La solución de los siguientes problemas te permitirá identificar la utilidad que tiene la función polinomial cuadrática para interpretar diversos fenómenos que se presenten en diferentes áreas por ejemplo: en Contabilidad, Física, Química, Ciencias Naturales, Electrónica, Geometría, entre otras.

1. Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 34 m/s desde una altura de 210 m sobre la superficie de Marte; la altura (h) sobre la superficie (t) segundos después.

Está descrita por la función: f t() =−3t²+34 t +210 ; donde h = f ( t )

¿La altura máxima alcanzada por la piedra, es?:

1. Si la base y la altura de un tinaco que mide 40 x 20 pulgadas aumentan la misma cantidad, el área de un nuevo tinaco será el doble del antiguo ¿cuáles son las dimisiones del nuevo tinaco?.
2. Nota: Para tu resultado puedes utilizar decimales.
1. Un patinadero mide 100 m de largo y 70 m de ancho. El propietario desea aumentar
2. su área a 13000 m² , agregando franjas de igual ancho a un lado y a un extremo, esto es con la finalidad de mantener el patinadero en su misma forma rectangular. Por lo tanto las dimensiones de las franjas deben ser:
1. Las dimensiones de las pantallas del televisor se dan comercialmente por la medida de su diagonal. Si la razón del ancho al largo debe ser de 3/4, ¿cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la pantalla de un televisor de 14 pulgadas?.

Nota: Aplicar el Teorema de Pitágoras.

Ésta es una de las más simples, pues cada término de la sucesión se obtiene sumándole al anterior una misma constante, luego entonces: La sucesión aritmética se define por la fórmula de recurrencia:

ƒ(n) = f(n-1) +d (16) ƒ(1) = b

Donde la constante d es una número fijo llamado la diferencia común puesto que de la misma fórmula de recurrencia (d=ƒ(n)-ƒ(n-1) y a ƒ(1)= b se le llama la condición inicial conocida; Ejemplo:

2,4,6,8, …, n=2,3 …

¿Es una sucesión aritmética?. ¿Porque?. Porque basta tener ƒ(1) = 2 (condición inicial) y permanentemente sumarle la constante d=2. Así obtenemos:

Sucesión Aritmética

a, a+d, a+2d, a+3d+…, +a+kd… a+nd… por ejemplo sí a=1 d=2

al substituir dentro de las sucesión

1, 1+2=3 1+4=5 1+6=7 . . . Número impares

si a=2 d=2

2, 2+2=4, 2+4=6, 2+6=8 . . . Números pares

Aquí se puede obtener la fórmula de recursión para las serie aritmética, especificando los valores para a y pares d y el rango para el índice “K” (K=O,N).

Entonces para encontrar el termino tk

Si to = a t1=a+d t2=a+2d t3=a+3d tk =a+kd (k=0,1,2…)

Ahora si nosotros queremos generar tk en términos de tk-1 usando la fórmula de recursión.

to = a t1 = a+d=to+d t2 = (a+d)+d=t1+d t3 = (a+2d)+d=t2+d

. . .

tk = (a+[k-1]d+d)= tk-1+d . . .

tn = (a+[n-1]d+d)= tn-1+d

Las fórmulas descritas se pueden agrupar en una sola fórmula de recursión.

tk = tk-1 +d (k=1,2,3)

donde se usa como condición inicial

to = a Ejemplo:

Generar los primeros 100 términos de las serie aritmética de enteros impares positivos con: a=1 d=2 n=99 k>1

t1=a=1 condición k=2,3,4…

88

tk =tk-1 +d fórmula de recursión

Si k=2 t2 = t2-1+2 = t1+2 = 1+2=3

Si k=3 t3 = t3-1+2 = t2+2 = 3+2=5 . 1, 3, 5 … . .

Para

n = 1; ƒ(1) = 2 n = 2; ƒ(2) = ƒ(1)+2=2+2= (1+1)2=2⋅2=4 n = 3; ƒ(3) = ƒ(2)+2=4+2= (2+1)2=2⋅3=6 n = 4; ƒ(4) = ƒ(3)+2=6+2= (3+1)2=2⋅4=8

Gráfica 12

(n-1) f(n-1)=2⋅(n-1) Hipótesis de inducción.

Entonces cuando llega a n ƒ(n)= ƒ(n-1)+2=2(n-1)+2=2n . Es la fórmula del término general para los números pares ƒ(n)=2n.

Una sucesión aritmética es la de distancias recorridas por un móvil cada segundo, bajo un movimiento uniformemente acelerado (es decir, bajo un movimiento que en cada segundo aumenta su aceleración).

Si la aceleración del móvil es a (en metros/segundos²). Si en el 1er. segundo el móvil recorre la distancia b (en metros). En el 2o. segundo el móvil recorrerá la distancia b + a. En el 3er. segundo el móvil recorrerá la distancia b +2a, etc. En el n-ésimo segundo el movil recorrerá la distancia b+2a, etc. En el n-ésimo segundo el movil recorrerá la distancia b+(n-1)a, etc.

89

Lo anterior significa que un móvil con un movimiento uniformemente acelerado formará

la siguiente sucesión de distancias recorridas: b= – – – (condición inicial) a= – – – diferencia constante

(18) b, b+a, b+2a,…, b+(n-1)a, …,

cuya diferencia es la aceleración a, siendo su condición inicial el recorrido inicial del móvil (Gráfica 26).

Gráfica 13

Dado que la definición la sucesión aritmética se define como:

(19)

ƒ(n) = ƒ(n-1) + d ƒ(1) = b,

no es difícil deducir la fórmula para el n-ésimo término general, ƒ(n) de la sucesión aritmética, a través de la variable n. En efecto, ƒ(n) es el resultado de sumar (n-1) veces d al termino inicial ƒ(n), es decir, ƒ(n), es decir, ƒ(n) = ƒ(1) + (n-1)d, o bien:

(20) ƒ(n) = b + (n-1)d Fórmula para el n-ésimo término de una sucesión aritmética.

Observa que en esta fórmula aparecen cuatro magnitudes: el valor del término general n-ésimo de la sucesión aritmética f(n); la condición inicial b ó f(1) (primer término de la sucesión, la diferencia de la sucesión) d, ( diferencia entre un término y el que antecede), y el valor del lugar que ocupa el término en la sucesión (n). Por lo tanto, cualquier problema en que sean conocidas tres de tales magnitudes podrá conocerse la cuarta.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elaborar lo siguiente:

1. Halla los primeros ocho término de la sucesión aritmética, si ƒ(1)= -3yd = 4
2. Encuentra la diferencia d de la sucesión aritmética, si ƒ(1) = 2y ƒ(8) = 23
3. Halla el número n de la sucesión aritmética si ƒ(1) = 10 ƒ(n) = O y d = -2

En la asignatura de Matemáticas I estudiaste las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, la importancia de éstas, así como su utilidad; ahora con el estudio de este fascículo:

¿QUÉ APRENDERÁS?

La relación entre la ecuación de primer grado con dos incógnitas y la función lineal como modelo algebraico.

La gráfica de una función lineal y su importancia.

La aplicación de las funciones lineales a problemas concretos.

¿CÓMO LO LOGRARÁS?

A través del análisis de problemas y ejemplos que se plantean a lo largo del contenido.

Aplicando cada una de las partes que componen una función lineal.

¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

Para analizar fenómenos que estudiarás en las asignaturas de Física, Química, Biología y Ecología, entre otras. Además, esto te ayudará a comprender y aplicar el concepto de función polinomial cuadrática.

Los métodos que hasta ahora hemos usado nos han permitido hallar soluciones aproximadas para nuestro problema, pero si nos interesa encontrar la solución exactanecesitamos emplear otros recursos. La combinación de Álgebra y Geometría que se logra con la introducción del sistema de coordenadas cartesianas constituye una herramienta valiosa para la resolución de una gran cantidad de problemas.

A continuación se estudian de manera informal algunas propiedades de la parábola y su relación con los modelos polinomiales cuadráticos.

Algunas propiedades de la parábola

Con anterioridad se determinó que las coordenadas (x,y) del vértice de la parábola que se obtiene al graficar la relación y =−x² +28x (gráfica 2) proporcionan el valor de x que hace máxima el área del rectángulo correspondiente al problema del huerto. Y el

valor máximo “y” de ésta, constituye para encontrar ciertas propiedades de esta curva.

A continuación se presentan una serie de ejercicios que tendrás que resolver de acuerdo a lo que ya estudiaste, si tienes dudas para su solución, acude con tu Asesor de Contenido.

A ) Resuelve lo siguiente:

1. En papel cebolla copia la gráfica de y=-x²+28x (gráfica 2).
2. Dóblala a lo largo tratando que coincidan las dos mitades de la parábola.
3. Marca el doblez.
4. Traza una recta sobre el doblez.

La recta que has trazado sobre el doblez divide la figura en dos partes en forma tal que una es la imagen de la otra, por lo que se dice que la parábola tiene simetría reflexiva o axial (con respecto de un eje). La recta que determina el doblez es el eje de simetría de la parábola.

En la parábola que nos ocupa el eje de simetría es vertical, esto es, paralelo al eje Y.

− ¿Qué puntos de la parábola coinciden al doblarla por su eje de simetría. En tu respuesta deberán estar, entre otros:

(5, 115) y (23, 115) (7, 147) y (21, 147) (9, 171) y (19, 171)

Se dice que éstos son puntos simétricos de la parábola.

Gráfica de la relación

− Traza en el plano cartesiano los puntos correspondientes a los datos de la tabla 5 (emplea una hoja de papel milimétrico para conseguir mayor aproximación).

− Compara las ordenadas de los pares de puntos simétricos de la parábola. ¿Cómo son éstas?.

Habrás advertido que dos puntos simétricos de una parábola con eje de simetría paralelo al eje Y tienen la misma ordenada.

Por otra parte, al examinar la copia de la gráfica en el papel cebolla y doblándola por el eje de simetría, se advierte que:

–

El eje de simetría pasa por el punto medio de cada uno de los segmentos que unen dos puntos simétricos.

–

El vértice de la parábola está sobre el eje de simetría, y dicho vértice se representa por el punto v(h, k), donde h es el valor de la abscisa y k es el valor de la ordenada.

De las aseveraciones 1 y 2, y del hecho de que el eje de simetría de la parábola que estamos estudiando es paralelo al eje Y deducimos que:

El valor de la abscisa del vértice de una parábola con eje de simetría vertical se puede determinar del punto medio del segmento que une a un par cualquiera de puntos simétricos.

¿Adviertes la importancia del último enunciado?

En él se encuentra la clave para obtener la base del rectángulo del área máxima, la cual es precisamente la solución del problema en estudio. Tomemos dos puntos simétricos de la parábola; por ejemplo:

A(5, 115) y A’ (23, 115)

El valor de la abscisa x, del punto medio del segmento AA´ es el promedio de las abscisas de sus extremos. Entonces:

523

x =⁺ =14

− ¿Qué relación tiene este resultado con el vértice de la parábola relativa al problema

que deseamos resolver? ¿Cuál es entonces la solución del problema? ¿Cuáles son

las coordenadas del vértice (h,k).

¡Eureka! La abscisa del vértice es x= 14, y 14 metros es exactamente la medida de la base que requiere el área máxima del rectángulo que constituye el terreno del huerto.

1. Calcula la altura del rectángulo con una base de 14m. ¿Qué clase de rectángulo es éste?.

2

El área máxima de l terreno se obtiene sustituyendo x por 14 en y=-x +28x

− Calcula el área máxima del terreno del huerto. ¿Qué relación hay entre el área máxima y las coordenadas del vértice?.

− ¿Deben unirse los dos puntos dibujados?. ¿Por qué?.

− ¿Qué tipo de figura se obtiene?.

Los modelos matemáticos nos permiten hacer predicciones, imitando los efectos de las variaciones de una cantidad sobre otras relacionadas con ella. En el ejemplo siguiente analizaremos las relaciones entre el tiempo y la distancia recorrida por un cuerpo con el fin de predecir su comportamiento en una situación determinada.

B ) Resuelve el siguiente problema

1. Un avión que parte del reposo avanza sobre la pista de despegue de un aeropuerto con una trayectoria rectilínea. Durante los primeros 12 segundos, a intervalos de dos segundos, se registra la distancia recorrida obteniéndose la siguiente tabla:

Tabla 5

La pista es la que permite un recorrido máximo de 1 500 metros antes del despegue. ¿En qué tiempo llegará al avión al límite de la pista si continúa desplazándose con el mismo patrón con que siguió los primeros 12 segundos?.

A partir de los datos experimentales trataremos de encontrar un modelo que describa la relación entre el tiempo y el desplazamiento del avión (distancia medida en una dirección determinada). En este problema intervienen dos variables: el tiempo (t) y el desplazamiento (s).

De acuerdo con la definición de función.

¿Cuál de las variables consideras que es la independiente y cuál la dependiente?.

Ya que el desplazamiento de un cuerpo depende del tiempo que dure el movimiento, la variable dependiente es s y la independiente es t.

En la gráfica 4, correspondiente a la gráfica de la relación entre el tiempo recorrido el desplazamiento, los puntos se unen, ya que no se pasa con brusquedad de, por ejemplo, 2 a 4 segundos, sino que el tiempo va tomando los valores intermedios entre 2 y 4 segundos. La figura que se obtiene es la “mitad” de una parábola.

Gráfica 4

Analicemos la tabla 5 tratando de descubrir un patrón para el comportamiento del desplazamiento al variar el tiempo.

− ¿Qué aprecias a primera vista en la tabla 5?. Se observa que al aumentar el tiempo aumenta la distancia que recorre el avión.

− En este caso, ¿el desplazamiento es directamente proporcional al tiempo?.

Dividiendo algunos valores del desplazamiento entre el tiempo correspondiente (distinto s

de cero) se encontrará la respuesta a la última pregunta. Si sabemos que v =

t v=velocidad, s=desplazamiento, t=tiempo

15m 60m 135 m 240m

v = 75v = 15 v = 225v = 30

1^.2 3^.4

2 seg 4seg 6 seg 8 seg

Las razones de los diferentes valores de desplazamiento en los tiempos correspondientes no son iguales, por cuanto que la distancia no es directamente proporcional al tiempo. Esto significa que el movimiento del avión no es uniforme, es decir, no viaja con una velocidad constante. Sin embargo, existe cierta regularidad en el comportamiento de las razones que se calcularon.

− Encuentras algún patrón que te permita determinar ¿cuál será el cociente del siguiente par de números de la tabla 4?

Observa que:

151 601 1351

=• (2)(7.5) =•(4)(7.5) =• (6)(7.5)

22 4262

Esto es, =(7.5)t

t2 Despejando de la igualdad anterior a “s” se obtiene:

s = ¹ (7.5)t²

(1)

2

La igualdad (1) es un modelo que describe la relación entre la distancia y el tiempo en movimiento del avión del problema en estudio. Es un modelo de función polinomial cuadrática para este problema en particular, y se puede simplificar para obtener:

s =3.75t² Si de esta última igualdad se despeja la constante 3.75 se obtiene:

s =3.75,

2

t

lo que significa que, en el caso de nuestro problema, el desplazamiento es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. La característica anterior es propia de una clase de movimiento: el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En este tipo de movimiento la velocidad no se mantiene constante, sino que aumenta de manera uniforme a medida que transcurre el tiempo.

Modelos “listos para usarse” o estandarizados.

Si en un libro de Física buscamos una fórmula que relacione el desplazamiento y el tiempo en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, encontraremos:

s =Vot +¹ at² (1)

donde: s = desplazamiento Vo = velocidad inicial a = aceleración t = tiempo

La fórmula anterior es un modelo “listo para usarse”, establecido para aplicarse a cualquier situación donde intervenga un movimiento del mismo tipo que el avión del problema.

En el caso que se analiza, la velocidad inicial (Vo) es igual a cero, por lo que la fórmula se reduce a: 1

s = at²

Si en esta fórmula sustituimos la variable “a” por 7.5 coincidirá con la fórmula que obtuvimos a partir del análisis de los datos experimentales. El valor que se atribuye a la 15 deplazamiento

variable “a” sale de la operación , dividiendo . Dato incorporado de la

2 tiempo tabla 5.

3) Comprueba que la fórmula es válida para todos los valores del tiempo anotados en la tabla 5. − Lee de nuevo el texto del problema que tratamos de resolver. ¿Cuál es el

cuestionamiento básico?. En el enunciado del problema se nos pide encontrar el tiempo en que el avión llegará al límite de la pista: 1 500 m.

− ¿Cómo emplearías la fórmula (1) para encontrar la solución del problema?. Para encontrar el tiempo que tomaría el avión en llegar al límite de la pista, en la igualdad (1) sustituimos la variable s por 1 500. Así,

1

1500 = 75.t²

2

o

1500 375 ²

= .t

La igualdad anterior es una ecuación de segundo grado o cuadrática con una incógnita: Despejar t de esta ecuación es muy sencillo.

− Resolver la ecuación 1500 = .t

375 ²

El proceso para resolver la ecuación anterior es el siguiente: 1500

_t²

=

3.75 400 =t²,

27 . Recuerda que estamos despejando el exponente entonces t es un número

que elevado al cuadrado es igual a 400. − ¿Cuál es el número? Hay dos números que cumplen la condición dada: 20 y -20. Recuerda:

2

Si un número real t es tal que t=x (x real no negativo), entonces t es una raíz cuadrada de x. Si t es positivo o cero, entonces es la raíz cuadrada principal de x y se denota con t= x; si t es negativo, entonces es la raíz cuadrada negativa de x y se denota con

.

− ¿Es correcto escribir 4 =±2 ?. ¿Por qué?.

La ecuación s= 3.75 t² tiene dos soluciones:

t1 = 20 y t2 = -20

Sin embargo, un tiempo igual a -20 no tiene sentido en el problema que estamos resolviendo, porque no hay tiempo negativo, por lo tanto, la solución del problema es: el tiempo que el avión tardaría en llegar al límite de la pista es igual a 20 segundos.

Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones:

− La Construcción del MODELO ALGEBRAICO, está sujeto a las características y/o contexto del problema, por ello se recomienda leer, tantas veces como sea necesario, para establecer las variables e incógnitas del problema.

− En los modelos algebraicos, polinomial y cuadrático, pueden intervenir dos o más variables: “x” y “y”. El valor de “y” depende del valor de x; por tal razón podemos decir que “y” es la variable dependiente y x la variable independiente.

− Para la solución de problemas que conducen a funciones polinomiales cuadráticas, se revisaron los siguientes métodos:

a) por tabulación b) de aproximación sucesiva. c) de álgebra y geometría.

En conjunto, los tres métodos recaen en el modelo gráfico.

− Recuerda que en una parábola:

La abscisa del vértice con respecto al eje de simetría vertical es igual a la abscisa del punto medio del segmento que une a un par cualquiera de puntos simétricos de la parábola.