A) Ahora completa la siguiente tabla calculando los valores numéricos que faltan. En este caso puedes usar calculadora.

3

b

Vb +27b

() =− 4

13 1

() ()

1 1 1971

3 27

V( ) =− +27() =− +9 =− +9 =≈899 .

3 4 3 4 108108

1

V( )=

2

3

()2

V( ) =− + () =52 2 272

4

V ( )

V ( 6 )

V ( 8 )

3

()

10

V(10) =− +27 10 =20

()

4

Tabla 16

83

Observa que sólo hemos dado valores positivos a b. Explica por qué. Asigna otros valores a b y calcula los de V. A continuación anota el Dominio (D) de la función:

D = { , } Comprueba ahora que el conjunto de valores que se puede calcular para V, a partir del conjunto anterior, es:

R ={y ∈IR / 0 ≤ y ≤ 108}

B ) Gráfica los valores de la tabla (1) en el plano cartesiano y une los puntos mediante una línea curva para que aprecies la forma aproximada de la gráfica de la función V(b).

Gráfica 21

Si analizas la gráfica y la tabla anterior, puedes realizar las siguientes actividades:

• La gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo ( 0, ).
• Escribe el valor aproximado de b al que corresponde el volumen máximo. Respuesta: b = 6 Evalúa la función en dicho punto para que encuentres las coordenadas del punto más

alto de la gráfica, al cual se le llama máximo. V ( 6 ) = _______________________ Coordenadas: ( , ).

84

¿Te has dado cuenta de que la recta cruza a los ejes en algunos puntos?. A estos se les llama intercepciones con los ejes.

Si la gráfica intercepta con el eje “b”, esto quiere decir que en ese momento el valor de “V” es igual a cero.

De acuerdo con lo anterior, calculemos los valores de “b” cuando V=0 por medio de la

-b³

ecuación +27b=0

4

2

⎛−b 

Factorización: b ⎜+27⎟0 ⎝⎠

()_{ 4 ⎟}=

Resolviendo la ecuación de 2do. grado que está dentro del paréntesis, se tiene que

b₁ =0

b₂ = 108 = .

10 392

b₃ =− 108 =−10 392

.

Una vez obtenidos los valores de “b”, nos damos cuenta que la gráfica intercepta al eje “b” en tres puntos distintos; de los cuales únicamente nos interesan dos; el cero y Y el tercer valor lo descartamos, ya que la caja no puede tener dimensiones negativas.

Las coordenadas de los puntos de intersepción, son ( 0, 0 ) y ( 108, 0 ).

Traza una recta vertical por el punto máximo y comprueba que tal recta es eje de simetría de la curva. Una función cúbica puede representar otro tipo de problema como el que se muestra a

continuación: Ejemplo 2 Calcula la rapidez con que crece o decrece la población de venados en una sierra.

La función en este caso es Rt -t³ 42 , y como el estudio de la población debe

()=4+t

proyectarse conforme al futuro y a periodos anteriores, hay que asignar valores tanto positivos como negativos al tiempo t.

Resuelve los siguientes ejercicios:

Completa la siguiente tabla de valores y traza formalmente los puntos cartesianos para que compruebes que la gráfica tiene la forma bosquejada tal como en la figura que sigue:

x

Tabla 17

Gráfica 22

Contesta las siguientes preguntas o completa los enunciados. ¿En cuál intervalo la curva es cóncava hacia arriba y en cuál lo es hacia abajo?. Hacia arriba ( , ] Hacia abajo [ , ) Anota un intervalo aproximado para la abscisa de los puntos máximo y mínimo. Encuentra una recta respecto de la cual la curva es simétrica. Escribe los valores de t para los puntos de intersección con los ejes. (Para encontrar

estos valores deberás factorizar la función y posteriormente resolver la ecuación cuadrática).

86

Ejemplo 3

Se ha encontrado por vía experimental que al sostener una viga de acero por sus extremos hay cuatro puntos en los que, al aplicarles una fuerza, la viga no se dobla (momento de flexión igual a cero). Este fenómeno está determinado por la función:

01 18 104 − .x

fx() = .x − .x + . x 192

donde x es la distancia en metros del punto de aplicación de la fuerza a un extremo de la viga. Ahora, hay que obtener los valores de x para los cuales el momento de flexión es cero.

Para ello aplica el procedimiento de tabulación y podrás encontrar algunas de las características de la función, tales como: concavidad, intersección con los ejes, puntos máximos, mínimos y simetría.

Considera lo anterior para poder resolver los siguientes ejercicios:

Calcula el valor máximo de f(0), f(0,5), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6), f(7) y f(8) para elaborar la tabla de valores.

43 2

La gráfica de () 01 04 x− 1. x corresponde a la figura

fx= . x− 18 . x+1. 92

siguiente:

Gráfica 23

A partir de la tabla que acabas de hacer, localiza los puntos en el plano cartesiano y prueba que efectivamente pertenecen a la curva bosquejada.

Encuentra los intervalos de x donde la curva es cóncava. Calcula los valores aproximados para los valores de x de los puntos máximos, mínimos y de intersección con los ejes.

Evalúa la función en estos valores para que encuentres las coordenadas de dichos puntos.

Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones como las siguientes:

− Recuerda que en el fascículo anterior conociste la elaboración de gráficas de tipo lineal y cuadrático, no obstante; que ambas no son suficientes para describir los distintos fenómenos naturales, económicos y sociales que se presentan en el desarrollo de un país y de la vida misma. Es por esto que en este tema se conoció la elaboración de gráficas junto con su tabulación correspondiente y su procedimiento algebraico para conocer la intersección con los ejes, ahora de tipo polinomial cúbica y de cuarto grado.

− Se tiene que tomar en cuenta que la construcción del Modelo Algebraico, estará sujeto a las características y/o contexto del problema, por ello se recomienda leer tantas veces sea necesario para establecer las variables e incógnitas del problema.

− Recuerda que en una función cúbica puede tener valores tanto positivos como negativos asignados al tiempo, temperatura, velocidad, etc., esto dependerá de las características que presente el problema.

En los fascículos anteriores estudiaste algunas funciones polinomiales y sus características, como por ejemplo; función constante, función discreta, función lineal, función continua, función discreta, función cuadrática, función polinominal, cúbica y de 4o. grado y sus características.

En este capítulo:

¿QUÉ APRENDERÁS?

Conocerás y desarrollarás la solución de diversos tipos de problemas que, de acuerdo con su regla de correspondencia, puede ser: función exponencial, función logarítmica y función inversa correspondiente a las funciones trascendentales.

¿CÓMO LO LOGRARÁS?

Con el estudio previo de las leyes de los exponentes y las propiedades de los logaritmos además de la representación de puntos en el plano cartesiano, de igual manera es necesario que te apoyes en problemas que conduzcan al planteamiento de funciones polinomiales como la que has revisado y estudiado hasta el momento (función lineal, cuadrática entre otras otras).

¿PARA QUÉ TE VA A SERVIR?

Esto te ayudará a comprender mejor los conceptos y la relación que existe entre la función logarítmica y la exponencial conjuntamente con sus propiedades; con ello podrás resolver problemas cuyo comportamiento describa cierta regla de correspondencia para que en un momento determinado puedas solucionar y/o interpretarlas.

Veamos de nuevo las fórmulas recurrentes de la sucesiones aritmética y geométrica.

sucesión aritmética

If. n = f (n − 1) + d…

()

II f . () n = qf (n − 1)…. sucesión geométrica

(30) Al observarlas nos damos cuenta que son del tipo: f (n) = F[ f(n-1) ] la regla de la F

manda f (n-1) en f (n – 1) + d en el caso I, en qf (n – 1) en II.

La gráfica se puede representar en el plano f( n-1 ) vs. F ( n ) (gráfica 38). Y si además se tiene en cuenta que los valores de la sucesión f ( n ) son en general números reales que sean irracionales, que son aquellos números que se representan con decimales no periódicos. (Dependen si son irracionales o no f ( 1 ), d y q en el caso de las sucesiones aritmética y geométrica), podemos, por lo tanto, asociar a la fórmula (30) la representación usual.

(31) yFx(), Ff n − 1

= [( )]

f(n)

F(x)

f(n-1)

Gráfica 38

Cuya gráfica es la 39 donde F:→ y la sucesión aritmética y geométrica I y II toman la forma

(32)

y = x + d y

(33)

y = qx

F(x)

x

Gráfica 39

Representadas en las gráficas 40 y 41, respectivamente.

Hasta ahora las gráficas de las sucesiones las habíamos dibujado en el plano n vs. f ( n ), pero tanto (32) como (33), que resultan ser funciones lineales, tienen una representación como funciones con dominio continuo en el plano ( x, y ) y, adicionalmente son funciones continuas (funciones para las cuales en todo punto “a” del dominio de dicha función si la variable x se acerca al punto “a”, del dominio el valor de la función en x se acerca el valor de la función en el punto a).

Para las funciones tipo (31) se puede generar lo que se llama la dinámica de dicha función si se itera, es decir, se compone tal función consigo misma múltiples veces. Un ejemplo ya conocido es obtener a partir del tamaño inicial de una población f ( 1 ), el tamaño de la población al año siguiente, lo cual se hace iterando:

(34) f(2) = f(1) + d

y

y = qx (d < 0 < 1)

x

Gráfica 40 Gráfica 41

Expresión en que d es el aumento de población respecto a la primera unidad de tiempo si su ley fuera la correspondiente a una sucesión aritmética, es decir, si fuera (42), o bien

I: f ( n ) = f ( n – 1 ) + d, se tendría:

(35) f ()3 = f ( ) 2 + d,

donde el valor de f en el paso anterior (34), f (2), se toma en el dominio (figura 24) mediante un círculo de radio f ( 2 ), y con f (2) en el dominio evaluamos f con ayuda de la misma ley (32), obteniéndose f (3) mediante (35), etc. (gráfica 42).

En lugar de evaluar cada vez y regresar con un círculo de radio igual al valor de la evaluación del dominio, para así valorar una vez más, lo que se hace es introducir la gráfica de la función idéntica o identidad, ya que en ella las abscisas valen lo mismo que las ordenadas: y = x, (figura 43). Se evalúa la función y en lugar de todo el procedimiento anterior sólo nos movemos de la gráfica de la función a la de la idéntica, de ésta a la función, de nuevo a la idéntica y así sucesivamente (gráfica 43). En cada salto de la idéntica a la función tomamos un nuevo valor de la sucesión (gráfica 44).

yy

Gráfica 43 Gráfica 44

Pero estando en el plano x vs. Y se justifica usar la siguiente notación (gráfica 45). f(1), como el valor inicial.

x =f(), como el valor inicial

11

x =F(x )

21 2

^x3 ^=F(x 2 ^{) =F}[^F(x 1⁾ ]^{=F (x}1^), el exponente indica el número de veces que se está 2 3 aplicando la función F.

x =F(x ) =F(F (x) =f (x ),

43 11 n−2

x =F () expresión que se toma como hipótesis para inducir la expresión del

x

n−11

siguiente término

x

n n−2n−1

−= (x

F(xn 1) F(F (x )) =F ).

11

105

23

Fx Fx Fx

() () ()

111

Gráfica 45

En este caso se dice que la órbita ó radio de x1 bajo la función F es x1 y las iteraciones de F en x1, o simbólicamente:

2 −1

(36) “Órbita de x =x ,bajoF”es x ,F(x ), F (x ),…, fⁿ x

_{{1 1} (),…. _}

1 11

Gráfica 46

106 Pero como la ley en nuestro caso es la correspondiente a la de la sucesión aritmética

(32), y = x + d, luego de las relaciones anteriores obtenemos: x =f()

11

x =F(x ) =x +d

2 11

x =F(x ) =x dx ddx 2d

+= ++= +

3221 1

x =F(x ) =x dx 2ddx

+= + += +3d.

4331 1

x =F(x ) =x +− 2

(n )d Hipotesis de Inducción

n−1n−21

=F(x ) =x dx (n 2)d += +− dx (n 1)d

+= +−

^xn n−1n−11 1

es decir, la órbita de x1, bajo F tiene los mismos elementos de las sucesión aritmética (gráfica 47).

Gráfica 47

“Órbita de cualquier xx bajoF(x =+ d es x ,x +dx +2 ,…,x +− )d,…

= ₁ )x” {₁₁,₁d ₁(n 1 }

Observa que ya tenemos analizado uno de los tres casos a que da lugar la transformación, (32) cuando d > 0, (figura 42-47), de donde se deduce que las órbitas de todos los puntos del dominio de la función se comportan, de idéntica manera, a saber, todos los puntos “se escapan a +∞”.

Es de hacer notar que cualquiera que sea x1, digamos x1 = 3 y d = 1 > 0, con la calculadora puedes obtener los elementos de la órbita de x1 bajo F ( x ) = x + d como sigue:

107

Analicemos los casos restantes:

En el caso d < 0, la función será (32), y = x + d pero con d < 0. “Órbita de cualquier x = x1 bajo F ( x ) = x + d con d < 0” es{x ,x + , + dx +( −1d }

dx 2 , n ) ,… , donde todos los puntos del dominio tienen el

111 1

mismo comportamiento, pero ahora cualquiera que sea x1 “la orbita se escapa a −∞” (figura 48).

Gráfica 48

Finalmente, si d = 0, tendremos que y = x, y por consiguiente, la función idéntica coincide con la que estamos analizando, que significa que nuestro procedimiento de ir a la función y luego a la identidad, etcétera, hace que todo punto se quede donde mismo y para siempre, es decir, la

“Órbita de cualquier x =x bajoF(x ) =x” = x ,x ,x ,…, x ,… ( figura 49).

1 { 111 1 }

108

Y

Gráfica 49

De un punto tal se dice que es un punto fijo de la transformación F (x) = x. Obsérvese que para la transformación f(2) = x, todos los puntos del dominio de la función son puntos fijos. Que significa que todos los puntos x=x1 son fijos

En resumen, para F ( x ) = x + d, la órbita de cualquier x = x1 sólo puede tener uno de los tres siguientes comportamientos: x1 se escapa siempre a+∞, si d>0 x1 se escapa siempre a-∞, si d>0 x1 es un punto fijo siempre, si d = 0

Si como en un principio denotamos por x1 el tamaño inicial de una población, basta con que d > 0 para que tarde o temprano tal población termine por escaparse a+∞, aunque no puntualicemos qué tan rápido se va a+∞. Un modelo con estas características es poco práctico, pues corresponderá a situaciones idealizadas muy estáticas, como una población cuyos miembros nunca mueren, o una producción de alimentos permanentemente creciente y acumulada a guardar “d” pesos debajo del colchón.

109

A través del análisis de las órbitas (o trayectorias) de cada uno de los puntos del dominio se pueden observar los comportamientos cualitativamente diferentes que puede generar una función a través de componerla consigo misma, es decir, mediante sus iteraciones. En otras palabras, iterar una función conlleva una dinámica que genera la función mediante la operación de formarla consigo misma, encontrar los posibles comportamientos cualitativamente distintos para entender la complejidad de la dinámica generada; por ejemplo:

La función que logramos asociarle a la sucesión aritmética resultó la función lineal cuya gráfica es paralela a la de la función idéntica, desplazada verticalmente hacia arriba de la idéntica en d unidades, si d > 0 y hacia abajo si d < 0, sólo obtuvimos tres comportamientos cualitativamente distintos; a saber, se escapa a +∞−∞,0 es punto

,

fijo. Esto significa que tal función es poco complicada, su estructura muy simple y su dinámica rudimentaria.

Retomando el problema del móvil que nos género la sucesión de distancias (21), 6, 10, 14, 18, 22, 26, …, cuyo término general n-ésimo está dado por f(n) = f (1)+(n-1)4 y cuya fórmula de recurrencia es: f(n)=f(n-1)+4, o bien en su forma asociada y = x + 4, sólo tiene órbitas de un solo tipo, es decir, todas se escapan a +∞.

SUCESIÓN GEOMÉTRICA

Ahora analicemos en forma análoga lo que ocurre con la fórmula recurrente de la sucesión geométrica II, f (n) = qf ( n-1 ), de la que la figura 50 ilustra su gráfica, donde en el eje horizontal representamos los valores f (n-1). Y en el vertical f(n), que toman valores reales. Por consiguiente, la fórmula de recurrencia II puede reescribirse como:

(38)

y = F (x), específicamente:

(39)

F (x) = qx, que en el plano x vs. y; tiene la misma gráfica que II (Figura 51).

f (n)

y

y = qx

f (n) = q f (n-1)

(q = 2)

(q = 2)

x

f (n-1)

Gráfica 50. Gráfica 51

Clasifiquemos de nuevo todos los puntos del dominio de la función (38) en cuanto a los comportamientos cualitativamente diferentes (análisis de órbita), en términos del único parámetro q de (39), para lo cual dividimos a en seis intervalos:

q> 10, < q< 1,−1 < q< 0yq<− 1.q= 1yq=− 1

q = -1 q = 1

-10 1 q < -1 0<q>1q > 1

-1<q>0

a) q > 1 Para reafirmar lo aprendido: q = 2, o sea, F (x) = 2x “La órbita de x1 = 0 bajo F (x) =2x” es (0, 0, 0, …,) x1 = 0 es un punto fijo de función F (x) = 2x (figura 52).

y

Gráfica 52

El punto fijo de una función es aquél punto del dominio que satisface fx(*) = x*. En este caso 0 es punto fijo de F(x)=2x*, ya que 2x*=x solo la satisface x* = 0.

“La órbita de cualquier x, >0 bajo F(x)=2x” es {x1, 2×1, 2²x1 . . .2^n-1 x1. . .} y la órbita se “dispara a+∞“ (Gráfica 53).

111

Gráfica 53

Observa que hasta ahora las conclusiones de los comportamientos cualitativos de las órbitas pueden generar una función. Se obtuvieron en términos de las gráficas de las iteraciones pero … podrían obtenerse, al analizar la expresión “tender a +∞” o “dispararse a +∞” a través de verificar a que tiende el término n-ésimo de la órbita cuando n es cada vez más grande. Es decir, en este caso si elevamos a potencias cada vez más grandes se obtienen cantidades muy grandes “+∞” (gráfica 53). En cambio, la “órbita de cualquier

2 n−12

xx <0 bajo2x”_{x₁2x 2 x₁22 x _}

= ₁ ,, ₁, ,…, , ,… “se escapa a -∞” (gráfica 54).

Gráfica 54

112

En síntesis, vimos que x1 = 0 es un punto fijo, pero ante una pequeña perturbación, si ésta es positiva, la órbita se escapa a + ∞, más si es negativa se escapa a -∞. En este caso se dice que x1 = 0 es un punto fijo repulsor o punto fijo inestable (las órbitas se alejan de él). Observa que con cualquier otra q > 1 el comportamiento cualitativo de sus órbitas sea idéntico al analizado (gráfica 55).

( q > 1)

Gráfica 55.

11

b) 0 <q <1 Si q= ,, entonces F(x)= ,x.

22

1

xx= ₁ > 0, bajo F(x) = x, es

2

En este caso la “órbita de cualquier

 11 1 

x x, x… x,…

 111 1 ⎬

2 n−1

 22 2 

1

la cual “se acerca a 0”, por los positivos (figura 56), porque el cociente es cada

n−1

2 vez más pequeño, si la n toma valores más y más grandes, pues al multiplicarlo por un número x, los valores disminuyen, pero siguen siendo positivos.

113

Gráfica 56

1

También en la órbita de cualquier x = x1 < 0, bajo x,2

11

⎫⎬

“se acerca a 0 “ desde los negativos (gráfica 57), ya que los términos

⎧⎨

xx x

,

,

,…

1

1 1

−

1

2

n

2

1

x

1

n

2

disminuyen en valor absoluto pero son negativos.

Gráfica 57.

114

La órbita de x1 = 0 bajo fx( ) ¹x es { , , ,… …}

= 000 0

2 x = 0, es un punto fijo atractor.

Y cuando se considera “órbita de x1 = 0, ¹ x”={000 0 } la órbita de x1 = 0

, , ,…, ,… ,

2 es su punto fijo atractor, pues todas las órbitas se acercan a él (punto fijo estable) (figura 58).

Gráfica 58

En síntesis, vimos que: x₁ = 0 es un punto fijo pero todas las órbitas se acercan a él; en este caso, se dice que x₁ = 0, es un punto fijo atractor o punto fijo estable. En este caso se dice que todo R es la cuenca de atracción del 0 (figura 40), cuyos puntos son atraídos por x₁ = 0. conservando el signo de la x.

y

x

x3 x2 x1

Gráfica 59.

Observa que cualquier otro q que sea 0 < q < 1 tendrá un comportamiento cualitativo

1

idéntico al ya descrito para q = .

2 11

c) -1 < q < 0 Hagamos que q =− ,, Fx

es decir veamos que ( ) =− x.

22

n−1

−1

La “órbita de cualquier x1 < > 0*, bajo F(x)= − ¹ x” es igual a ^⎪⎧_⎨x1,− ¹ _x1, ¹ _x1,.., ⁽⁾ _x1,.. ^⎪⎫_⎬

2n−1

2  22 2 ⎪

⎩

(Gráfica 60).

Gráfica 60

Que oscilando entre valores positivos y negativos se acerca a 0 (gráfica 61).

Gráfica 61

116 En cambio, la “órbita de x₁ =0 () =− ¹₂ x es {, , ,… ,… }(gráfica 60 y 61),

,bajoF x ” = 000 0

de ahí que:

El cero es un punto fijo atractor o estable, ya que todas las órbitas son atraídas por x₁ =0. La cuenca de atracción de x₁ =0 es todo R, aunque aquí x₁ =0 atrae oscilatoriamente (cambiando de signo) los valores de x,

d) q < -1 Tomemos q = -2, esto es, F (x) = -2x, y a la “órbita de cualquier x=x1 <>0, bajo F(x)=-2x” = {x1-2×1,2²x1-2³. . .,(-1)^n-12 ^n-1x1,…}.

Se trata de una sucesión oscilante (cambia de signo), que en valor absoluto se escapa a ∞, pero la “órbita de cualquier x = x1 = 0, bajo F (x) = -2x”= (0,0,0,…,0,…) es un punto fijo de tipo repulsor, ya que todas las órbitas de cualquier x1 <> 0 se alejan del 0, escapándose en valor absoluto a∞ (figura 62).

y

x

117 Cualquier otro q < -1 tiene el mismo tipo de comportamiento que el que analizó q = -2.

e) q = 1 Obtenemos la función: F(x) = x (caso particular analizado de la sucesión aritmética) en que todos los puntos x resultan ser puntos fijos que no son atractores ni repulsores.

La órbita de cualquier x₁ ><0,bajoF(x ) =x” ={x₁,x₁,x₁,…,x₁,…} es un punto fijo que no es de tipo atractor ni repulsor, por lo que se dice que es de tipo neutro (gráfica 63).

Gráfica 63

Los comportamientos anteriores pueden modelarse de acuerdo con el movimiento dentro o sobre una vasija. Con la vasija hacia arriba una canica se desvía de su posición de equilibrio y de nuevo tiende a ella (atractor), pero si se coloca hacia abajo y la canica sobre ella, se desvía de su posición de equilibrio, nunca regresará a la misma (punto repulsor o equilibrio, inestable), cuando la canica está en un plano horizontal, al desviarse ni se acerca ni se aleja de la posición inicial, se queda en la nueva posición de equilibrio, considerado como otro punto fijo (figura 64 ).

Figura 64

f) q = -1 Se trata de F (x) = -x

n

La “órbita de cualquier x=x1 <> 0, bajo F(x) = -x” = _{x₁,−x₁,x₁,−x₁,…( −1) x₁,… _}es

una sucesión oscilante que sólo cambia de signo y que en valor absoluto, es constante. Por tomar sólo dos valores, x1 y -x1, se dice que es un punto u órbita periódica de periodo dos o ciclo de periodo dos (gráfica 65).

118

Gráfica 65

EXPLICACIÓN INTEGRADORA

Hasta aquí podemos establecer algunas conclusiones como son las siguientes:

-Recuerda que la órbita de cualquier: x = x1 bajo F(x) = x+d “ es {x1, x1 + d, x1 + 2d, . . ., x1 + (n-1)d, . . .}

Cuando d > 0 donde se deduce que las órbitas de todos los puntos del dominio de la función se comportan de idéntica manera, es decir “se escapan a+∞”.

– El caso de d < 0, la función será, y = x + d pero, con d < 0. La órbita de cualquier: {xx +dx+2dx+(n−1 d }, , , ),… donde todos los puntos

111 1

del dominio tienen el mismo comportamiento, pero ahora cualquiera que sea x, “ se escapan de a−∞.

– De lo anterior podemos resumir lo siguiente: F (x) = x+d, la órbita de cualquier xx sólo puede tener uno de los tres =

1

siguientes comportamientos:

x1 se escapa siempre a + ∞, si d > 0 x1 se escapa siempre a -∞, si d <0 x1 es un punto fijo siempre, si d = 0

-Recuerda que el punto fijo de una función es aquel punto del dominio que satisface f(x)=x. En este caso 0 es un punto fijo de F(x)=2x, ya que 2x=x sólo la satisface X = 0.

–

El cero es un punto fijo atractor estable, ya que todas las órbitas son atraídas por x₁ =0.

La cuenca de atracción del x₁ =0 en todo R, aunque aquí el x₁ =0 atrae oscilatoriamente (cambiando de signo) los valores de los valores de x.

–

Cuando se trate de una sucesión oscilante (cambia de signo), que en valor absoluto se

escapa a ∝, pero la órbita de cualquier x = x₁, = 0, bajo f (x) = -2x, es un punto fijo repulsor, ya que todas las órbitas de cualquier x₁ , < > 0 se alejan del 0, escapándose en valor absoluto a∞.

–

La órbita de cualquier x₁ > < 0, bajo F (x) = x , es un punto fijo que no es de tipo atractor ni repulsor, por lo que dice que es de tipo neutro.

–

La órbita de cualquier x = x₁ < > 0, bajo F (x) = -x es una sucesión oscilante que sólo cambia de signo y que el valor absoluto, es constante.

Mitchell Feigem Balm propone el siguiente análisis: fx =4rx ( 1

() 1−x)…

que le permite generar xi a partir de un valor inicial x₀.

xi, r ) f(xi-1,r) = 4rx -1,r(1-xi -1r). . .2

x = 0

11

y =−

4r son puntos fijos para todo i

defi pi x =x

(()xi = f(xi) = 4rxi (1-xi)

Suponemos r fijo

1

Con la intención de que practiques la resolución de problemas que dan lugar a una función lineal, y su representación gráfica, te presentamos las siguientes actividades.

I. De cada uno de los enunciados planteados:

− Identifica los datos conocidos y desconocidos. − Obtén su función lineal. − Elabora la tabulación para obtener los puntos de la gráfica. − Construye la gráfica. − Interpreta tus resultados.

1. Un trabajador gana $45.00 por hora y su sueldo diario depende del número de horas que trabaje. ¿Cuánto gana al día si trabaja 2, 4, 6 u 8 horas?.
2. El metro cuadrado de un terreno tiene un valor de $500.00; ¿Cuánto cuesta adquirir 100, 200, 300 ó 400 metros cuadrados?.
3. El tanque de gasolina de un auto tiene una capacidad de 40 litros; si el auto tiene un rendimiento de 10 km/lt. ¿Cuántos litros quedan en el tanque después de recorrer 0, 15, 30, 50, 80 ó 400 km?.

II. De las gráficas 1 y 2 obtén: − El valor de la constante y lo que representa. − El valor del parámetro (en caso de que exista) y lo que representa. − La función lineal correspondiente. Y su interpretación.

4. La siguiente gráfica representa la velocidad de la luz, por segundo.

5. La siguiente gráfica representa la cantidad de agua en litros que utiliza un hotel al día.