En la asignatura de Matemáticas I estudiaste las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, la importancia de éstas, así como su utilidad; ahora con el estudio de este fascículo:
¿QUÉ APRENDERÁS?
La relación entre la ecuación de primer grado con dos incógnitas y la función lineal como modelo algebraico.
La gráfica de una función lineal y su importancia.
La aplicación de las funciones lineales a problemas concretos.
¿CÓMO LO LOGRARÁS?
A través del análisis de problemas y ejemplos que se plantean a lo largo del contenido.
Aplicando cada una de las partes que componen una función lineal.
¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?
Para analizar fenómenos que estudiarás en las asignaturas de Física, Química, Biología y Ecología, entre otras. Además, esto te ayudará a comprender y aplicar el concepto de función polinomial cuadrática.
Los métodos que hasta ahora hemos usado nos han permitido hallar soluciones aproximadas para nuestro problema, pero si nos interesa encontrar la solución exactanecesitamos emplear otros recursos. La combinación de Álgebra y Geometría que se logra con la introducción del sistema de coordenadas cartesianas constituye una herramienta valiosa para la resolución de una gran cantidad de problemas.
A continuación se estudian de manera informal algunas propiedades de la parábola y su relación con los modelos polinomiales cuadráticos.
Algunas propiedades de la parábola
Con anterioridad se determinó que las coordenadas (x,y) del vértice de la parábola que se obtiene al graficar la relación y =−x2 +28x (gráfica 2) proporcionan el valor de x que hace máxima el área del rectángulo correspondiente al problema del huerto. Y el
valor máximo “y” de ésta, constituye para encontrar ciertas propiedades de esta curva.
A continuación se presentan una serie de ejercicios que tendrás que resolver de acuerdo a lo que ya estudiaste, si tienes dudas para su solución, acude con tu Asesor de Contenido.
A ) Resuelve lo siguiente:
En papel cebolla copia la gráfica de y=-x2+28x (gráfica 2).
Dóblala a lo largo tratando que coincidan las dos mitades de la parábola.
Marca el doblez.
Traza una recta sobre el doblez.
La recta que has trazado sobre el doblez divide la figura en dos partes en forma tal que una es la imagen de la otra, por lo que se dice que la parábola tiene simetría reflexiva o axial (con respecto de un eje). La recta que determina el doblez es el eje de simetría de la parábola.
En la parábola que nos ocupa el eje de simetría es vertical, esto es, paralelo al eje Y.
− ¿Qué puntos de la parábola coinciden al doblarla por su eje de simetría. En tu respuesta deberán estar, entre otros:
(5, 115) y (23, 115) (7, 147) y (21, 147) (9, 171) y (19, 171)
Se dice que éstos son puntos simétricos de la parábola.
Gráfica de la relación
− Traza en el plano cartesiano los puntos correspondientes a los datos de la tabla 5 (emplea una hoja de papel milimétrico para conseguir mayor aproximación).
− Compara las ordenadas de los pares de puntos simétricos de la parábola. ¿Cómo son éstas?.
Habrás advertido que dos puntos simétricos de una parábola con eje de simetría paralelo al eje Y tienen la misma ordenada.
Por otra parte, al examinar la copia de la gráfica en el papel cebolla y doblándola por el eje de simetría, se advierte que:
–
El eje de simetría pasa por el punto medio de cada uno de los segmentos que unen dos puntos simétricos.
–
El vértice de la parábola está sobre el eje de simetría, y dicho vértice se representa por el punto v(h, k), donde h es el valor de la abscisa y k es el valor de la ordenada.
De las aseveraciones 1 y 2, y del hecho de que el eje de simetría de la parábola que estamos estudiando es paralelo al eje Y deducimos que:
El valor de la abscisa del vértice de una parábola con eje de simetría vertical se puede determinar del punto medio del segmento que une a un par cualquiera de puntos simétricos.
¿Adviertes la importancia del último enunciado?
En él se encuentra la clave para obtener la base del rectángulo del área máxima, la cual es precisamente la solución del problema en estudio. Tomemos dos puntos simétricos de la parábola; por ejemplo:
A(5, 115) y A’ (23, 115)
El valor de la abscisa x, del punto medio del segmento AA´ es el promedio de las abscisas de sus extremos. Entonces:
523
x =+ =14
− ¿Qué relación tiene este resultado con el vértice de la parábola relativa al problema
que deseamos resolver? ¿Cuál es entonces la solución del problema? ¿Cuáles son
las coordenadas del vértice (h,k).
¡Eureka! La abscisa del vértice es x= 14, y 14 metros es exactamente la medida de la base que requiere el área máxima del rectángulo que constituye el terreno del huerto.
1. Calcula la altura del rectángulo con una base de 14m. ¿Qué clase de rectángulo es éste?.
2
El área máxima de l terreno se obtiene sustituyendo x por 14 en y=-x +28x
− Calcula el área máxima del terreno del huerto. ¿Qué relación hay entre el área máxima y las coordenadas del vértice?.
− ¿Deben unirse los dos puntos dibujados?. ¿Por qué?.
− ¿Qué tipo de figura se obtiene?.
Los modelos matemáticos nos permiten hacer predicciones, imitando los efectos de las variaciones de una cantidad sobre otras relacionadas con ella. En el ejemplo siguiente analizaremos las relaciones entre el tiempo y la distancia recorrida por un cuerpo con el fin de predecir su comportamiento en una situación determinada.
B ) Resuelve el siguiente problema
1. Un avión que parte del reposo avanza sobre la pista de despegue de un aeropuerto con una trayectoria rectilínea. Durante los primeros 12 segundos, a intervalos de dos segundos, se registra la distancia recorrida obteniéndose la siguiente tabla:
tiempo
desplazamiento
(segundos)
(metros)
0
0
2
15
4
60
6
135
8
240
10
375
12
540
Tabla 5
La pista es la que permite un recorrido máximo de 1 500 metros antes del despegue. ¿En qué tiempo llegará al avión al límite de la pista si continúa desplazándose con el mismo patrón con que siguió los primeros 12 segundos?.
A partir de los datos experimentales trataremos de encontrar un modelo que describa la relación entre el tiempo y el desplazamiento del avión (distancia medida en una dirección determinada). En este problema intervienen dos variables: el tiempo (t) y el desplazamiento (s).
De acuerdo con la definición de función.
¿Cuál de las variables consideras que es la independiente y cuál la dependiente?.
Ya que el desplazamiento de un cuerpo depende del tiempo que dure el movimiento, la variable dependiente es s y la independiente es t.
En la gráfica 4, correspondiente a la gráfica de la relación entre el tiempo recorrido el desplazamiento, los puntos se unen, ya que no se pasa con brusquedad de, por ejemplo, 2 a 4 segundos, sino que el tiempo va tomando los valores intermedios entre 2 y 4 segundos. La figura que se obtiene es la “mitad” de una parábola.
x
y
6
135
12
540
Gráfica 4
Analicemos la tabla 5 tratando de descubrir un patrón para el comportamiento del desplazamiento al variar el tiempo.
− ¿Qué aprecias a primera vista en la tabla 5?. Se observa que al aumentar el tiempo aumenta la distancia que recorre el avión.
− En este caso, ¿el desplazamiento es directamente proporcional al tiempo?.
Dividiendo algunos valores del desplazamiento entre el tiempo correspondiente (distinto s
de cero) se encontrará la respuesta a la última pregunta. Si sabemos que v =
t v=velocidad, s=desplazamiento, t=tiempo
15m 60m 135 m 240m
v = 75v = 15 v = 225v = 30
1.2 3.4
2 seg 4seg 6 seg 8 seg
Las razones de los diferentes valores de desplazamiento en los tiempos correspondientes no son iguales, por cuanto que la distancia no es directamente proporcional al tiempo. Esto significa que el movimiento del avión no es uniforme, es decir, no viaja con una velocidad constante. Sin embargo, existe cierta regularidad en el comportamiento de las razones que se calcularon.
− Encuentras algún patrón que te permita determinar ¿cuál será el cociente del siguiente par de números de la tabla 4?
Observa que:
151 601 1351
=• (2)(7.5) =•(4)(7.5) =• (6)(7.5)
22 4262
Esto es, =(7.5)t
desplazamiento tiempo
=
1 2 (t)(7.5),
o bien:
s
1
t2 Despejando de la igualdad anterior a “s” se obtiene:
s = 1 (7.5)t2
(1)
2
La igualdad (1) es un modelo que describe la relación entre la distancia y el tiempo en movimiento del avión del problema en estudio. Es un modelo de función polinomial cuadrática para este problema en particular, y se puede simplificar para obtener:
s =3.75t2 Si de esta última igualdad se despeja la constante 3.75 se obtiene:
s =3.75,
2
t
lo que significa que, en el caso de nuestro problema, el desplazamiento es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. La característica anterior es propia de una clase de movimiento: el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En este tipo de movimiento la velocidad no se mantiene constante, sino que aumenta de manera uniforme a medida que transcurre el tiempo.
Modelos “listos para usarse” o estandarizados.
Si en un libro de Física buscamos una fórmula que relacione el desplazamiento y el tiempo en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, encontraremos:
s =Vot +1 at2 (1)
donde: s = desplazamiento Vo = velocidad inicial a = aceleración t = tiempo
La fórmula anterior es un modelo “listo para usarse”, establecido para aplicarse a cualquier situación donde intervenga un movimiento del mismo tipo que el avión del problema.
En el caso que se analiza, la velocidad inicial (Vo) es igual a cero, por lo que la fórmula se reduce a: 1
s = at2
Si en esta fórmula sustituimos la variable “a” por 7.5 coincidirá con la fórmula que obtuvimos a partir del análisis de los datos experimentales. El valor que se atribuye a la 15 deplazamiento
variable “a” sale de la operación , dividiendo . Dato incorporado de la
2 tiempo tabla 5.
3) Comprueba que la fórmula es válida para todos los valores del tiempo anotados en la tabla 5. − Lee de nuevo el texto del problema que tratamos de resolver. ¿Cuál es el
cuestionamiento básico?. En el enunciado del problema se nos pide encontrar el tiempo en que el avión llegará al límite de la pista: 1 500 m.
− ¿Cómo emplearías la fórmula (1) para encontrar la solución del problema?. Para encontrar el tiempo que tomaría el avión en llegar al límite de la pista, en la igualdad (1) sustituimos la variable s por 1 500. Así,
1
1500 = 75.t2
2
o
1500 375 2
= .t
La igualdad anterior es una ecuación de segundo grado o cuadrática con una incógnita: Despejar t de esta ecuación es muy sencillo.
− Resolver la ecuación 1500 = .t
375 2
El proceso para resolver la ecuación anterior es el siguiente: 1500
t2
=
3.75 400 =t2,
27 . Recuerda que estamos despejando el exponente entonces t es un número
que elevado al cuadrado es igual a 400. − ¿Cuál es el número? Hay dos números que cumplen la condición dada: 20 y -20. Recuerda:
2
Si un número real t es tal que t=x (x real no negativo), entonces t es una raíz cuadrada de x. Si t es positivo o cero, entonces es la raíz cuadrada principal de x y se denota con t= x; si t es negativo, entonces es la raíz cuadrada negativa de x y se denota con
.
− ¿Es correcto escribir 4 =±2 ?. ¿Por qué?.
La ecuación s= 3.75 t2 tiene dos soluciones:
t1 = 20 y t2 = -20
Sin embargo, un tiempo igual a -20 no tiene sentido en el problema que estamos resolviendo, porque no hay tiempo negativo, por lo tanto, la solución del problema es: el tiempo que el avión tardaría en llegar al límite de la pista es igual a 20 segundos.
Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones:
− La Construcción del MODELO ALGEBRAICO, está sujeto a las características y/o contexto del problema, por ello se recomienda leer, tantas veces como sea necesario, para establecer las variables e incógnitas del problema.
− En los modelos algebraicos, polinomial y cuadrático, pueden intervenir dos o más variables: “x” y “y”. El valor de “y” depende del valor de x; por tal razón podemos decir que “y” es la variable dependiente y x la variable independiente.
− Para la solución de problemas que conducen a funciones polinomiales cuadráticas, se revisaron los siguientes métodos:
a) por tabulación b) de aproximación sucesiva. c) de álgebra y geometría.
En conjunto, los tres métodos recaen en el modelo gráfico.
− Recuerda que en una parábola:
La abscisa del vértice con respecto al eje de simetría vertical es igual a la abscisa del punto medio del segmento que une a un par cualquiera de puntos simétricos de la parábola.
Verifica los conocimientos que has alcanzado realizando las siguientes actividades:
1. Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba desde una torre de lanzamiento de
/2
20 m de altura con una velocidad inicial de 250 m/s. La aceleración (g = 9.8 ms) debido a la gravedad de la Tierra afecta su movimiento y se desea determinar la altura del cohete en diferentes instantes.
a) Investiga en un libro de Física la fórmula que relaciona el desplazamiento y el tiempo de movimiento del cohete.
b) Construye el modelo adaptando la fórmula para el caso del cohete.
c) Elabora una tabla con valores aceptables.
d) Traza la gráfica.
e) A partir del modelo que obtuviste, calcula la altura máxima que, sobre el suelo, alcanza el cohete.
f) ¿En cuántos segundos alcanza su altura máxima?.
22
2. Para cada una de las funciones f x =−x +2x +8;f () =−x +6x y() x
12 2
fx x −4x −5:
() =
3
a) Determina las coordenadas del vértice, las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes, la concavidad y la ecuación del eje de simetría de la gráfica de la función.
b) Aplicando los resultados del inciso anterior bosqueja la gráfica.
c) Determina el valor máximo o mínimo de la función.
d) Determina los ceros de la función.
68
3. Resuelve las siguientes ecuaciones empleando el método que en cada caso se indica:
Por factorización:
2
a) x −−60x =
2
b) 2x 7×4 =0
+−
Completando trinomio cuadrado perfecto
2
c) x −10x +5 =0
2
−+
d) 4x 8×5 =0
Empleando la fórmula general:
2
e) 2x x105 =0+−
2
+ −=
f) 10x 9×7 0
2
Gráficamente, despejando x
2
g) x +−x 12 =0
2
−−
h) 6x 5×6 =0
4. Resuelve los siguientes problemas:
a) Las dimensiones de la pantalla de un televisor se dan comercialmente por la medida de su diagonal. Si la razón del largo al ancho debe ser de 4/3 ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la pantalla de un televisor de 14 pulgadas?
b) La velocidad de escape (V) de un planeta depende de su radio (R) y del valor de
2
aceleración (g) debida a su gravedad. La fórmula V =2gR expresa la relación que existe entre esas cantidades. ¿Cuál es la velocidad de escape, en km/s, en un
planeta cuyo radio mide 5 000 km y donde g = 0.002 km s/2 ?.
c) Un grupo de estudiantes compró una calculadora con graficador que costó N$ 600. Al inicio el grupo se componía de x alumnos, pero al agregarse otros cinco, la cantidad que cada uno debía pagar se redujo en N$10 pesos. ¿De cuántos alumnos constaba el grupo inicial?.
A continuación te presentamos la siguiente lista de palabras, las cuales se encuentran ordenadas alfabéticamente, en este glosario podrás consultar las palabras que no entiendas y así conocer su significado.
Abscisa: Es la coordenada horizontal que determina la posición de un punto en el plano cartesiano. Cóncavo: Figura plana, o cilíndrica que tienen sus líneas o superficie hacia adentro. Desplazamiento: Recorrido que hace un móvil de un punto a otro.
Dominio: Son los valores que adquiere la variable independiente en una función Funcion Lineal: Es un modelo algebraico que expresa la relación entre variable independiente con grado uno y la dependiente de un problema.
Intersección: Punto o línea donde se cruzan dos o más líneas. Intervalo: Espacio entre dos tiempos, números, variables o lugares. Método: Proceso seguido para alcanzar un objetivo especialmente para descubrir la
verdad y sistematizar los conocimientos.
Parábola: Lugar Geométrico de todos los puntos que equidistan de un un punto fijo y de una recta llamada directriz.. Rango: Son los valores que adquiere la variable dependiente en una función. Rectilíneo: De líneas recta. Simetría: Proporción adecuada de las partes de un todo entre sí y con el todo mismo. Tabular: Expresar por medio de tablas, valores u otros datos. Variable: Dependiente: son los valores obtenidos para la variable “y”. Varaible: Independiente: son los valores asignados a la variable “x”. Vértice: Punto en que ocurren tres o mas planos.
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