacia dónde se inclina la recta?.
5. Si la constante “a” es negativa ¿hacia dónde se inclina la recta?.

32

III. Identifica la función lineal correspondiente a cada una de las gráficas siguientes y escribe en el paréntesis el inciso correcto.

a) y = -ax + b

( )

b) y = ax + 2

12. Gráfica ( )

c) y = -ax + 6

d) y = ax + b

13. Gráfica ( )

33

En la serie de ejercicios anteriores habrás observado que utilizamos fracciones decimales para el parámetro b, además que éste puede ser positivo, negativo o cero, lo cual da como resultado que la recta intersecte al origen, arriba o abajo de la constante.

En seguida procederemos al análisis de la constante a, puesto que esto aclarará las dudas que hayan surgido en el trabajo realizado hasta ahora.

En primer lugar, recuerda que en los ejemplos iniciales de este fascículo, se hizo referencia a cierta constante de proporcionalidad, y en este momento se requiere que interpretemos esa cantidad. Intentaremos hacerlo mediante un ejemplo.

EJEMPLO:

Gráfíca la función y = 2x + 1, con D ={x −≤ x }/2 ≤ 7 ; para ello completa la tabulación

siguiente:

x	-2	-1	1	3	5	7
y	-3	-1

Tomemos dos puntos cualesquiera de la gráfica, por ejemplo, A (1,3) y B (3,7). Con los trazos auxiliares formaremos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el segmento AB. ¿Cuál es la longitud del lado vertical?. ¿Cuál es la longitud del horizontal?.

Calcula el cociente que resulta de dividir: a= lado vertical/lado horizontal. ¿Cuál es el valor de a?.

Repite el proceso tomando otros pares de puntos, por ejemplo, (0,1) y (3,7) ó (-2, -3) y (5, 11). ¿Cuál es el valor de a para estos pares?. ¡Correcto!. Es el mismo que resultó para la primera pareja de puntos que tomamos. ¿Podrías contestar por qué ocurre de esta manera?.

Quizá pienses: ¡Qué extraños triángulos!, pero por muy pequeños o muy grandes que sean, todos conservan la misma razón a=2. Reflexiona un poco más y verás que otras rectas se comportan de igual manera. Te invitamos a que repitas el proceso para la función siguiente:

EJEMPLO:

34

Sea la función: y = 4x -6 Encuentra varias parejas de puntos para que determines la razón en cada caso.

Gráfica 15

Como podrás darte cuenta, también poseen la característica del ejemplo anterior, pues la razón es la misma en todos los casos. Ahora observa detenidamente cada una de las expresiones de las siguientes funciones:

y = 2x +1 y = 4x -6 y = -3x -2

aquí: a = 2 a = 4 a = -3

En esta etapa quizá pienses que la constante a de la expresión está relacionado con la inclinación de la recta; en efecto, así es, pero para comprobar esta idea deberás tomar una de las expresiones anteriores para graficarla variando la constante a, por ejemplo:

Sea y = 2x +1, la cual tiene la forma y = ax + b Grafiquemos para

a = 3; a = 5; a = -3.

¿Qué sucede con la inclinación de las rectas al cambiar la constante a?. Efectivamente, la inclinación de la recta respecto al eje positivo de las x varía con a. Esto conduce a otra conclusión importante acerca de la recta:

En toda función lineal cuya expresión sea y = ax + b, la inclinación de la recta asociada a ésta depende del valor de la constante a.

35

Para concluir nuestro análisis de la función lineal, resolveremos el problema inverso que consiste en encontrar la expresión de la función a partir de su gráfica; veamos un ejemplo.

EJEMPLO:

Para la gráfica de la función lineal siguiente encuentra la expresión correspondiente:

y

Como puedes ver, la expresión de la función tendrá la forma:

y = ax -b

En primer lugar, colócate en donde la recta corta al eje vertical. ¿Cuál es la pareja (x,y) que le corresponde?. ¡Correcto!, es (0,-4), entonces el valor de la componente y equivale al parámetro b de la expresión de la función.

En seguida observa el otro punto de corte de la recta con el eje horizontal. ¿Cuál es ese punto?. ¡Exacto!, es (6,0). ¿Cuántas unidades recorres desde el punto (0,-4) hasta el origen?, ¿cuántas desde el origen hasta el punto (6,0)?. Este recorrido da como resultado la longitud de los lados del triángulo rectángulo BO y OA si aplicas la relación:

BO

a =

OA obtienes el valor de la constante a de la expresión de la función, es decir: 4

a = 6

36

Si te das cuenta, hemos tomado la longitud BO como positiva. ¿Por qué debemos hacerlo así?. Aquí cabe hacer una aclaración que tiene que ver con el sentido del recorrido sobre los lados del triángulo rectángulo: si los desplazamientos son hacia arriba y a la derecha, como en el ejemplo, los consideramos como positivos. Esto nos lleva a completar una tabla de posibilidades como la siguiente:

desplazamiento hacia la derecha (positivo)

Para este ejemplo, el valor a también es positivo. ¿Puedes explicar por qué?. Ahora te corresponde explicar los demás casos:

1. Desplazamiento hacia arriba y hacia la izquierda.
2. Desplazamiento hacia abajo y hacia la derecha. ¿Qué signo tiene la constante a en cada caso?. Regresando al ejemplo que estamos resolviendo, ya estamos en condiciones de escribir

la expresión algebraica de la función: 4

Si: b = -4 y a =

6 entonces: 2

y = x − 4

3 será la expresión que se busca. Debes notar que 2/3 resultó de simplificar 4/6. Con lo anterior se puede concluir que la representación gráfica de una función lineal es

una línea recta.

La representación geométrica de la gráfica de una función, nos permite identificar, según el trazo, algunas de sus características y propiedades, como las siguientes:

− Cuando la inclinación de la recta es hacia el eje positivo de las abscisas, la constante de proporcionalidad “a” es positiva.

− Cuando la inclinación de la recta es hacia el eje negativo de las abscisas, la constante de proporcionalidad “a” es negativa.

− Es posible obtener el valor de la constante de proporcionalidad “a” al trazar un

triángulo rectángulo y dividir la longitud del lado vertical entre la longitud del lado

horizontal.

− El punto que intersecta la recta al eje de las ordenadas corresponde al valor de “b”.

En el plano cartesiano un punto cualquiera es la representación geométrica de un par ordenado, y a cada par le corresponde un punto; por consiguiente, la función se puede definir como un conjunto de pares ordenados, los cuales se pueden representar geométricamente en el plano cartesiano para obtener su gráfica. Por ello, la gráfica de una función es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, y la representación geométrica constituye la línea recta donde se visualiza el comportamiento de la función.

En diversas situaciones, como en los problemas del Gimnasio Zeus y del terreno para el huerto, se necesita conocer el valor máximo o mínimo de una función cuadrática. Hemos observado que este valor es precisamente la ordenada, “y” del vértice de la parábola que constituye la gráfica de la función. Debido a lo anterior, es necesario encontrar procedimientos para obtener con exactitud las coordenadas del vértice de las parábolas con eje vertical.

 

 

 

Al realizar la siguiente actividad obtendremos interesantes resultados.

− Traza las gráficas de las funciones cuyas reglas de correspondencia se dan a continuación, considerando como su dominio de definición el conjunto  de los números reales.

2 2

a) yxf) =3

= yx

b) yx²+2¹

= 2

g) y= x

3

c) yx²−3

=

h) yx

=− ²

d) yx+3

=( )² y) y x²+2

=−

e) y x(−2

=)²

2

j) yx( )+32

=+

Comparemos las gráficas de las funciones de los incisos b hasta j con la gráfica de

2

yx(inciso a).

=

x	= 2	y
	yx
-3	(-3)2 =	9
-2	(-2)2 =	4
-1	(-1)2 =	1
0	(0)2 =	0
1	(1)2 =	1
2	(2)2 =	4
3	(3)2 =	9

Tabla 9

35 La gráfica de y = x² es una parábola con las siguientes características:

a) Cóncava hacia arriba. b) Eje de simetría: el eje Y. c) Vértice en el origen.

=²

Ahora observemos la gráfica del inciso b que es: Gráfica de yx+ 2.

Gráfica 9

Esta gráfica es igual a la de yx, pero traslada 2 unidades hacia arriba.

=²

a) Su eje de simetría coincide con el eje Y. b) Es cóncava hacia arriba. c) Su vértice es el punto V ( 0, 2 ).

 

 

Realiza los siguientes ejercicios: A) Traza la gráfica de yx² -3, anota sus características y compáralas con

= la

de

yx.

=²

Generalización

=²de yx, pero una translación vertical c unidades hacia arriba, si c 0yc La gráfica de la función definida por yx+ c es una parábola igual a la gráfica

=² >unidades hacia abajo, si c < 0.

− Aplicando los resultados del párrafo anterior determina la concavidad, la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de las parábolas determinadas por:

a ) yx= ²+ 6 =²

b) yx- 1/3 Intenta resolver este ejercicio sin dibujar las gráficas.

2

Gráfica de y x( 3)

=+

Gráfica 10

=²

Esta gráfica ha resultado igual a la de yx, pero trasladada 3 unidades a la

izquierda. − Es cóncava hacia arriba.

37

− Su eje de simetría es la recta paralela al eje “Y” tal que todos sus puntos tienen abscisa x=-3.

Ningún punto fuera de esa recta tiene abscisa igual a -3. Por lo anterior se dice que la ecuación del eje de simetría es x=-3.

− El vértice de la parábola esta en (-3, 0).

2

B) Traza la gráfica de y=( ). Compárala con la de =

x-2yx²y determina su concavidad, la ecuación de su eje de simetría y las coordenadas de su vértice.

Generalización

Del análisis de las dos últimas gráficas se concluye que la gráfica de la función definida por y=xk += ²

( )² es igual a la de yx, pero trasladada k unidades a la izquierda, si k es positivo; y k unidades a la derecha, si k es negativo. Entonces la parábola tiene las siguientes características:

a) Es cóncava hacia arriba. b) Su eje de simetría tienen por ecuación x=-k. c) Su vértice es el punto V(-k,0).

Sin trazar las gráficas, determina la concavidad, la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de las parábolas siguientes: a) y = (x + 4)² b) y = (x − 5)² .

Compara las tablas 9 y 10. ¿Qué adviertes en relación con los valores de y?.

x	y = 3×2 = y
-3	3 (-3)2 = 27
-2	3 (-2)2 =12
-1	3 (-1)2 =3
0	3 (-0)2 =0
1	3 (-1)2 =3
2	3 (-2)2 =12
3	3 (-3)2 =27

Tabla 10

y = 3x²

Cada valor de “y” en la tabla 9 está multiplicado por 3 en la tabla 10. Esto produce un alargamiento o expansión de la gráfica de y = x² . La concavidad, el eje de simetría y el vértice no se alteran.

38

Gráfica 11

1 2

− Ahora traza la gráfica de y = x² . Analízala y compárala con la de y = x.

3

Generalización

Del análisis de las dos últimas gráficas se desprende que la gráfica de yax²

=

es la de y = x² expandida por el factor “a” si a<1 y contraída por el factor “a”, si 0<a<1.

La concavidad, el eje de simetría y las coordenadas del vértice no se alteran.

C) Determina la concavidad, la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de las gráficas.

2

a) y = 5x² b) y = ²x

3

De las funciones yxy yx, nos damos cuenta que únicamente difieren en el

= ²=-²

signo; por lo cual su concavidad es distinta como se observa en la figura. 12 de las gráficas se concluye que el eje de simetría y el vértice no cambian de posición, pero la concavidad sí; ahora es hacia abajo.

39

Gráfica 12

D) Elabora la gráfica de y = -x² + 2. Analiza sus propiedades, en especial la concavidad.

¿Qué relación encuentras entre el signo del coeficiente de x²y la concavidad de las

parábolas que se han trazado?.

Generalización

El signo del coeficiente de x² en la función ya=x²bxc determina la

++

concavidad de su gráfica. Si a es positivo, la concavidad es hacia arriba, y si a es negativo, entonces la parábola es cóncava hacia abajo.

Durante el desarrollo de esta sección hemos estudiado varios casos particulares de gráficas de funciones cuadráticas y hemos llegado a formular generalizaciones que son meras conjeturas. La veracidad de estas generalizaciones se demostrará en cursos posteriores, ya que ahora no contamos con la herramienta matemática suficiente para hacerlo.

De acuerdo con los resultados que hemos obtenido es posible determinar ciertas características de las funciones cuadráticas a partir del análisis de su regla de correspondencia.

Ejemplo:

Obtener a) Las coordenadas del vértice. b) La ecuación del eje de simetría y determinar la concavidad de la parábola dada por:

y=(x−3)²−1

Solución

La gráfica de y=( )x-32-1 = 2 trasladada 3 unidades hacia la

es igual a la de yxderecha y una unidad hacia abajo. a) El vértice de la parábola cuya ecuación es yx2es el punto V (0, 0 ). Como a cada = uno de sus puntos, al vértice se le han aplicado los movimientos descritos, de manera que el vértice de la parábola representada por y=( )-32-1 x es V (3,-1). b) Todos los puntos del eje de la parábola tienen su abscisa igual a la del vértice, entonces la ecuación del eje de simetría es x=3. 2 c) La concavidad de la parábola depende del signo del coeficiente de x. Dado que en este caso es positivo, la concavidad es hacia arriba.       Realiza los siguientes ejercicios, considerando la información anterior. Ejemplo 1 − Determina las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y la concavidad de la gráfica de las funciones dadas por: 42 2 1) fx= x− ) +5 2) ()=−2(x+5 ()( fx) −3 1 2 Comprueba tus respuestas trazando las gráficas de estas funciones. De los incisos anteriores se concluye que: La gráfica de la función fx=a(+ )2+k en donde a, h y k son números reales () xh cualesquiera, a=/0 es una parábola con eje de simetría paralelo al eje Y, con vértice en el punto V= (-h, k ) y cuyo eje de simetría tiene la ecuación x=-h. El problema que ahora se nos presenta es ¿cómo obtener las coordenadas del vértice de la gráfica de una función cuadrática definida por una ecuación de la forma 2 = ++ yax bxc ?. Ejemplo 2 Determinar las coordenadas del vértice de la parábola cuya ecuación es: y= 2x+ x+ 24 3 24 3, pero que tenga la forma ya(xh + entonces el vértice será el punto V(-h,k). Si encontramos una ecuación equivalente a y= 2x+ x+ = )2+ k Tratemos de darle a y= 2x+ x+ la forma indicada. Separemos del segundo 24 24 3 miembro de la ecuación al binomio 2x+ x. Factorizando el binomio (caso del factor común) obtenemos: 22 2x + 4x = 2(x + 2x) Si agregamos al binomio que está dentro del paréntesis (x2+ 2x)el término adecuado, lo transformaremos en un trinomio cuadrado perfecto. ¿Cuál es el término que tenemos necesitamos agregar?. El término 12, esto es, el coeficiente de x dividido entre 2 y elevado al cuadrado, completa el trinomio cuadrado perfecto. Entonces: x2+ 2 1 x+= (x+ 1)2 así que x+ 2x x = (+ 11 − ) y regresando a la expresión original 2(x+ 2x) ( x+ 11 = 2[ )−] 2(x2+ 2x) ( x+ 12 = 2)− 2 Entonces 2x+ 4 2 x − 2x= () + 1 2 2 Sustituyendo el resultado anterior en la ecuación de la parábola: y= 2x+ x+ 24 3 obtenemos y= 2(x+ 1−+ )2 23 y= 2(x+ )2+ 11 La ecuación anterior tiene la forma deseada y, por lo tanto, las coordenadas del vértice son: x=-1; y=1. − Traza la gráfica de la función y= 2x+ x+ 24 3para comprobar que las coordenadas del vértice son: x=-1, y=1. 2 Apliquemos el proceso anterior a la ecuación yax +bx +c = donde a, b, y c son números reales cualesquiera, a=/0. Factorizando el binomio ax2+bx obtenemos: 2 2b ax +bx=a(x + x) a b Agregamos al binomio x2+x la mitad de b que es b y se leva al cuadrado. a a2a 2b b2 x+ x+ () a 2a Factorizando el trinomio cuadrado perfecto: bb b 2 22 x+ x+ () ( = x+ ) a 2a 2a Entonces: b bb2 x2+ xx + )2− = ( a 2a 4a2 43 2b Sustituyendo este resultado en ax(+x)obtenemos: a 2 b2 b =ax + )( − 2a 4a Entonces: 2 b2b2 ax +bx ( +− =ax ) 2a 4a Sustituyendo este resultado en ya=x2bxc obtenemos: ++ b b2 ya=(x+ )2-+c, 2a 4a 22 2 b -+b 4ac4ac-b Pero: -+= c =; 4a 4a4a b2 4ac-b2 Luego: Ya=(x+ )( + ) 2a 4a Por lo tanto Las coordenadas del vértice son: b 4ac −b2 x =− ;y = 2a 4a

En el fascículo y capítulo anterior estudiaste algunas funciones polinomiales, como la lineal y la cuadrática ambas te permitieron describir y analizar diversos fenómenos y situaciones que constantemente se presentan en nuestra vida diaria y en la sociedad. Por ejemplo; en ocasiones se te habrá presentado algún problema de cómo incrementar los ingresos en un negocio, acertar en el blanco al lanzar proyectiles, calcular la distancia que recorre un cuerpo que se desplaza con movimiento uniforme acelerado, etc.

Estamos seguros que estos y otros problemas, los has resuelto con la ayuda de las funciones cuadrática y lineal. Ahora en este capítulo conocerás y aplicarás un nuevo concepto como el de función cúbica polinomial, constante, discreta y contínua, que de igual manera será de gran utilidad para resolver algunos fenómenos y/o problemas. Alguna vez te habrás preguntado, ¿cuál será la resistencia que tienen las vigas que sostienen los puentes peatonales que utilizamos para cruzar las avenidas?. A continuación te presentamos el siguiente ejemplo donde se muestra que los cables de suspensión de un puente bajo una carga uniforme están descritos por una función determinada. Ver figura 1.

Figura 1. El famoso puente de San Francisco

79

Los cables de un puente de suspensión bajo una carga uniforme adoptan la forma de una parábola.

La forma de las vigas de cualquier estructura bajo ciertas cargas puede describirse aproximadamente por medio de funciones polinomiales. Consideremos un ejemplo:

En una viga de acero sostenida por un extremo hay ciertos puntos en los que, al aplicarles una fuerza, la viga no se dobla (momento de flexión igual a cero). Este fenómeno está determinado por la función:

4 33

fx 9x − 18 x + x

() = 11 − 22 x

Donde “x” es la distancia en metros del punto de aplicación de la fuerza al extremo de la viga.

¿Cuáles son los valores de “x” para los momentos de flixión iguales a cero?.

En este fascículo desarrollarás el concepto de función, elaborarás su gráfica e identificarás sus elementos (regla de correspondencia, dominio, contra dominio e imagen), diferenciarás funciones continuas y discretas desarrollando habilidades de análisis, abstracción e integración en la representación y solución de situaciones concretas, lo anterior te ayudará a que comprendas los modelos algebraicos que permiten analizar e interpretar las relaciones entre los elementos de problemas y llegar a su solución para adquirir los conocimientos adecuados.

El fascículo está divido en dos capítulos; el primero de ellos se titula “La Función Exponencial y Función Logarítmica”, temas que han sido de gran ayuda en diversos campos de estudio, por ejemplo, las matemáticas se han desarrollado a través del tiempo y del espacio en la medida en que el hombre ha tenido la necesidad de resolver ciertos problemas cotidianos o bien para cuantificar un fenómeno natural que le interesa comprender.

Asimismo, ciencias como la Física, Química, Sociales, Economía, Administrativas, etcétera le han planteado una serie de problemas que, para darle solución ha tenido que inventar nuevas matemáticas, dándole así un mayor impulso a esta ciencia.

A las Matemáticas se debe el estudio de la relatividad de Einstein, de la microfísica, de la transformación del Uranio U-238 en otros elementos mediante su decaimiento, la predicción de elementos ultrauránicos con la vida media de microsegundos, los viajes espaciales , la tecnología avanzada en las comunicaciones y en la electrónica etcétera.

Cómo te habrás dado cuenta que tan interesante y necesario es conocer la solución de diferentes problemas por medio del aprendizaje de las funciones, es por esto y más; que nos revela la necesidad e importancia que tiene el estudio de este fascículo.

Para el segundo capítulo cuyo título es “Las Sucesiones, Recurrencia e Iteraciones” se estudiarán temas como: sucesiones numéricas, las maneras de generar una sucesión Aritmética, Suma Parcial de una Sucesión Aritmética y la Sucesión Geométrica, y la suma parcial de una Sucesión Geométrica, por último la Recurrencia de Iteraciones.

Algunos ejemplos donde puede aplicarse estos conocimientos es en lugares donde trabajaran con grandes hornos, como; panaderías industriales y donde se necesita saber

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la hora en que ocurrió el ilícito, pues conociendo la temperatura el cuerpo del delito puede determinarse el instante en que ocurrió éste. Lo que está detrás de este tipo de proceso en la ley de enfriamiento de NEWTON modelo cuya solución se expresa a través de la función exponencial.