1.6.5 AJUSTE DE CURVAS
Analiza la situación siguiente: En una región de África, considerada como reserva ecológica, un grupo de biólogos ha obtenido datos sobre la relación que hay entre el número de animales herbívoros y el número de animales depredadores, y los ha graficado (figura 20). Ellos desean construir un modelo matemático que se ajuste a los datos que han obtenido.
| x | y |
|---|---|
| 50 | 0 |
| 60 | 180 |
| 80 | 425 |
| 100 | 500 |
| 120 | 400 |
| 140 | 180 |
| 150 | 0 |
Tabla 15
Gráf
ica 20
Como los puntos de la gráfica tienen una disposición parabólica, se traza la parábola que mejor se ajuste a la serie de puntos. La curva corta al eje x en x=50 y x =150, de modo que estos valores de x deben ser soluciones de la ecuación f(x)=0.
La regla de correspondencia de la función debe ser de la forma y = ax2+bx+c con a < 0
Como las soluciones de la ecuación, son x1 = 50y x2 = 150 . Y si igualamos a cero dichas soluciones, obtenemos las expresiones x-50=0; x-150=0.
Al realizar el producto de ambas expresiones igualado a cero, (x-50) (x-150)=0; obtenemos una ecuación cuadrática, cuyas soluciones son las intersecciones de la gráfica con el eje “x”.
Dicha ecuación es: x2 − 200x+ 7500 = 0
64
Esto nos hace pensar que la función que buscamos es:
2
yx=−200x +7500 (1) pero en la figura 18 se advierte que el vértice de la gráfica es V(100, 500). Si a la ecuación (1) le damos la forma común para encontrar las coordenadas del vértice de su gráfica, obtenemos:
2
y =(x −100) −2500 (2)
Por lo tanto, el vértice está en (100, -2 500).
Del estudio de la sección correspondiente al vértice de la gráfica de una función cuadrática se deduce que si multiplicamos el segundo miembro de la igualdad (2) por un número menor que 1, la gráfica se acortará.
Al realizar el producto de ambas expresiones igualado a cero, (x-50) (x-150)=0; obtenemos una ecuación cuadrática, cuyas soluciones son las intersecciones de la gráfica con el eje “x”.
Dicha ecuación es: x2 − 200x+ 7500 = 0
Esto nos hace pensar que la función que buscamos es:
yx=−200x +7500 (1) pero en la figura 18 se advierte que el vértice de la gráfica es V(100, 500). Si a la ecuación (1) le damos la forma común para encontrar las coordenadas del vértice de su gráfica, obtenemos:
y =(x −100) −2500 (2)
Por lo tanto, el vértice está en (100, -2 500).
Del estudio de la sección correspondiente al vértice de la gráfica de una función cuadrática se deduce que si multiplicamos el segundo miembro de la igualdad (2) por un número menor que 1, la gráfica se acortará.
Multiplicando el segundo miembro de (2) por -1/5 obtenemos:
12 1
y =− (x −100)+500 “Porque −2500 ⎜− ⎟=500 ” (3)
5 ⎝5⎠
Las coordenadas del vértice de la gráfica de la ecuación (3) son justamente las que necesitamos. Los puntos de intersección de la gráfica de esta ecuación con el eje X son (50, 0) y (150, 0). Por lo tanto, la función que se ajusta a los datos obtenidos es:
fx =− (x −100) +500 de donde la función original es () =− x +40x −1500
() fx
Resuelve lo siguiente:
Comprueba que la función anterior se ajusta a los datos del problema y luego calcula en forma algebraica las coordenadas de los puntos de intersección con el eje X y traza su gráfica.
Durante el estudio de los problemas planteados en este trabajo se construyeron las gráficas de las funciones cuadráticas, con el fin de que puedas comprobar y/o reafirmar resultados: además repasa lo siguiente:
−Recuerda que para la solución de estos problemas, se revisó el método de completar
2
el trinomio cuadrado perfecto: ax +bx+c =0 , a =/0 de este método se deriva la solución por medio de la fórmula general:
,a =/0
2a
El discriminante es b2 – 4ac
−La solución de una ecuación cuadrática depende del valor de la expresión b2 -4ac, la cual recibe el nombre de discriminante de la ecuación.
Una vez que se han explicado los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, éstos métodos los podrás aplicar en la solución de problemas que conducen a una ecuación de segundo grado.
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