Verifica los conocimientos que has alcanzado realizando las siguientes actividades; si tienes alguna duda acude con tu asesor de matemáticas para que te pueda ayudar y orientar.
1. Para calcular la rapidez con que se llena una piscina se emplea una función como:
fx =x3+42x2+216 x
()
Bosqueja su gráfica, encuentra su dominio y rango.
2. Para determinar la dosis de un medicamento que se debe suministrar a los pacientes con tos, se estudia cómo varía la velocidad del aire que circula por la tráquea como función de contracción del radio de ésta, ya que con la tos se contrae y dificulta la respiración.
La función velocidad v del radio r de la tráquea tiene la forma:
Vr()=−02. r3+04 .
Traza puntos en el plano cartesiano que delineen la función y describe su dominio y su rango.
3. Para calcular la producción máxima diaria de una mina de cobre se emplea una función del tiempo de operación:
Pt=54t . 3
() -009 t
Bosqueja su gráfica, y encuentra su dominio y rango.
4. En la Física moderna, el estudio de la cantidad de movimiento de una partícula de polvo se realiza mediante la función:
40
π 3
Pr = r
()
3
Encuentra el dominio y el rango que corresponden a partículas reales y bosqueja la función.
En el siguiente cuadro encontrarás una síntesis de los temas que acabas de estudiar:
Lineal
Depreciación de
f(x) = ax + b
costos, diseño de dietas (para disminución de peso), cálculo de interés simple, etc.
Cuadrática
Diseño de antenas de
fx ax2+bx+c
()=
radar, trayectoria de proyectiles, antenas parabólicas, espejos para telescopios, túneles, puentes de suspensión; cálculo de áreas máximas, etc.
Cúbica
Cálculo de volúmenes,
fx ax3+bx2+cx
()= +d
crecimiento o decremento de población , etc.
Estas funciones no tienen una
Polinomial
Cálculo de momentos de flexión de vigas,
gráfica definida como las anteriores.
diseño de estructuras,
n−1
() n x.axa fx= anx + an− 1 +.1 +
etc.
En el estudio de funciones es importante determinar el dominio y el rango, realizar una tabulación, obtener los puntos que sirven de referencia para esbozar la gráfica, los intervalos de concavidad, los puntos donde la curva corta al eje x y los puntos donde la curva tiene un máximo o un mínimo, o ambas cosas.
El tanque de gasolina de un automóvil tiene una capacidad de 40 litros. Ese automóvil tiene un rendimiento de 10 km por litro; como su medidor del contenido de gasolina no funciona, el chofer necesita conocer cuánta gasolina le queda después de recorrer cierta distancia x, a fin de saber si tiene que cargar más.
La función que describe el volumen restante de gasolina resulta:
1
fx 40 − x
() = 10
Realiza lo siguiente:
1. Te sugerimos que apliques lo aprendido en el primer ejemplo y deduzcas esta función.
Conforme determines el rango de la función y la grafiques, podrás ir respondiendo a las siguientes preguntas o completando las proposiciones. Al agotarse la gasolina el automóvil habrá recorrido ______________________
Explica por qué el dominio de la función es: D ={ x ∈IR / 0 ≤ x ≤ 400 } Completa el siguiente conjunto que representa el rango de la función. R ={y ∈IR /}
Observa que el automóvil puede recorrer kilómetros o fracciones de kilómetro, al igual que consumir litros o mililitros de gasolina. Por esta razón la gráfica puede obtenerse con una sucesión continua de puntos de tal forma que se traza mediante una línea recta y se le denomina función continua.
0
Gráfica 26
Ahora nos ocuparemos de la gráfica de una función cuyos valores no sean enteros. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Ejemplo 4
Se lanza un proyectil cuya trayectoria se describe con la función:
f(x)=-0.1x2+x (Recuerda que los proyectiles siguen trayectorias parabólicas) Unos segundos después se lanza un antiproyectil cuyo movimiento se calcula con la
función: g(x) = -0.1x2 + 3.6,
96
y que está diseñado para interceptar al proyectil y destruirlo. Traza las curvas que representen las trayectorias de los móviles y determina las coordenadas del punto de intersección.
2. A continuación hemos calculado los valores f(0) y f(2.5), así como el de g(0). Prosigue
con los cálculos de los valores de f(5), f(7.5), f(10) y g(0), g(1.5), g(3), g(4.5) y g(6). En seguida elabora una tabla para el dominio y rango de f(x) y otra para g(x), trazando ambas gráficas en el mismo sistema cartesiano a fin de que identifiques el punto de encuentro entre proyectiles.
x
f(x) = -0.1×2 + x
y
0
f(0) = -0.1(0)2 + 0
0
f(2.5) = -0.1(2.5)22.5
+
1.85
f(5) =
f(7.5) =
f(10) =
x
g(x) = -0.1×2+3.6
y
0
g(0) = -0.1(0)2+3.6
3.6
1.5
g(1.5) =
3
g(3) =
4.5
g(4.5) =
6
g(6)* =
Tabla 20 Tabla 21
Al completar la gráfica nos damos cuenta que es laborioso encontrar el punto en donde se van a interceptar el proyectil y el antiproyectil. Es por ello que a continuación aplicaremos métodos algebraicos para calcular el punto de intersección, y esto se hace igualando ambas funciones y obtener la otra coordenada del punto de intersección.
Proyectil Antiproyectil
gx 2 + .
fx () =−01. x2 +x () =−01.x 36
Se igualan las dos funciones:
2 .x2 36 Q x =36
−01 . x +x =− 01 + ..
Se resuelve la igualdad:
Se sustituye el valor “x” en una de las funciones:
2
f( .) =− . (.) +36.
36 0136 =− .(. ) + .
01 1296 36 =−. + .
1296 36 = .
2 304
Entonces el punto de encuentro de los móviles es: P( 3.6, 2.304 ) Corrobora ésto mediante aproximaciones en la gráfica que traces.
x
Gráfica 27
FUNCIÓN DE TERCERA POTENCIA
Ejemplo 5
Una empacadora de sardinas emplea latas cilíndricas. Encuentra el volumen de una de esta latas como función del radio, de tal forma que la altura mida 3 cm más que el radio. Puedes partir de las dimensiones consideradas en la siguiente figura (3).
h= altura v= volumen r= radio
f + 3
Figura 4
Si usas la fórmula que aprendiste en tus clases de Geometría para calcular el volumen del cilindro obtendrás lo siguiente:
v=πr h2 como h =r+3 entonces;
32
vr()=πr2(r+3)realizando el producto se obtiene la función Vr()=πr +3πr
Una vez que diseñes la función, podrás trazar la gráfica y determinar el dominio, el rango, la concavidad y los puntos de intersección con los ejes cartesianos.
La gráfica corresponde a la función Vr()=πr +3πr pero recuerda que para el caso del volumen únicamentenos interesa los valores positivos del radio, ya que no se pueden asignar dimensiones negativas a dicho radio.
Realiza lo siguiente:
Para ejercitar el aprendizaje aplica tus conocimientos en la solución de los siguientes interrogantes mediante los cuales desarrollarás el modelo de una función e identificarás sus propiedades.
Todos los días lees libros, periódicos, revistas o anuncios. ¿Te habías imaginado que la acción de imprimir tiene que ver con el uso de funciones?.
Piensa que tienes una imprenta y debes imprimir un folleto. La hoja debe tener 24 cmde impresión y necesitas calcular las dimensiones que te permitan ahorrar el máximo de papel.
¿Qué debes reducir de la hoja, lo más que sea posible, en el momento de cortar el papel?. Representa algebraicamente el largo y el ancho de la hoja. Si los márgenes izquierdo y derecho son de 1.0 cm y el superior e inferior 1.5 cm, ¿cómo representas las dimensiones del rectángulo que formará la impresión de la hoja?.
largo: ancho:
Usa estas dimensiones para que representes el área impresa que escribirás igual a los 24 cm 2 . ¿Te has dado cuenta que obtuviste una ecuación con dos incógnitas que corresponden al largo y al ancho del papel?. De esta expresión, despeja el valor del ancho de la hoja y con el valor despejado y la otra dimensión de la hoja representa algebraicamente el área de la misma. Acabas de obtener la función área con una de las dimensiones como variable independiente.
En el conjunto que aparece enseguida escribe los valores que puede tomar la variable independiente de dicha función:
L = {}
¿Cómo se le llama a este conjunto? ¿Cuáles serán los valores que resultan para el área a partir de cada valor del conjunto anterior?.
A = {}
¿Qué nombre recibe este conjunto?.
100
o bien
y2 + 6y
Ay = 3(),
()
y− 2
donde y representa el ancho de la hoja dependiendo la dimensión x o y se haya elegido como variable independiente. Ahora puedes graficar la primera función, y localizar su dominio, rango y puntos de intersección con los ejes.
EXPLICACIÓN INTEGRADORA
Hasta aquí hemos podido establecer algunas conclusiones como son las siguientes:
− Recuerda que a las relaciones entre los elementos dados de un conjunto que siguen una regla de correspondencia o comportamiento se les ha dado el nombre de funciones.
− A un valor del Dominio (D), le corresponde uno y solo un valor del Rango (R).
− Algunas características que presenta una función constante son que sus puntos que aparecen en la gráfica correspondiente se encuentran a la misma altura, alineados horizontalmente y además de que tienen la misma ordenada.
− Por el contrario cuando en una gráfica del plano cartesiano resulta una serie de puntos aislados entre sí, se dice que es una función discreta (ver ejemplo gráfica 5).
− Cuando solo aparece una sucesión continua de puntos en una gráfica, y éstos se trazan a través de una línea recta se le denomina función continua (ver ejemplo gráfica 6).
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
A continuación se presentan lo siguientes ejercicios, con la finalidad que apliques los conocimientos que has alcanzado; si se te presentara alguna duda en cuanto a su graficación, consulta tu asesor de Matemáticas.
Desarrolla una tabulación para cada una de las siguientes funciones, localiza los puntos en el plano cartesiano, bosqueja la curva que representa e identifica sus intervalos de concavidad, los valores aproximados de los puntos máximo o mínimo y de las intersecciones con los ejes cartesianos.
Un jugador de fútbol americano profesional recibe un sueldo de 10 000 dólares por cada juego que realiza y le descuentan 500 por cada falta que comete dentro del juego.
¿Puedes deducir la función que determina el sueldo neto?, para obtener dicho sueldo, se deduce la expresión:
f(x) = 10 000- 500x
y el modelo general de la función es de la forma: f(x) = ax + b
En ella la variable independiente x representa el número de faltas.
Calcula el valor numérico de f(0), f(1), f(2), f(3) y f(4); anota la tabla de coordenadas y comprueba que la gráfica que se obtiene es la siguiente: y
Gráfica 25
Si a un jugador sólo se le puede descontar la mitad de su sueldo por partido, calcula el número máximo de faltas que puede cometer en un juego.
¿Sería posible que le descontaran 1 250 por su faltas?.
Si analizas detenidamente la respuesta a esta pregunta puedes encontrar el dominio de la función dado por números enteros:
D= {}
Además, el valor de 1 250 correspondería a 2.5 faltas, por lo que los números decimales no pertenecen al dominio.
A partir de los elementos del dominio encuentra los del rango para completar el siguiente conjunto.
R = {}
Como el jugador no puede cometer medias faltas, la gráfica resulta un conjunto de puntos separados entre sí, y por esta razón a la función se le denomina discreta.
¿Cuál sería la imagen que correspondería a siete faltas?.
Hasta el momento hemos visto el modelo algebraico de una función constante, de una lineal y una discreta.
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