Durante el desarrollo de este fascículo ha sido necesario resolver varias ecuaciones cuadráticas con una incógnita.

Para encontrar el tiempo que un avión, que partió del reposo y se desplaza con movimiento uniforme acelerado, tarda en recorrer 1 500 m, resolvimos la ecuación:

375 = 1500 .t²

Nota: Consulta en un libro de Física que la ecuación que se obtiene es la misma que se aplica para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

También se resolvió la ecuación para el problema del submarino y de acuerdo con ésto, nos dimos cuenta que la solución de una ecuación cuadrática son los ceros de la función polinomial cuadrática.

Todas las cosas que ocurren en la Naturaleza y en la sociedad sufren alteraciones en el transcurso del tiempo, por lo que a su vez unos fenómenos varían con respecto de otros, aunque algunos valores calculados o medidos no cambian en ciertos periodos. Ejemplo de ello son: el movimiento de los planetas, el volumen de la materia cuando se calienta y la reproducción de microorganismos infecciosos.

Desde siempre el hombre ha tratado de comprender y representar dichos cambios tanto mental como matemáticamente. Las expresiones desarrolladas para este efecto son lo que conoces como funciones.

Los investigadores y científicos necesitan representar en forma algebraica los fenómeno que desean estudiar para descubrir sus propiedades y encontrarles aplicaciones.

Para comprender lo que es una función partiremos de un problema práctico.

Ejemplo 1

Un estudiante en el laboratorio de su escuela, que se encuentra cerca de la playa, desea comprender qué ocurre con el agua al calentarla. Para ello enciende el mechero Bunsen, comienza a calentar el agua y mide su temperatura cada dos minutos. Para no olvidar los valores registra en una tabla el tiempo y la temperatura. Puedes hacer tus propias mediciones en la clase de Física.

Si escribes cada valor de la temperatura utilizando la temperatura inicial de 30°C y los tiempos que van transcurriendo se obtendrá lo siguiente: T= 30 =30+0=30+3(0) T=36=30+6=30+3(2) T=42=30+12=30+3(4) T=48=30+18=30+3(6) Ahora tú desglosa el siguiente valor. T=54= __________________________ Generalizando estas expresiones se obtiene: T=30+3(t) (1)

Tabla 18

Como puedes observar en el tiempo t=0 se realiza la primera medida de temperatura de 30°C llamada temperatura inicial.

Elabora los ejercicios considerando lo que ya estudiaste.

A) Responde ahora las siguientes preguntas o completa las frases según se requiera.

• Elige dos temperaturas consecutivas entre 0° y 22° y anota en cuánto difieren: ________ °C.
• ¿Cuánto varía la temperatura de una medición a otra? ____________ °C.
  • Si continuas tomando mediciones después de los 28 minutos, ¿qué valores esperas
  • que marque el termómetro?. _____________________________________________ ____________________________________________________________________.
• Como la temperatura no cambia en dichas mediciones, resulta ser una cantidad llamada _____.

Para continuar traza los puntos de la tabla en el plano cartesiano.

Gráfica 24

Observa que la temperatura aumenta al transcurrir el tiempo y que esto ocurre hasta el minuto 24, a partir del cual la temperatura se conserva en el valor de 100°C por más que avance el tiempo.

Por lo anterior vemos que hasta el minuto 24 los valores de la temperatura dependen del tiempo en que se midan, por lo que se dice que T es función del tiempo y, y entonces la expresión (1) se debe escribir de la siguiente forma:

T(t) = 30+3t (2)

Esta expresión corresponde a un modelo más general, como el siguiente:

f(x) =30+3x,

el cual representa otros fenómenos con características similares. Consulta otros ejemplos en las referencias o bibliografía.

B) Representa ahora los valores del tiempo t mediante el conjunto D y los de la temperatura T, con R mediante un diagrama de Venn y señala en el mismo la relación entre dichos valores.

Diagrama de Venn Tabla 19

C) De acuerdo con el diagrama, completa los siguientes enunciados.

• Solamente un valor R se obtiene con cada __________ de D en el intervalo ( 0, 22 ).

A las relaciones entre los elementos de dos conjuntos que siguen una regla o comportamiento se les ha dado el nombre de funciones.

A un valor del Dominio (D), le corresponde uno y solo un valor del Rango (R).

Escribe los valores que se le pueden asignar al tiempo t en el conjunto D= _{}para la función (2). A partir de este conjunto, ¿cuáles son los valores que se obtienen para la temperatura T?. R= _{}. ¿Conoces el nombre que se le da a los conjuntos D y R?. Respuesta: D se llama domino de la función y R se llama rango de la función. Con esta respuesta puedes comprender por qué se asignó las letras D y R a los conjuntos anteriores. El nombre que recibe cada conjunto R es ___________________________. Como podrás observar, cada valor de la temperatura depende del valor del tiempo transcurrido. Por tal motivo:

A la temperatura T se le llama variable dependiente y al tiempo t se le llama variable independiente, es decir, los valores de la función los determina o “domina” el tiempo t.

En ésta se ve que conforme los años aumentan, el número de ramas también lo hace, cada caso en que la función es creciente en todo su dominio. Asimismo, para representar todos los puntos es necesario cambiar la escala del eje vertical.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Resuelve los siguientes ejercicios: a) Analiza la gráfica y establece sus propiedades b) ¿Por qué el dominio es A = {1, 2, 3, …8}? c) ¿Por qué no hay puntos en la parte negativa del eje horizontal? d) ¿Por qué la gráfica de la función son puntos aislados?

Las funciones cuya gráfica en el plano coordenado son puntos aislados se llaman discretas, es decir, su valor es un número entero no habiendo continuidad en la gráfica.

La regla de correspondencia de la función anterior es: ƒ(n) = y = 2^n-1 (1)

y si se le compara con la regla de correspondencia de la función

(2)

ƒ(n) = y = n² se concluye que en la primera la variable independiente es el exponente de la base y en la segunda la variable independiente es la base, la cual forma la función cuadrática.

La primera es una función trascendente y la segunda, una función algebraica. De lo anterior se infiere:

Que en toda función exponencial, la variable independiente es el exponente de la base.

Ejemplo. 2 La representación de la amiba

Los estudios biológicos sobre un tipo de amiba nociva para la salud descubrieron en ésta las siguientes características: a) Su reproducción es por bipartición, es decir, una se divide en dos, cada una en otras

dos, etcétera. b) Se reproducen en periodo de 20 minutos.

17

c) Su tamaño es del orden de milimicras, por lo que el ojo, humano no la detecta.

d) Su concentración es de 10 millones por milímetro cúbico.

e) Para su reproducción requiere de un medio acuoso llamado caldo de cultivo.

El estudio de la reproducción de la amiba se hace a través de una muestra de un milímetro cúbico; sin embargo con sólo estudiar una es suficiente, ya que los resultados de una se extrapolan para los 10 millones. Analicemos la reproducción de la amiba en la tabla 3.

Tabla 3.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Realiza los siguientes ejercicios con base a los siguientes:

a) Completa la tabla anterior para tres horas y determina el número de amibas para cada periodo. Observarás que ésta es similar la tabla del ejemplo 1.

b) Si lo representa a los primeros 10 millones de amibas, y al total de éstas y t a un periodo de 20 minutos ¿cuál es la expresión exponencial que nos permitirá determinar el número de amibas en cualquier período t?

c) La expresión resultante en el inciso anterior es la regla de correspondencia de la función que define el problema; compárala con la correspondiente al ejemplo 1 y explica tus observaciones. (Para representar la gráfica de la función, primero se calculan algunas imágenes como se observa en la tabla 4, en que t son periodos de 20 minutos).

Tabla 4. Nota: 10’ son 10 millones de amibas por mm³

18

Gráfica 2.

d) Determina el dominio y la imagen para t = 3 horas en periodos de 20 minutos. (La gráfica de la función nuevamente son puntos aislados, lo cual se debe a que t son periodos de 20 minutos; ¿entre punto y punto de la gráfica no hay reproducción? Si analizamos cómo se está realizando ésta, concluiremos que sí la hay, es decir, los periodos de 20 minutos pueden iniciar en cualquier momento y al finalizar obtendremos una reproducción promedio).

e) Determina el número de amibas reproducidas tras 50 minutos. Localiza el punto en la gráfica. (De acuerdo con el resultado que obtuviste al colocar el punto en la gráfica habrás comprobado que hay muchos puntos que no se han calculado presentes en la gráfica).

Ejemplo 3. La explosión demográfica

En la sierra norte de Puebla hay un pintoresco municipio cuya población ha aumentadoconstantemente por personas atraídas por sus bellos paisajes. Éste, en 1980, tenía 10 mil habitantes, y en el censo de 1981 registró un incremento del 10%, mismo caso que en 1982 y 1983. Con estos datos podemos determinar la función de crecimiento de la población, para la cual representaremos con Ho a 10 mil habitantes. Veamos la tabla 5, donde: i es la tasa de crecimiento anual, es decir, i = 10% = 0.1; y n el número de años.

Tabla 5.

19

Observa que el factor entre paréntesis (1+i) es la base de la función exponencial y que su exponente crece en una unidad por cada año transcurrido; que la población al final de cada año sirve de base para calcular el siguiente año, para lo cual se multiplican por la tasa i para determinar el incremento, que se suma a la cantidad ya existente; para obtener la expresión final más compacta se efectúa una factorización; el primer paréntesis tiene exponente cero, el cual representa el año cero, año que se inicia el análisis. Recuerda que todo número elevado a un exponente cero, vale uno.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Realiza los siguientes problemas

a) ¿Cuántos habitantes habrá en el año 2000, suponiendo que la tasa de crecimiento es la misma y no hay defunciones? b) ¿En qué año habrá una población de 100 000 personas haciendo la misma suposición del inciso a?

Para hallar la representación gráfica en el plano coordenado, primero se calcula el número de habitantes por año, que representa la imagen de cada año, valores con los cuales formaremos las parejas ordenadas.

Tabla 6.

c) Completa la tabla para los años que faltan. (Para obtener la gráfica en el plano

coordenado se deben localizar los puntos de cada pareja ordenada). d) ¿Podríamos unir los puntos? ¿Por qué? e) ¿Tendrá sentido la parte negativa de n?

De la gráfica se deduce que el dominio es: Z⁺U{0}.

El condominio de Z⁺ (conjunto de enteros positivos). La regla de correspondencia:

ƒ(n) = Ho (1+i)ⁿ.

Y la función más general: ƒ: Z⁺U{0} →Z,⁺ con ƒ(n) = Ho (1+i)ⁿ.

Gráfica 3.

La función es discreta porque su gráfica en el plano coordenado son puntos aislados, toda vez que cada punto representa un número de personas y no podemos hablar de fracciones de persona. Por lo tanto, en la vecindad de cada punto existe el vacío.

Es creciente en todo su dominio, porque al comparar la regla de correspondencia con los problemas anteriores, vemos que hay diferencia; sin embargo:

Es una función exponencial porque la variable independiente n es el exponente de la base (1+i).

Ejemplo 4. La difusión de la información

El cofre de Perote, volcán por muchos años inactivo, en los últimos días ha visto cierta actividad, por lo que científicos de la UNAM realizaron estudios para determinarla, descubriendo que a las 10:00 horas del 15 de junio de 1992 haría erupción y que la dirección de la lava era hacia la ciudad de Teziutlán, cuya población es de 90 000 familias. Los estudios concluyeron que en la madrugada del día 16 urgía evacuar la ciudad porque la descarga de lava amenazaba con cubrirla. Por lo anterior, la autoridad municipal recibió la orden de evacuar a las 6:50 horas y, gracias a que tenía conocimientos matemáticos, realizó cálculos como se observa en la tabla 7.

Tabla 7.

21

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Resuelve lo siguiente

a) Completa la tabla.

b) Establece la expresión para n periodos.

c) Si la difusión informativa inició a las 7:00 horas, ¿en qué período todas las familias habían sido avisadas?

d) ¿Qué tiempo tenían las últimas familias para evacuar?(Para representar la gráfica en el plano coordenado se calcula la imagen de cada elemento del dominio y se forman las parejas, que son los puntos de la gráfica).

Tabla 8.

La generalización de la función es:

ƒ: A → B con ƒ(n) = 3ⁿ

creciente en todo su dominio. Es una función discreta porque su representación gráfica son puntos aislados en el plano coordenado.

e) Determina el dominio. f) Determina el codominio. g) La regla de correspondencia. h) Establece la función como conjunto de parejas ordenadas.

22

Gráfica 4.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Para reafirmar lo aprendido, en los siguientes problemas define la función general que los rige, determina en cada uno el dominio, codominio, regla de correspondencia y traza su gráfica, la que debes analizar y determinar sus características:

1. La función de crecimiento de un árbol que produce cada año tres ramas de cada una.
2. La función de crecimiento de la población de una ciudad de 50 000 habitantes con una tasa de crecimiento i = 15%.
3. La difusión de la información en una ciudad de 100 000 habitantes si cada persona le avisa a cuatro personas.
4. La función que define el número de descendientes en cualquier generación toda vez que debido al control natal cada familia sólo tuvo dos hijos. En caso detener alguna duda, consulta con tu asesor.

23

Ejemplo 5. Vida media del material radiactivo

Al analizar la vida media de un material radiactivo (tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de dicho material), se determinó que éste cada año disminuía a la mitad. Establece la vida media del radioisótopo. Para ello, primero se analizará lo que sucede con un kilogramo de material tomado para el tiempo t, periodos de 20 años. Veamos la tabla 9.

Tabla 9.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elabora lo siguiente:

a) Completa las columnas que faltan en la tabla. b) Determina la regla de correspondencia para t periodos. c) Establece la función general de la vida del radioisótopo.

Analiza el comportamiento de la tabla (10) y establece el dominio si definimos la función de la vida media de un radioisótopo por:

24

ƒ(t) = ()^t

1

2

Tabla 10.

25

Gráfica 5.

d) Calcula las parejas que faltan. e) ¿Por qué la función es discreta? f) ¿Qué comportamiento tiene la función: creciente o decreciente? ¿por qué?

Si en lugar de tomar periodos de 20 años, tomamos un tiempo continuo, es decir t∈R, entonces la gráfica de ƒ(t) es una línea continua, como se muestra en la gráfica 6.

Gráfica 6.

26

Con esta gráfica podemos calcular, aproximadamente, el material radiactivo que se tiene y el que se ha desintegrado.

Veamos otro ejemplo: ¿Qué cantidad de radioisótopo habrá después de 50 años?

Solución

Trazamos una línea perpendicular en el año 50 hasta tocar la gráfica; en este punto se traza una línea horizontal hasta tocar el eje vertical, siendo este punto del eje material que no se ha desintegrado. Para determinar éste, restamos del total la cantidad sin desintegrar .

Las gráficas ahorran tiempo en el cálculo, mas tienen el inconveniente de que el valor que se determina es aproximado, como en nuestro ejemplo donde es de aproximadamente 179 gr, resultado diferente si lo hacemos mediante cálculos.

5

Para 50 años t = de periodo, y sustituyendo en la regla de correspondencia

2obtenemos:

5  5⎞ 1 21 1

w = ƒ _⎠ = = =≅ 0.177kg ∴w≅177gr.

_⎝^ _⎝^⎜_⎠^⎟

2 2 532

2

El resultado indica que al finalizar los primeros 50 años de vida media del material en estudio, se han desintegrado 823 gramos.

g) ¿Qué interpretación se puede dar a la parte de la gráfica que se localiza en el lado

negativo de t? h) ¿Cuántos años deben transcurrir para que nos queden 7.0gr. de sustancia

radiactiva?

Esta gráfica respecto de los ejemplos anteriores es decreciente, por lo que se concluye de los problemas analizados que la función exponencial puede ser creciente o decreciente.

Ejemplo 6. Monto del interés compuesto

Cierto día, la señora Alejandra decidió realizar una gran fiesta a su hija cuando cumpliera 15 años, para lo cual depositó en un banco $ 5 000 pesos, a una tasa de interés compuesto del 12% anual. Determina la función del monto (s) a t años con la siguiente simbología:

C0 = Capital inicial de $ 5 000

27

i = Tasa de interés anual = 12% = 0.12 t = Tiempo en años S = Monto al final del tiempo de inversión

Analicemos los datos en la siguiente tabla.

Tabla 11.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Elabora lo siguiente:

a) Completa la tabla 11 para el 5o y 6o año y establece el monto para t años. b) ¿Qué cantidad tendrá al final del décimo año? c) ¿Qué cantidad retirará en el decimoquinto año?

Observa que el exponente del paréntesis aumenta en una unidad por cada año transcurrido, es decir, varía con el tiempo en la misma forma, por lo que la función para t años es:

ƒ: A → B con ƒ(t) = C0 (1+i)^t

(1)

La representación gráfica de esta función en el plano coordenado la determinan la imagen de cada año y formamos las parejas ordenadas como se indica en la tabla 12.

Tabla 12.

28

d) Completa la tabla. e) Expresa la función como un conjunto de parejas ordenadas. f) ¿Por qué la función es discreta o continua?

Gráfica 7.

Para trazar la gráfica en el plano coordenado, el monto lo representamos en el eje vertical multiplicado por el capital inicial C0 = 5 000; es decir, únicamente representamos en el eje el segundo valor del paréntesis; en el eje horizontal representamos el tiempo t.

g) Con otra escala determina la gráfica para 15 años. h) Obtén el dominio, condominio y regla de correspondencia. i) ¿La función es creciente o decreciente? j) ¿Cuál es el valor máximo del monto al final del decimoquinto año? (El interés

compuesto para obtener el monto a t años con una tasa de interés anual, se denomina tasa nominal).

Algunos bancos pagan intereses en periodos menores a un año; por ejemplo, trimestralmente (cuatro periodos por año); semestralmente (dos periodos por año) etc. Para este interés, la tasa nominal se divide entre los periodos de capitalización y se le conoce como tasa equivalente.

Retomemos el ejemplo 6. Si el depósito es en un banco que paga k periodos de capitalización por año, ¿qué sucederá en un año, toda vez que para más años ocurrirá lo mismo? De igual manera que en el ejemplo anterior, el capital se va incrementando al inicio de cada periodo de capitalización, como se observa en la siguiente tabla.

29

ii

00

Donde: i = , = tasa equivalente

kk

Tabla 13.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Realiza lo siguiente:

a) Completa la tabla para el 5o y 6o período de capitalización. b) Determina la expresión exponencial para k periodos de capitalización. c) ¿Qué cantidad retirará la señora Alejandra al final del decimoquinto año si el periodo

de capitalización fue trimestral. Compara esta cantidad con la obtenida para la capitalización anual y explica lo que observes.

Si confrontas las tablas 12 y 13 verás que el crecimiento del capital ocurre de igual forma por años que por periodos; por lo tanto, la función de crecimiento del capital para k periodos de capitalización por año es:

kt

 io⎞

ƒ: A →B; f(x)= C0 1+ (2)

_⎝^ _⎠^⎟

k en t años de k pedidos

30

Y la regla de correspondencia:

k

 io⎞

ƒ (k) = C0 1+

_⎝^ _⎠^⎟

k

d) Calcula el monto para k = 4, 6, 12 periodos de capitalización y compara los

resultados. Al aplicar la ecuación exponencial (2) para loe periodos indicados debista

obtener:

1. para k = 4; S = 5 627.54
2. para k = 6; S = 5 630.81
3. para k = 12; S = 5 634.12

Al cotejar estos resultados observarás que al aumentar el número de capitalizaciones por año, el capital también se incrementa; por consiguiente, si se quiere ganar más se debe depositar con el banco que pague más periodos de capitalización por año. Una función más general para determinar el monto a t años y k periodos de capitalización se obtiene tras combinar las ecuaciones (1) y (2).

f: A → B conf (t) =Co (1+i)^t

ⁱ0 ₎kt

f: A → B conf f(kt) = Co(1+

k

ƒ = A →B con ƒ(kt)

e) De acuerdo con esta función calcula los montos para k = 4, 6, 45 y t = 5, 10, 15. Analiza los resultados y explica tus observaciones.

Ejemplo 7. Periodos de capitalización continua.

En algunos bancos los periodos de capitalización son mayores a los analizados; por ejemplo, k = 30, 360, etc. De esto surge la siguiente pregunta: ¿Si los periodos de capitalización por año cada vez fuesen más grandes, el capital también sería cada vez mayor? En este caso a k se le llama periodo de capitalización continua. Para determinar qué ocurre con el capital, hagamos los siguientes cambios de variable en la función (3).

Primero se hace que k = i0n, n ∈R y sustituimos este valor en (3), obteniéndose:

iotiontn

⎡⎤

 io ⎞ 1⎞

S = C0 ⎜1+ = C0  1+ (4)

 ni₀  ⎢⎝^ n⎠^ ⎥

⎣

Analicemos el paréntesis interior de la función (4) mediante la tabla 4, donde n toma valores cada vez mayores.

31

Tabla 14.

f) Completa la tabla, analiza los valores y expresa tus observaciones. g) De acuerdo con la escala exponencial calcula el valor para n= 1 000 000 y compáralo

con los anteriores resultados.

Al analizar los valores de la tabla 14 se observa que a partir de n=20000, el valor (1+1/n)ⁿ≈2.7182, es decir, las cuatro primeras cifras decimales no varáin y la quinta cifra va crecieno lentamente, por lo que podemos afirmar que (1+1/n)ⁿ por más que crezca n, su valor se estabiliza en 2.718281, por lo tanto, cuando n tiende a ser muy grande, este valore se simboliza con el número y, cuyo valor aproximado es:

(5)

e = 2.718281

Este número es una constante que interviene en el cálculo de muchos problemas prácticos de Física, Economía, Ciencias sociales, etc. La función de crecimiento de estos problemas se define con base en el número e, cimiento de los logaritmos neperianos o naturales. En tu curso de cálculo ampliarás tus conocimientos sobre este tema.

32

Al sustituir el resultado de (5) en (4) obtenemos otra expresión para el monto para periodos de capitalización continua, esto es:

(6)

S = C0 e^iot

De esta ecuación exponencial del monto se deduce que, por más periodos de capitalización que se tenga, el capital tiene un límite máximo, por lo que no puede seguir creciendo salvo que se cambien las condiciones del depósito.

h) Con los mismos datos del problema, calcula el monto para t = 20 años con periodos de capitalización continua. (Usa tu escala exponencial para e = 2.718281.)

i) ¿Cuánto recibiría la señora Alejandra (ejemplo 6) por su depósito con periodos de capitalización continua?. Compara este resultado y explica tus observaciones.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Veamos el siguiente problema sobre depreciación de maquinaria. Recuerda que al inicio de este fascículo se planteó el problema de la evaluación del taxi ecológico, en este momento lo retomamos para darle solución correcta.

1. El taxista se asesoró de un contador para que le solucionara sus dificultades, para lo cual dio la información necesaria; entre otras cosas, le explicó sobre sus ingresos, la cantidad que había asignado para la devaluación, la vida útil del taxi, considera de seis años, habiendo tenido problemas de funcionamiento desde el cuarto año de uso y que al final del quinto lo vendió en $4 736.73 por ser incosteable su mantenimiento. Con base en esta información el contador determinó la función de costo del taxi para cualquier t años de uso, siendo:

(1)

C(t) = Coe^-0.4t

y la función de devaluación por año (2)

D = Co -Vr

donde:

C(t) = Valor del taxi en cualquier tiempo t Co = Costo inicial del taxi D = Depreciación en cualquier tiempo t de uso Vr = Valor de recuperación (valor en que se vendió el taxi al final del último año de uso) Vu = Vida útil (número de años de uso)

Valor de recuperación del taxi al final del último año de uso.

33

(3)

Vr = C(t) .

Con estos valores, calcular:

a) El costo inicial del taxi (Co). b) La depreciación del taxi para t = 0 años. c) El valor del taxi al final del segundo año de uso y su depreciación. d) El valor del taxi al final del quinto año de uso. e) La depreciación total del taxi.

Datos Fórmulas

Vu = 5 años C (t) = Coe^-0.4t (1) C (5) = $4 736.73 D = Co – Vr (2) Co = ? C (t) = Vr (3) C (2) = C (5) = ? D=?

a) Al sustituir (3) en (1) obtenemos para

t = Vu = 5 C (5) = Coe^-04(5) = 4.736.73 (4)

De (4) despejamos Co, obteniéndose: 4 736 73

.

Co = = 4 736.73e²

-045

.( )

e

Co = $ 35 000 b) Para t = 0 sustituyendo en (1), obtenemos: C(0) = 35e ^-0.4(0) = 35 000 Del resultado anterior observamos C(0) = Co, por lo que concluimos que no hay depreciación para t = 0. -0.4(2) _{= 35’e}

c) Para t = 2: C(2) = 35’e^-0.8 = $15 726.51 Al finalizar el segundo año el taxi vale: $ 15 726.51, y su depreciación es de D = 35 000 – 15 726.51 = 19 273.48 d) El valor del taxi al final del quinto año es: C(5) = 35’e^-0.4(5) = 35’e^-2 = $ 4 736.73. e) El valor de recuperación: Vr = $ 4 736.73. De lo anterior se concluye que la depreciación total es: D = Co-Vr = 35 000-4 7363.73 = $ 30 263.27.

34

Compara estos resultados con las cantidades que obtuvo el taxista y explica tus conclusiones.

2. Tras analizar los registros de salud pública de un municipio del estado de Puebla, se encontró que hubo un brote de epidemia, el cual según análisis de propagación determinó que ésta crecía en forma exponencial; por lo tanto, se determinó el número de personas que adquirían la enfermedad mediante la función de propagación:

ƒ(t) = ⁶ ( en millones de personas).

-0.8t

39e

+

a) ¿Cuántas personas tenían la enfermedad en el momento que se descubrió la epidemia?

b) ¿Cuántas personas enfermas habrá al final de la tercera semana?

c) ¿Cuántas personas en total contraerán la enfermedad si la epidemia continúa indefinidamente?.

3. Se estima que el crecimiento de la población en la ciudad de México es de tipo exponencial y está definida mediante la función:

80

p(t) = (en millones de personas).

-0.06t

812 e

+

a) ¿Cuál es la población actual?

b) ¿Qué población habrá dentro de 50 años?

c) ¿Qué ocurrirá con la población después de varios años si el crecimiento continúa indefinidamente?

4. ¿Cuánto debe invertirse a una tasa del 8% anual para que en 20 años se tenga un saldo de 100 000 dólares con periodos de capitalización continua. La función de crecimiento exponencial ya se habrá obtenido. O sea:

Q(t) = Coe^it

En los ejemplos anteriores observaste cómo la constante e sirve para el cálculo de muchos problemas de diferentes áreas del conocimiento, que también define a la función exponencial natural de la siguiente forma:

ƒ: R → ⁺con ƒ(x) = e

^x (7)

5. Construye una tabla para calcular las siguientes imágenes de (7) y traza la gráfica en el plano cartesiano.

ƒ(-3), ƒ(-2), ƒ(-1), ƒ(0), ƒ(2), ƒ(3).

35

a) Analiza la gráfica y define sus propiedades.

Los problemas que hasta el momento se han estudiado nos permiten generalizar la función, obteniendose como regla de correspondencia una expresión exponencial del la forma

x

ƒ(x) = a

b) De los problemas anteriores surgió la siguiente tabla, analízala, compara los valores de a, completa la regla de correspondencia y explica tus observaciones.

Tabla 15.

Al analizar cada una de las gráficas de las funciones anteriores, notarás que éstas están trazadas en el primer cuadrante del plano cartesiano, lo que se debe a la naturaleza del problema y a la definición de su dominio; dichas funciones se pueden generalizar como:

x

ƒ: R → ⁺ con ƒ(x) = a, x∈R, a∈R⁺, a ≠ 1

Recuerda que si 0 <a <1, la función es decreciente y si a >1 es creciente.

36

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

a) Analiza las siguientes funciones e indica de acuerdo con el valor de a si la función es creciente o decreciente:

1

1. ƒ: R →R con ƒ(x) = ( ₂ )^x ____________ 6. ƒ: R →R con ƒ(x) = 2^x _____________
2. ƒ: R →R con ƒ(x) = ( ₃ )^x ____________ 7. ƒ: R →R con ƒ(x) = 3^x _____________
   1. ƒ: R →R con ƒ(x) = ( ¹ )^x ____________ 8. ƒ: R →R con ƒ(x) = 4^x _____________
   2. 4 4
3. ƒ: R →R con ƒ(x) = ( ₃ )^x ____________ 9. ƒ: R →R con ƒ(x) = 2^x _____________
4. ƒ: R →R con ƒ(x) = ( ³ )^x ____________ 6. ƒ: R →R con ƒ(x) = 10^x _____________

1

2 Traza la gráfica de cada una de las funciones para comprobar tus respuestas y elabora una tabla.

Tabla 16.

Construye la tabla de las funciones restantes, traza las gráficas respectivas y cómparalas con la siguiente:

37

Gráfica 8.

De acuerdo con la gráfica 8 determina las propiedades comunes que observes.

Como la función exponencial no es posible expresarla mediante operaciones algebraicas, corresponde hacerlo a las funciones trascendentes; sin embargo, la función exponencial conserva las propiedades de la potenciación que estudiaste en el primer semestre. Te recomendamos revisarlas.

x

En la gráfica pudiste observar que la función exponencial ƒ: R → R⁺ con ƒ(x) = a, a∈R⁺ y a≠1, x∈R, tiene las siguientes características.

− Es continua en todo su dominio. − Es creciente para a > 1. − Es decreciente para 0 <a <1. − La gráfica de toda función exponencial pasa por el punto de coordenadas P(0, 1). − La correspondencia de la función es uno a uno.

La última propiedad significa que cada elemento del condominio es imagen de uno y sólo un elemento del dominio. En un diagrama de Venn se puede visualizar cuando la función es uno a uno.

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EXPLICACIÓN INTEGRADORA

Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones como son las siguientes:

− Recuerdda que la regla de correspondencia, también llamada regla para hallar imágenes, determina la imagen de cada elemento del dominio y con estos valores se forman parejas ordenadas.

− Que en toda función exponencial, la variable independiente es el exponente de la base.

− La función exponencial general es:

f: R → R⁺ con f(x) = a^x, a∈R⁺ y a ≠ 1

− Recuerda que: Si 0 < a < 1, la función es decreciente Si 1 < a, la función es creciente.

− Recuerda que cada elemento del codominio es imagen de uno y sólo de un elemento del dominio.

La introducción a las iteraciones intenta, a partir de las sucesiones aritmética y geométrica, incursionar en el estudio de la Teoría del caos, sólo que por la naturaleza demasiado simple de las funciones que se estudian todas resultan ser funciones lineales (y= mx + b). Apenas si insinúan muchos de los fenómenos que tienen lugar en esta teoría. Uno central es la impredictibilidad que se manifiesta en el ejemplo de la función y = 2x, donde el origen 0 es una punto fijo repulsor y lo “impredecible” de este punto consiste, en que ante la mayor pertubación, si ésta es positiva, la orbita es negativa, y por consiguiente, la órbita correspondiente, se alejará a -∞. Esto significa que debido al mínimo trastorno hacia lo positivo, o hacia lo negativo, la orbita del punto correspondiente tiene un comportamiento cualitativamente muy diferente.

En casos más representativos de esta teoría con funciones simples, pero no lineales de la forma y = x² -2 y el mismo tipo de técnicas de iteración, el “caos” quedará caracterízado de tal manera que puntos como los descritos en este fascículo no son aislados, sino que aparecen por todos lados, casos que analizarán en posteriores fasciculos. A continuación te presentamos el siguiente diagrama, el cual incluye los temas que se analizan en el fascículo.

Empieza a revisar el diagrama de arriba hacia abajo siguiendo las flechas como dirección hacia los recuadros que contienen los temas, símbolos y fórmulas correspondientes. Si se te presentara alguna duda acude a tu asesor de Matemáticas.

ARITMETICAGEOMÉTRICA f(n) = f(n-1) + d f(n) = q(n-1) f(1) = b f(1) = q

ITERACIONES DE FUNCIONES LINEALES